Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
126
Chuyeân ñeà 15:
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1:TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Trongbàinàychúngtasẽứngdụngđạohàmđểxéttínhđơnđiệu(tứclàtínhđồngbiếnvànghịchbiến)của
hàmsố.Đồngthờisẽxétcácứngdụngcủatínhđơnđiệutrongviệcchứngminhbấtđẳngthức,giảiphương
trình,bấtphươngtrìnhvàhệphươngtrình.
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
GiảsửKlàmộtkhoảng,mộtđoạnhoặcmộtnữakhoảngvàflàhàmsốxácđịnhtrênK.
I) ĐỊNH NGHĨA
 Hàmsốfđượcgọilàđồng biến(tăng)trênKnếu

   
1 2 1 2 1 2
x , x K, x x f x f x
    

 Hàmsốfđượcgọilànghịch biến (giảm)trênKnếu

   
1 2 1 2 1 2
x , x K, x x f x f x
    

Minh họa:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
0.5
1
1.5

vớimọi
x K


 [f(x)đồngbiếntrênK]

[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]

 [f(x)nghịchbiếntrênK]

[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]

2) Định lý 2:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmtrênK.
 a)Nếu
 
f ' x 0
vớimọi
x K
thìhàmsố
f (x)

]

[f(x)nghịchbiếntrênK]
 [
f '(x) 0
vớimọi
x K
]

[f(x)khôngđổitrênK]
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

131
Chú ý quan trọng:
KhoảngKtrongđịnhlýtrêncóthểđượcthaybởimộtđoạnhoặcmộtnữakhoảng.Khiđóphảibổsunggiảthiết
"Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó". Cụthể
 Nếuhàmsốliên tụctrênđọan
 
a;b
vàcóđạohàm
f '(x) 0
trênkhoảng
 
a;b
thìhàmsốfđồngbiến
trênđoạn
 
a;b

 Nếuhàmsốliên tụctrênđọan

f ' x 0
vớimọi
x K
và
 
f ' x 0
chỉtạimộtsốđiểmhữuhạnthuộcK
 thìhàmsố
f (x)
nghịchbiếntrênK.

Tính đơn điệu của hàm số bậc ba
4) Định lý 4: Chohàmsốbậcba
   
3 2
y f x ax bx cx d a 0     
,tacó
 
2
f ' x 3ax 2bx c  
.
a)Hàmsố
   
3 2
y f x ax bx cx d a 0     
đồng biếntrên



 

2
a)y f x x x x 3b)y f x x 3x 9x 11
x
c)y f x 2x 6d)y f x x 4x 3
4
3x 1 x 2x 2
e)y f x f )y f x
x 1 x 1
          
        
  
   
 

Ví dụ 2:Xétchiềubiếnthiêncủacáchàmsốsau   

2
a)y x 2 x b)y x 4 x
2
x 3 x
c)y d)y
2 2
x 1 x 1
    

 
 

2.Dạng 2: Định tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K cho trước.
Ví dụ 1: Tìmcácgiátrịcủathamsốmđểhàmsố

132
 b)Đồngbiếntrênnữakhoảng
3
;
2
 



 

Ví dụ 3:Tìmcácgiátrịcủathamsốasaochohàmsố
 
 
3 2 2
1 1
f x x ax 2a 3a 1 x 3a
3 2
      

 a)Nghịchbiếntrên


 b)Nghịchbiếntrênmỗinữakhoảng


; 1 
và



cos x 1
2
  vớimọi
x 0;
2

 

 
 

 b) Ví dụ 2:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:
    i)
2sin x tan x 3x 
vớimọi
x 0;
2

 

 
 

    ii)
sin x tan x 2x 
vớimọi
x 0;
2

 

và
 
u; v a;b

tacó:
    
   
f u f v u v
  

 Tính chất 3:Giảhàmsố
 
y f x

nghịchbiếntrênkhoảng
 
a;b
và
 
u; v a;b

tacó:
    
   
f u f v u v
  

 Tính chất 4:Nếuhàmsố
 
y f x


thìphươngtrình
   
f x g x

cónghiệmduy nhất trên
 
a;b

a) Ví dụ 1: Giảiphươngtrình
x 9 2x 4 5   

 b) Ví dụ 2: Giảiphươngtrình
2
x cos x 0
4 2

   

 c) Ví dụ 3: Giảiphươngtrình
2 2
x 15 3x 2 x 8    

 d) Ví dụ 4:Giảibấtphươngtrình
x 2 3 x 5 2x
     
 e) Ví dụ 5:Giảihệphươngtrình

cot x cot y x y
5x 8y 2

          
  
   
 

Bài 2:Lậpbảngbiếnthiêncủacáchàmsốsau
  
  
2
a)y x 4 x
b)y x 1 9 x
c)y x 1 8 x x 1 8 x
  
   
      

