ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Phần 1: đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài:
Nh ta đã biết, chuyên đề về phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ
bất phơng trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lợng khá lớn trong chơng trình phổ
thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lợng lớn bài tập mà ta không thể giải
đợc bằng phơng pháp thông thờng (trong phân phối chơng trình) hoặc có thể giải đợc
nhng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp.
Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định
nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải
các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể
sử dụng hàm số để giải nhng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì
vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "ứng dụng đạo hàm trong giải phơng
trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình".
II. Mục đích nghiên cứu:
- Trang bị cho học sinh về một phơng pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệu
quả rõ nét.
- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao
khả năng t duy, sáng tạo.
III. Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chơng trình toán phổ thông .
- Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi dạng.
IV. Phơng pháp nghiên cứu:
Phơng pháp chung của dạng bài tập này
- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về
tính đơn điệu của hàm số để giải.
- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về
một vế, đa phơng trình, bất phơng trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)

m; hoặc f(x)

) = m thì
tập nghiệm của bất PT là: T = D

(x
0
; +

) ( T = D

(-

; x
0
)) .
ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x
0


D sao có f(x
0
) = m thì
tập nghiệm của bất PT là: T = D

(-

; x
0
) (T = D

(x


)x(f
max
D
3. f(x)

m có nghiệm x

D

m


)x(f
max
D
4. f(x)

m có nghiệm x

D

m


)x(f
min
D
5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v


(hoặc
( ) ( )f u g u=
)
Bớc 2: Xét hai hàm số
( ); ( )y f x y g x= =
trên D
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
2
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
* Tính
'
1
y
, xét dấu
'
1
y
, kết luận tính đơn điệu của hàm số
1
( )y f x=
trên D
* Tính
'
2
y
, xét dấu
'
2
y
,kết luận tính đơn điệu của hàm số

u u=
)
* Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho
Dạng 2: PT đã cho biến đổi đợc về dạng
( ) ( )f u f v=
trong đó
( )u u x=
,
( )v v x=
Bớc 1: Biến đổi phơng trình về dạng
( ) ( )f u f v=
Bớc 2: Xét hàm số
( )y f x=
trên D
* Tính
'y
, xét dấu y'
* Kết luận hàm số
( )y f x=
là hàm số đơn điệu trên D.
Bớc 3: Kết luận:
* Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
u v=
, giải PT :
u v=
* Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho
2. ứng dụng hàm số để giải bất phơng trình
Phơng pháp :
Dạng 1: BPT biến đổi về dạng
( ) ( )f x g x>

,xét dấu
'
2
y
, kết luận tính đơn điệu của hàm số
2
( )y g x=
trên D
* Tìm
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )f x g x=
(hoặc tìm
0
u
sao cho
0 0
( ) ( )f u g u=
)
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
3
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

0
( ) ( ) ,f x g x x x x D> >
(hoặc
0

( ) ( ) ,f u f v u v x D> <
Bớc 3: Kết luận nghiệm của bất phơng trình đã cho
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a.
62x6x1x =++++
b.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x

=

c. 8log
2
(x
2
- x + 5) = 3(x
2
- x + 5)
d.
21xxx
)1x(22
2
=+

Trớc hết, ta nhận thấy các phơng trình trên không giải đợc bằng các phơng pháp
thông thờng hoặc có giải đợc thì cũng rất khó khăn. Ta sẽ tìm cách để sử dụng hàm số

b.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x

=

Điều kiện:
2 5 0 5 / 2
1 0 1
x x
x x






Viết lại phơng trình dới dạng :
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x

=

2 5 1 4
2 5 1 2
x x x
x x x
= =



= + =

Vậy phơng trình có hai nghiệm x=2 và x=4.
c. 8log
2
(x
2
- x + 5) = 3(x
2
- x + 5) (1)
Với phơng trình này ta cha thể có hàm số giống nh hai câu trên mà ta phải biến
đổi để tìm đợc hàm số mà ta muốn xét.
TXĐ: D =
Ă
Trên D (1)


2
2
2
log ( 5) 3
5 8

t
=
với t > e
Ta có
2
1 ln
'( )
ln 2
t
f t
t

=
< 0

t > e
Từ đó, vế trái của phơng trình (2) là hàm nghịch biến

t > e; vế phải là hằng số
Do đó phơng trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Mặt khác
3
(8)
8
f =

Phơng trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8
Với t = 8 ta có
2
5 8x x + =

2
+=+




xx21x2
2xx1x
2
+=+

Xét hàm số
( ) 2
t
f t t= +
với t


Ă
t
( ) 2 .ln2 1 0 f t = + >

t


Ă


f(t) là hàm số đồng biến trên
Ă

x
x
x x
+
+
Giải:
a.
3x42x6x >++
TXĐ: D =
[ ]
4;2
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
6
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Xét hàm số: f(x) =
6 2 4x x x+ +
với x

