CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
( 9 tiết : từ 26/04 – 08/05 )
Các kiến thức cần nhớ :
1. Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm
số và dấu của đạo hàm cấp một của nó
2. Điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số. Các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực
trị
3. Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số
4. Đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang
5. Vẽ đồ thị hàm số
Các dạng toán cần luyện tập
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo
hàm cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương
trình hoặc chứng minh bất đẳng thức
2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. Tìm
giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc
giải phương trình, bất phương trình.
3. Tìm đường cận đứng , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
3 2 4 2
; ;
ax b
y ax bx cx d y ax bx c y
cx d
+
= + + + = + + =
+
5. Dùng đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm của phương trình
6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( tại một điểm thuộc đồ thị hàm số ,
biết hệ số góc )
TIẾN TRÌNH ÔN TẬP

Giáo viên nhận xét và phân
Học sinh trả lời theo yêu cầu
của giáo viên và ghi nhớ
những nhận xét của giáo viên
để lĩnh hội kiến thức vững
chắc hơn
Thực hiện các bài tập giáo
viên đã đề ra
Khảo sát và vẽ đồ thị của các
hàm số sau :
3 2
. 6 9 4a y x x x= − + −
b.
4 2
1 5
3
2 2
y x x= − +
c.
2 1
1
x
y
x
−
=
−
tích những sai sót thường
gặp của học sinh để tránh
mất điểm không đáng có

cho học sinh
+ Tính
'( )f x
+ Tính
0
'( )f x
+ Áp dụng công thức :
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Học sinh thực hiện
Phương trình tiếp tuyến của
đồ thi (C) y =
( )f x
tại điểm
M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C) là:
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Kết quả :
a.
9 14y x= −
b.
24 40y x= −
và

24 56y x= − +
c.
8 3y x= − −

Cho hai đường thẳng :
(d) :
y ax b= +
và
(d’):
' 'y a x b= +
Hãy cho biết quan hệ của
, 'a a
khi :
+ (d) song song (d’)
+ (d) vuông góc (d’)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C)
là
0
'( )f x
Ta đi tìm tọa độ tiếp điểm
bằng cách giải phương trình
0
'( )f x k=
+ Khi (d) //(d’) :
'a a=
+ Khi (d)
( ')d⊥
:
. ' 1a a
= −

+ Bước 3 : Dựa và đồ thị
( Chú ý đến hai giá trị cực
trị của hàm số ) cho giá trị
của tham số thay đổi theo
giá trị của hai cực trị để
nhận xét số giao điểm , suy
ra số nghiệm của phương
trình
Học sinh thực hiên
Một học sinh nhận xét
a.
x
y
B
O
A
1
b. Kết quả :
+ k < 0 : Pt có 1 nghiệm
+ k = 0 : pt có 2 nghiệm
+0 < k < 4 : pt có 3 nghiệm
+ k = 4 : pt có 2 nghiệm
+ k > 4 : pt có 1 nghiệm
Bài 5 : Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2x x m− =

. Biện luận theo m
số giao điểm của (C) và d
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Bài toán đã nêu thuộc thể loại
nào ? Và yêu cầu của bài
toán là gì ?
Nêu trình tự bài giải của thể
loại này ?
Gọi 1 học sinh thực hiện
Giáo viên nhận xét bài giải
và nhấn mạnh cách trình bày
bài giải
Bài toán thuộc thể loại : sự
tương giao của hai đồ thị . Đề
bài yêu cầu biện luận số giao
điểm của 2 đồ thị
+Nêu phương trình hoành độ
giao điểm của (C) và d
+ Biến đổi pt trên thành
phương trình đã biết cách
giải
+ Lập luận : Số nghiệm của
phương trình HĐGĐ chính là
số giao điểm của (C ) và d
+ Biện luận
+ Kết luận
Phương trình hoành độ giao
điểm của (C ) và d là :