Bài 3:Chohàmsố
   
3 2
1
y a 1 x ax 3a 2 x 2
3
     

Tìmađểhàmsốđồngbiếntrên


Bài 4:Tùytheomhãyxétsựbiếnthiêncủahàmsố
 
2




Bài 8:ChotamgiácABCcóbagócnhọn.Chứngminhrằng:
   
sin A sin B sin C tan A tan B tan C 2      




Hết

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

134
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

135

137

xácđịnhtrêntậphợpD.
 SốMđượcgọilàGTLNcủahàmsố
 
y f x

trêntậpDnếucácđiềusauđượcthỏamãn

 
 
0 0
i)f x M x D
ii) x D : f x M

  

  


 Ký hiệu:
 
x D
M Max f x



 SốmđượcgọilàGTNNcủahàmsố
 
y f x


4
5
6
7
8
x
y
y=f(x)=x
3
-3x+4
-5/2
3/2
m=33/8
M=6
D=[-5/2;3/2]

 Quy ước:TaquyướcrằngkhinóiGTLNhayGTNNcủahàmsốfmàkhôngnói"trêntậpD"thìtahiểu
đólàGTLNhayGTNNtrênTẬP XÁC ĐỊNHcủanó.
 ĐốivớiGTLNvàGTNNđốivớihàmnhiềubiếncũngcóđịnhnghĩatươngtự.

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

139
II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:

taluôncó:
3 3
a b c
abc a b c 3 abc
3
 
    

Dấu"="xảyrakhi
a b c 

 c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1)
2 2
2 2
2
2
a b
a b ab ab

    
2)
2
2

( )
( ) 4
4
a b
a b ab ab

}
DođónếutatìmđượctậpgiátrịTcủahàmsốthìtacóthểtìmđựơcGTLNvàGTNNcủa
hàmsốđó.
Một số kiến thức thường dùng:
 a)Phươngtrình
 
2
ax bx c 0 a 0   
cónghiệm
0  

 b)Phươngtrình
 
a cos x bsin x c a,b 0  
cónghiệm
2 2 2
a b c  

3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
 Định lý:Hàmsốliên tụctrênmộtđoạn
 
a;b
thìđạtđượcGTLNvàGTNNtrênđoạnđó.
(Weierstrass 2)
 Phương pháp chung: MuốntìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
 
y f x

trênmiềnD,talập BẢNG

Quy tắc
1) Tìmcácđiểm
1 2
, , ,
m
x x x
thuộc
 
;a b
màtạiđóhàmsố
f
cóđạohàmbằng
0
hoặckhôngcó
đạohàm.
2) Tính
1 2
( ), ( ), , ( ), ( ), ( )
m
f x f x f x f a f b
.
3) Sosánhcácgiátrịtìmđược.
 SốlớnnhấttrongcácgiátrịđólàGTLNcủa
f
trênđoạn
 
;a b

 SốnhỏnhấttrongcácgiátrịđólàGTNNcủa
f

 
2
f x x
x 1
 

với
 
x 1;
 
b)
7
f (x) x 3
x 3
  


2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
Ví dụ 1 :TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
2
2
x x 2
y
x x 2
 

 

Ví dụ 2:TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
1 sin x

 
 
 

 3)
3 2
y x 3x 9x 35   
trênđoạn
 
4,4

4)
3
2
2 3 4
3
x
y x x   
trênđoạn
 
4,0


5)
x 2
y
x 2




8)
2
2 5 4
2
x x
y
x
 


trênđoạn
 
1;1


Ví dụ 2:TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
1)
3
4
y 2sin x sin x
3
 
trênđoạn
 
0;
 2)
4 2
y cos x 6cos x 5  

3)


4)
2
y x 4 x  
5)
 
2
1 1
y x x  
6)
2 2
1 1
y x x   

7)
2 2
1
4
4
y x x x x   
(TN THPT 2014)
8)
2 2
4 21 3 10
y x x x x
       
(Khối D-2010)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

141

cónghiệm
x D
m a M  


Ví dụ 1: Tìmađểphươngtrìnhsaucó nghiệm
2 x 4 x a   

Ví dụ 2: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
2
x m 4 x 0   

 Ví dụ 3: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
  
2
x 3 x 1 4x x 2m 1 0      

 Ví dụ 4: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
 
x 3;0
 


 
 
 
2
2 2
x 2x m 1 x 2x m 1 0      


nghiệm đúng với mọi
x D
a M 


Ví dụ : Tìmmđểbấtphươngtrìnhsaunghiệmđúngvớimọi
 
x 2;2
 


2
x m 4 x 0   



Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

142
B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
Bài 1:Chophươngtrình

m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x         
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm

Bài 6: Chophươngtrình
 
4 4
2 sin x cos x cos 4x 2sin2x m 0    
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
x 0;
2

 

 
 