D
Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f(x) > 0

x

(2;4))
Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phơng trình có nghiệm x thì
(3; )x +
. Vậy tập nghiệm
là: T =
[ ]
4;2

Ă
.
Khi đó : (2)

( 2 1) ( 2) 2 1 2f x f x x x > >

2 1 2 1
2 1 2 1
x x x
x
x x x
> >



< + <


Ă
Vậy bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Ă
.
c.
2 3
log 1 log 9 1x x+ + + >
(1)
Điều kiện : x>-1, các hàm số
1 2
( ) log 1f x x= +

1 0 1x x
. Vậy TXĐ: D =
[
)
1; +
(1)

2( 1) 1
2
3 2( 1) 3 2 1
x
x
x x x
+
+ + +

2( 1) 1
( 1) 1 2
3 2( 1) 3 ( 1)
x
x
x x
+
+
+ +
(2)
Xét hàm số
1 2
( ) 3
t

x x y
y y x

+ + = +


+ + = +


b)
2 2
2 2
3
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x
x x

<


+ + >


Giải:
a. Điều kiện
0, 0x y

3
t
f '(t) , t
t
t
= + > >
+
suy ra hàm số đồng biến trên D.
Vậy trên D, phơng trình (1) đợc viết dới dạng
( ) ( )f x f y x y= =
.
Khi đó hệ đã cho trở thành
2
2
3 2 3
3 3 (2)
x x y
x x
x y
x y


+ + = +

+ =


=
=


2 2
0
0
0
1 4
0 log 2
1 4
log 2log 0
x
x
x
x
x
x
x x
>
>
>



< <

< <
< <
<



Giải (2): xét hàm số

các tập nghiệm tìm đợc để đa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phơng trình.
II. Dạng 2: Sử dụng hàm số để biện luận phơng trình
Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình sau:
a)
m
2
x
3x4x
2
+=+

b)
2 2 3 2
1 ( 2 2) 3 4 2mx m x mx x x x+ + + = +
c)
2
6 4 3 2
2 2 (4 ) 3 6
m x x m
m x m
+ +
= +
d)
2 2
2 1
2
log 3 2 log ( ) 3 2x x x m x x + + + +
- x + m = 0
Giải:
a)

với x

D
Ta có: f(x) =
2
1
3x4x
2x
2

+

Trên D ta có: f(x) > 0


2
1
3x4x
2x
2

+

> 0

x > 3;
f(x) < 0

2
1

3



m <
2
1

, đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm,
do đó phơng trình (1) có 1 nghiệm.
- Nếu m


2
1

, đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm, do đó
phơng trình (1) có 2 nghiệm.
b)
2 2 3 2
1 ( 2 2) 3 4 2mx m x mx x x x+ + + = +
Viết lại phơng trình dới dạng
2 3
1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)mx mx x x+ + + = +
3
3
1 1 ( 1) ( 1)mx mx x x + + + = +
+ = + + =
+ Giải và biện luận (I)
- Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm
- Với m

1 thì (3) có nghiệm
2
1
x
m
=

,
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
10
2
1

+
+
2
3

m
=

c)
2
6 4 3 2
2 2 (4 ) 3 6
m x x m
m x m
+ +
= +
(1)
Viết lại phơng trình dới dạng
2
6 2 4 3
2 6 2 4 3
m x x m
m x x m
+ +
+ + = + +
(2)
Xét hàm số
( ) 2
t
f t t= +
là hàm số đồng biến trên
Ă
, vậy (2)
2 2 2
( 6) (4 3 ) 6 4 3 ( 4) 3 6 (3)f m x f x m m x x m m x m + = + + = + =

- Với m = 2: phơng trình nghiệm đúng với
x R
- Với m = - 2: phơng trình vô nghiệm.
d)
2 2
2 1
2
log 3 2 log ( ) 3 2x x x m x x + + + +
- x + m = 0 (1)
Viết lại phơng trình dới dạng:
2 2
2 2
log 3 2 3 2 log ( )x x x x x m x m + + + = +
(2)
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
11
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Điều kiện: x
2
- 3x + 2 > 0

x < 1 hoặc x > 2. TXĐ: D =
( ;1) (2; ) +
Xét hàm số
2
( ) logf t t t= +
đồng biến trên khoảng
(0; )+
. Vậy trên D,
phơng trình (2) trở thành :