1

1
m
x
m
+
= ≠
Kết luận :
+ m = 0 hay m = -2 : có 1 gđ
+
0m ≠
và
2m ≠ −
: có 2 gđ
Bài 7 : Cho đồ thị hàm số (C) :
3
3 1y x x= − +
. Đường thẳng d đi qua A( - 1 ; 3) có hệ số góc
k . Tìm k để (C) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Yêu cầu của bài toán là gì ?
Bài toán được giải như thế
nào ?
Tìm k để (C) và d cắt nhau
tại 3 điểm phân biệt
+ Lập phương trình đường
thẳng d
+ Lập phương trình hoành
độ giao điểm của (C) và d
+ Lập luận : Để (C) và d cắt
d :

( )
3
2
2
3 1 3
( 1)( 2) 0 1
1
( ) 2 0 2
x x kx k
x x x k
x
g x x x k
− + = + +
⇔ + − − − =
= −

⇔

= − − − =

(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt
(1)⇔
có 3 nghiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm phân biệt
khác – 1
0
( 1) 0g
∆ >


k
k

> −



≠

Bài 8 : Xác định m để hàm số :
a.
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m x m= + + − + −
đạt cực tiểu tại
2x =
b.
2
4x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực đại tại
x
= 1
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

y x m
= + + −
= +
Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
'(2) 0
''(2) 0
y
y
=

⇔

>

Giáo viên có thể cho học
sinh tìm cách giải khác ( đối
với 12 C1 )
Khi giải câu b theo cách giải
trên thì ta sẽ gặp khó khăn
nào ?
Để khắc phục ta phải thực
hiện như thế nào ?
Giáo viên có thể cho học
sinh tìm cách giải khác ( đối
với 12 C1 )
Bước tính
''y
khó khăn hơn
bài a

 

+ >


> −

1m⇔ = −
Vậy giá trị cần tìm là : m = -1
b. Ta có :
{ }
\D m= ¡

( )
2 2
2
2 4
'
x mx m
y
x m
− + −
=
−
Hàm số đạt cực đại tại
1x
=
1
'(1) 0
3

Tìm m để hàm số có cực đại
và cực tiểu
Hàm số có cực đại và cực
tiểu khi
'y
đổi dấu 2 lần
Học sinh trình bày cách giải
+ Tính
'( )y x
+ Hàm số có cực đại và cực
tiểu khi
'y
đổi dấu 2 lần
'( ) 0y x⇔ =
có 2 nghiệm pb
0
0
m ≠

⇔

∆ >

2
0
2 1 0
m
m m
≠



− + + >

0
1
1
2
m
m
≠


⇔

− < <


0
1
1
2
m
m
≠


⇔

− < <


b.
2
2 1
( 1)
1
x x
y x
x
− −
= < −
+
c.
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên đoạn
[ ]
4;4−
d.
2
4y x x= − +

e.
2
4ln(1 )y x x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hãy nêu lại cách tìm GTLN,

+ Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x

trên
( )
;a b
mà tại đó
'( ) 0f x =

hoặc
'( )f x
không xác định
+ Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
Nội dung bài giải của học
sinh đã được chỉnh sửa
Kết quả
a. Không tồn tại GTLN

( )
0;
min ( ) 2f x
+∞
= −

−
= −
tại
2x = −
[ ]
2;2
max ( ) 2 2f x
−
=
tại
2x =
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m trong các số trên . Ta
có :
[ ]
[ ]
;
;
max ( ), min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
e.

[ ]
2;0
min ( ) 1 4ln 2f x
−
= −
tại

3y x x= +
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4
c. Tìm m để đường thẳng d :
4y mx m= − +
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3 3 2y x x x= − + −
, có đồ tị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d :
1
2010
3
y x= − +
2. Hàm trùng phương
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
2y x x= −
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
2x = −

c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 2 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
c. Tìm m để đường thẳng d :
2 1y x m= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
5 2010y x= +
Bài 3 : Cho hàm số :
2 4
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

c.
lny x x= −
d.
2
2 5y x x= + +
trên đoạn
[ ]
3;0−
e.
4 2
36 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;4−
f.
2
cos cos 2y x x= − +
g.
3
4
2sin sin
3
y x x= −
trên đoạn
[ ]
0;
π
5. Cực trị của hàm số
Bài 1 : Tìm m để hàm số
3