Bài 7:Chobấtphươngtrình
  
2
x 4 6 x x 2x m    
(1)
Tìmmđểbấtphươngtrình(1)nghiệmnghiệmđúngvớimọi
4 x 6  


.Tanói

AC
làmộtcung lồi.
 Tạimọiđiểmcủacung

CB
,tiếptuyếnluônluônởphía dưới của

CB
.Tanói

CB
làmộtcung lõm.
 ĐiểmCphâncáchgiữacunglồivàcunglõmđượcgọilàđiểm uốncủađồthị.Tạiđiểmuốntiếptuyến
đixuyênquađồthị.
2. Dấu hiệu nhận biết lồi, lõm và điểm uốn
Định lý 1:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmcấphaitrênkhoảng
 
a;b
.
 Nếu
f ''(x) 0
vớimọi
 
x a;b

thìđồthịcủahàmsốlồitrênkhoảngđó.

3 2
y x 3x 2   
    b)
4 2
y x 2x 3  





Hết  Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

144
Bài 5:

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐTÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
 Định nghĩa 1

Định nghĩa 2


 c)
2
x 2x 3
y
x 2
 


d)
2
x 2x 2
y
x 1
 








Hết 


 2) Sự biến thiên:
 a)Chiềubiếnthiên:
+
y' ?


  y' 0 x ?

+Xétdấuy':

x

?


y' ?

-Kếtluậnvềcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố.
 b)Cựctrị:kếtluậnvềcựctrịcủahàmsố.
 c)Giớihạn:

x
lim y ?


và
x
lim y ?



8
x
y



Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

148

2.Hàmsố
 
4 2
y ax bx c a 0   


 1) Tập xác định:
D  

 2) Sự biến thiên:
 a)Chiềubiếnthiên:
+
y' ?


  y' 0 x ?

+Xétdấuy'

x


(Bảngbiếnthiênphảiđầyđủmọichitiết)
 3) Đồ thị:
Giaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộ:
+GiaođiểmvớiOy:
x 0 y ?  

+GiaođiểmvớiOx(nếu có):
y 0 x ?  


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y










 2) Sự biến thiên:
 a)Chiềubiếnthiên:
+
 
2
ad bc
y'
cx d



;kếtluận
y' 0
hoặc
y' 0
vớimọi
d
x
c
 

-Kếtluậnvềcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố
 b)Cựctrị:hàmsốkhôngcócựctrị
 c)Giớihạnvàtiệmcận:
+
 
   
   
   


y' ??
y ??

(Bảngbiếnthiênphảiđầyđủmọichitiết)
 3) Đồ thị:
Giaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộ:
+GiaođiểmvớiOy:
x 0 y ?  

+GiaođiểmvớiOx:
y 0 x ?  


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y


Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

150

8)
3
3 1y x x   

 9)
2 3
3
y x x 
   10)
3 2
3 3 9y x x x   

Bài 2:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcáchàmsốsau
1)
4 2
y x 2x 3  
   2)
4 2
y x 2x 3   

 3)
4 2
y x 2x 3   
 4)
4 2
y x 2x 3  

 5)
4 2
1 1




  2)
1 x
y
x 2



   3)
4 1
2 3
x
y
x




 4)
1 2
2
x
y
x


 
   5)

y x mx m 6 x 2m 1
3
     

Tìmmđểđồthịhàmsốđãchođồngbiếntrên




Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

151
Bài 7:

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.BÀI TOÁN 1 :
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
3. Một số tính chất về đồ thò:

a) Đồ thò của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành
b) Đồ thò hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
c) Đồ thò hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

* Hai dạng cơ bản

Bài toán tổng quát:
Từ đồ thò (C) :y=f(x), hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:
1
2
(C ): y f (x)
(C ) : y f ( x )




Ví dụ:
Từ đồ thò (C) :
3
y x 3x 2  
, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:
3
1




(2) 0f(x) nếu
(1) 0f(x) nếu
)(
)(
)(:)(
1
xf
xf
xfyC

B2. Từ đồ thò (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thò (C
1
) như sau:
 Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )
 Bỏ phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C
1
)

Minh họa


 Bỏ phần đồ thò (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ được (C
2
)

Minh họa:

x Minh ho

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2
f(x) =x^3-3* x+2
f(x) =abs(x^3)-abs(3 *x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2


xxy 3
3


Bài 2: Cho hàm số :
1
1



x
x
y
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:

1
1
)



x
x
ya
b)
1
1



2.BÀI TOÁN 2 :

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn


1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Tùytheosố nghiệmcủa phương trình (1) màtakếtluậnvềsốđiểmchung
củahaiđồthị (C
1
) và (C
2
) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).

Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm

(C

Áp dụng:
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
2
y x x 2  
và đường thẳng
y x 2 

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C):
2
y x 4 
và (C'):
2
y x 2x  

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
3 2
1
y x x
3
 
và đường thẳng
5
(d) : y 3x
3
 


1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1