2 3
m
x
m

=

, là
nghiệm của (I) khi
2 2
2 3 2
0
2 3 2 3
m m m
m
m m
+
> <

1
3
2
2
m
m
<






+ thì phơng trình vô nghiệm.
III. Dạng 3: Sử dụng hàm số tìm điều kiện của tham số để phơng trình,
bất phơng trình thoả mãn điều kiện cho trớc.
Bài 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
0x310m5x)4m(2x2
2
=++++
(1) (m - tham số)
Giải: (1)


10m5x)4m(2x2
2
+++
= x - 3






=+++

22
)3x(10m5x)4m(2x2
03x

ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Phơng trình (1) có nghiệm

phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn x

3
ở bài này ta có thể sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để giải. Tuy nhiên ta
sẽ sử dụng hàm số để giải bài này.
Xét phơng trình (2) : Đặt f(x) =
5x2
1x2x
2

+
với x

3
Ta có: f(x) =
2
2
)5x2(
8x10x2

+
f(x) = 0






0 (3) (m - tham số)
Giải: Đặt 2
cosx
= t với
2
1


t

2 (vì -1

cosx

1)
Khi đó bất phơng trình (3) trở thành:
t
2
- mt + m + 3

0

m(t - 1)

t
2
+ 3 (4)
+ Nhận thấy: t = 1 không là nghiệm của bất phơng trình, nên:



)II(
1t
3t
m
1t
2
1
)I(
1t
3t
m
2t1
)4(
2
2
Xét hàm số: f(t) =
1t
3t
2

+
Ta có: f(t) =
2
2
)1t(
3t2t


< 0


1
1 2 +

f(t) - -
f(t)
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phơng trình (4) có nghiệm

hệ (I) có
nghiệm hoặc hệ (II) có nghiệm








7m
2
13
m
Vậy bất phơng trình (3) có nghiệm









2


0
Đặt t = cosx với t


[ ]
1;1
Khi đó, ta có bất phơng trình:
3t
4
- 20t
3
+ 36t
2
+ 24m - 12m
2


0

3t
4
- 20t
3
+ 36t
2



2
+ 72t = 12t(t
2
- 5t + 6)
f(t) = 0

12t(t
2
- 5t + 6) = 0







=
=
=
3t
2t
0t
Khi đó ta có bảng biến thiên:
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
14
+
+
+
7
+

min
1;1-


12m
2
- 24m

0

0

m

2
Vậy với m


[ ]
2;0
thì bất phơng trình (5) nghiệm đúng với mọi x

Ă
Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



<++
<+
)2(01mx3x

3
x
I
x
m
x
< <



+
>


hoặc:
3
1
0
3
( )
1
3
x
II
x
m
x

< <


2
3
x3
x21
, f(x) = 0


2
3
x3
x21
= 0

x =
3
2
1
Ta có bảng biến thiên:
x -

-1 0
3
1

3
2
1
+

f(x) + +




<

Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phơng pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều
kiện của ẩn phụ. Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn. Nếu ta sử
dụng hàm số thì việc tìm điều kiện sẽ đơn giản hơn. Ta xét ví dụ sau:
Bài 9: Cho phơng trình:
03m24
1xx2xx2
22
=++
+
(1) (m - tham số)
Tìm m để phơng trình có nghiệm x







2
3
;0
Giải:
Đặt t =
2
xx2

Từ đó suy ra tập giá trị của y là y
[ ]
1;0

2
0



2
xx2
2



2
1


1

t

2
Với điều kiện đó của t thì phơng trình (1) trở thành:
t
2
+ 2t + m - 3 = 0

m = -t

[ ]
2;1
g(t) = -2t - 2 g(t) = 0

t = -1
Từ đó ta có bảng biến thiên:
x -

1 2 +

y(x) -
y(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phơng trình (2) có nghiệm t
[ ]
2;1


m
[ ]
0;5
Vậy phơng trình (1) có nghiệm x







2
3


1x
13x

+

(vì: x

D nên x - 1 > 0)
Đặt f(x) =
1x
13x

+
với x

D
Khi đó: f(x) =
2
5 2 3
2 3( 1)
x x
x x


, f(x) = 0

2
5 2 3
2 3( 1)



