BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)

Bài 1: Giải phương trình

13232
122
+++=+
+
x
xx
xx

Giải:
Ta có
xxf
xx
++= 32)(
tăng trên R, nên phương trình tương đương

)1()2( += xff
x
12 +=⇔ x
x

Hàm số
)1(2)( +−= xxg
x
xác định trên R

( )
exxgxg

⎛
−−++−−
−−−++−− xxxx
xxxx

Giải :
Điều kiện
1≥x
.Đặt
0114312 ≥−−−++−−= xxxxt
(chứng minh)
phương trình tương đương
15)1(log
5
−=+
t
t

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
+=
⇔
−=−

Bài 3: Giải phương trình

324
42442
2
1
−+−= xxxx

Giải :
021224
234
=−+−−⇔ xxxx

Xét hàm số
12412421224
23/234
+−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy

Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1
Do đó đặt
1+= Xx
, ta có phương trình

⎢
⎢
⎣
⎡
+±=
−±=
⇔=+−

)(1
42
4.3
)(
2
/
−
+
=⇒−−
+
=
y
y
y
y
yfyyf

()
2
/
424.4ln.160)(
yy
yf +=⇔=

Đây là phương trình bậc hai theo
y
4
, nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle
phương trình
0)(

26
26
2
2008
−−=
+
+
+
xx
xx
x

Giải :
241
2008
2008
1
24
226
26
2
2
2
4
1
26
+=++⇔=
++
+
+


Bài 6: Giải phương trình

xx
xx
cossin
2
5
.sin
2
5
.cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Giải :
Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét
2
π

5
)( ≠<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= tt
t
tf
t
. Hàm số
)(
tf
nghịch biến
Suy ra
π
π
kxxx +=⇔=
4
cossin

Bài 7: Giải phương trình

322
32
54
log)2(
2


Bài 8: Giải phương trình

xx
xx
20072007
19751975
cos
1
sin
1
cossin −=−Giải :
x
x
x
x
2007
1975
2007
1975
cos
1
cos
sin
1
sin
−=−

π
kxxxxfxf +=⇔=⇔=
4
cossin)(cos)(sin

Bài 9: Giải phương trình

xxxxxx
4422
cos2cos3sin.sin22cos.
2
cossin.
2
sin −+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ππ

Giải :

+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⇔ xxxxxx
224224
cos.
2
coscos2cos2cos.
2
cos2cos22cos
ππ

Xét hàm số
10.
2
cos2)(
2
≤≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= tttttf
π

)256.256(log256.22.35).2(log.2
3
2
32562833
2
3 ttt
tt ==⇔

Hàm số
).2(log.2)(
3
2
3
tttf
tt
=
đồng biến trên
[
)
∞+;1

4;3025637634256
2
==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt

Bài 11: Giải phương trình

)16cos2cos4(log2cos
2
1

−
yy
y

Đặt
)1(132)13(log
2
≤−=⇔−= tyyt
t

Ta có hệ
ty
y
ty
ty
t
y
+=+⇔
⎩
⎨
⎧
−=
−+=
22
132
122

Xét hàm số
uug
u

−
=−==
xx
cba

03
333
=−++⇔
abccba
00
2
)()()(
)(
222
=++⇔=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−+−
++⇔ cba
accbba
cba

07.242
1
=+−⇔
−xx

322
−−=−−
+
+
xxxx

Giải :
Điều kiện
xvx <−< 31

)32(log)22(log
2
347
2
348
−−=−−⇔
++
xxxx

Đặt
347 +=a
và
32
2
−−= xxt

tt
aa
log)1(log
1

aa
a
1=⇔ y
là nghiệm duy nhất
Phương trình có nghiệm
34111 +±=xBài 14: Giải hệ phương trình

()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
4loglog
4loglog
4loglog
35
35
35
xz
zy
yx

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
t
tPhương trình có đúng 1 ngiệm
2=t
do hàm số
1
3
1
4
3
5
)( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟

2
2
2
2
2
1
xyxxyx
xy
y
x
x

Giải :
Từ phương trình (2)
2
21
1)2(
x
x
yxyx
−
=⇔=+⇔

(1)
22
2
2
21
2
2

2)(
/
>+=⇒+=
tt
tf
t
tf

22
2
2
21
2
1
x
x
x
x −
=
−
⇔

Hệ phương trình có 1 nghiệm
4
3
,2 −== yxBài 16: Giải hệ phương trình


1)1ln(1)1ln(
2222
+++=+++⇔ yyxx

Hàm số
1ln)( >+= ttttf
đồng biến trên
);0( ∞+

yxyx ±=⇔+=+⇔ 11
22

.Nếu
3;31)6(log)2(
3
−==⇔=−⇔−= yxxyx