)x(f
max
D


m


1 3
4
+
b. Bất phơng trình nghiệm đúng
[ ]
7;3x


m

[ ]
)x(f
min
73;

m


2
1

ữ
+

Đặt t =
2
x
tg
; với
2
x

. ; .
2 2
k k
+ +
ữ

,
k Â

Khi đó: sinx =
2
2
1
t
t+
, cosx =

PT (2) có nghiệm
Xét hàm số: f(t) = (1+2t-t
2
)
2

f(t) = 4(t - 1)( t
2
- 2t - 1) , f(t) = 0







=
+=
=
21t
21t
1t
Ta có bảng biến thiên:
t -

1 -
2
1 1 +
2
+


0
IV. Dạng 4: Sử dụng hàm số để đoán và vét hết tất cả các nghiệm của
phơng trình:
Dạng này thờng đợc sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phơng trình là các hàm
đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm đợc 1 hay 2 nghiệm. Dạng bài tập
này cho phép chúng ta dự đoán và chứng minh phơng trình chỉ chó các nghiệm mà ta
đã dự đoán. Ta xét các ví dụ sau:
Bài 12: Giải các phơng trình sau:
a. 2
x
+ 3
x
= 3x + 2
b. log
5
(2x + 1) = log
3
(x+1)
c.
3
3 1 log (1 2 )
x
x x= + + +
Nhận xét:
ở cả hai ví dụ trên ta đều thấy hai vế của phơng trình đều là các hàm đồng biến.
Mặt khác ở ví dụ a) ta nhẩm đợc 2 nghiệm là x = 0; x = 1
ở ví dụ b) ta nhẩm đựoc 2 nghiệm là x = 0; x = 2
Ngoài các nghiệm đó ra ta cha biết là phơng trình có còn nghiệm nào nữa
không. Ta sẽ tìm cách chứng minh phơng trình không còn nghiệm nào khác nữa.

2
x + 3
x
ln
2
x > 0

x

Ă

f(x) là hàm số đồng biến trên
Ă
Mặt khác f(x) là hàm số liên tục trên
Ă

Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
19
0
2
0
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Mà f(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0
f(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0

f(0).f(1) < 0



x

+

f(x) - 0 +
f(x)
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số nếu cắt trục hoành thì sẽ cắt
nhiều nhất tại 2 điểm. Do đó phơng trình (1) sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm
Mặt khác ta nhẩm đợc: f(0) = 0 ; f(1) = 0
Vậy phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1.
b. log
5
(2x + 1) = log
3
(x+1)
TXĐ: D =






+ ;
2
1
Đặt log
3
(x+1) = t

x + 1 = 3
t


Ă
Ta có: f(t) = 2.3
t.
ln3 - 5
t
ln5
f(t) = 0

2.3
t.
ln3 - 5
t
ln5 = 0

t =
)5(loglog
9
5
3
f(t) > 0

t <
)5(loglog
9
5
3
; f(t) < 0

t >

Với t = 0 ta có: x + 1 = 3
0


x = 0
Với t = 1 ta có: x + 1 = 3
1

x = 2
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 2
c.
3
3 1 log (1 2 )
x
x x= + + +
(1) Điều kiện
1
2 1 0
2
x x+ > >
Biến đổi phơng trình (1) về dạng
3
3 1 2 log (1 2 )
x
x x x+ = + + +


3
3 log (3 )
x x

trên D, mặt khác phơng trình g'(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm
3
2
log
ln3
x =
. Vậy phơng trình
g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên D.
Ta có: g(0) = g(1) = 0. Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
Nhận xét: Đôi khi ta phải sử dụng phơng pháp hàm số nhiều lần trong giải một PT.
V. Một số bài tập tự giải:
Bài 13: Giải các phơng trình sau:
a.
)3x(log
5
2
+
= x b. 2log
3
(tgx) = log
2
(sinx)
c.
x
1
2
1
22
22
2

222
3.m32 =+
Bài 16: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

R:
(
01m2.24)1m
xcosxcos
22
>+++
Bài 17: Cho phơng trình:
m
3x
1x
)3x(4)1x)(3x( =

+
++
a. Giải phơng trình với m = 3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm x
[
)
+ ;4
d. Tìm m để phơng trình có nghiệm x
[ ]
5;4
Bài 18: Cho bất phơng trình:
04.m6).1m2(9.m
xx2xx2

Tìm m để bất phơng trình trên có nghiệm mà mọi nghiệm của bất phơng trình
đó đều không thuộc tập xác định của hàm số: y =
2xlog).1x(log
1x
3
x
+
+
Phần 3: Kết luận - kiến nghị
I - kết luận:
- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng trong việc
giải phơng trình và bất phơng trình.
- Đề tài đã nêu đợc phơng pháp chung cho mỗi dạng cũng nh minh họa bằng các bài
toán cụ thể, đồng thời cũng đa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác
nhau.
- Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận đợc sự góp ý của Hội
Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh
22
ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
đồng khoa học nhà trờng Trung học phổ thông Phan Đình Giót, Hội đồng khoa học Sở
GD & ĐT Điện Biên.
Xin chân thành cảm ơn !
II - kiến nghị:
- Nh trên đã trình bày thì PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số.
Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm
số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Đặc biệt, đạo hàm là một công
cụ hữu ích, sắc bén.
- Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải các
dạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình học

24