Trang / 5
1
Së GD&§T NghƯ An
tRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2
K× thi chän häc sinh giái
N¨m häc 2009-2010
Mơn : Tốn khối 12 (Lần 1)
Thời gian:180 phút
Câu 1. (6.0 đ)
1/ Giả sử phương trình x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức:A = a
2
– 3b.
2/ Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh
3
tan(x+1) tan( 1) 5 5 (1)
2 1 (2)
5
, (3)
6 4
y y x
y x
x y
 


   

a/ Tìm tất cả các vò trí của điểm M sao cho Q đạt giá trò nhỏ nhất .
b/ Tìm giá trò lớn nhất của Q .
Câu 4 (3.5 đ)
Cho hai số a
1
, b
1
với 0 < b
1
=
1
a
< 1. Lập hai dãy số (a
n
), (b
n
) với n = 1, 2,
theo quy tắc sau:
n 1 n n
1
a (a b )
2

 
,
n 1 n 1 n
b a .b
 

Tính:

3
+ x
2
+ ax + b
+ Tp xỏc nh: R.
y = 3x
2
+ 2x + a l tam thc bc hai cú bit s = 1 3a.
+ Pt: x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 cú 3 nghim phõn bit nờn
y = 0 cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
v f(x
1
).f(x
2
)< 0.
0,5
+ Suy ra:
1 2
1 3a 0
f(x ).f(x ) 0




(6a 2)x 9b a
9

; f(x
2
) =

2
1
(6a 2)x 9b a
9

1,0
+ f(x
1
).f(x
2
) < 0 (6a-2)
2
x
1
x
2
+ (6a-2)(9b-a)(x
1
+ x
2
) + (9b-a)
2
< 0.

2
3b) + (9b a)
2
< 0
+ Vỡ (9b a)
2
0 v 3a 1 < 0 nờn a
2
3b > 0.
1.0
0,5
b.
3,0
T (1)

tan(x+1)+5x=tan(y+1)+5y
Hm s f(t) = tan(t+1)+5t cú f(t)>0 vi mi t
suy ra f(t) ng bin

f(x)=f(y)

x=y
1.5
Vi x=y th vo 2 ta cú
x=1 hoc
1 5
2
x



 
.
0.5
 d cắt hai đường tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1 tại các điểm
A(1;
0
0
x
x 1
), B(2x
o
– 1;1).
0,5
Giao của hai đường tiệm cận là I(1;1). Ta có chu vi IAB là:
P= IA+IB+AB=
2
0 0
2
0 0
1 1
2(x 1) 4(x 1)
(x 1) (x 1)
    
 
(vì x
0
>1)
1,0
sử dụng BĐT Cosi (hoặc sử dụng hàm số) Ta có
2( 2 1)P  

  
 
.
0.5
 d cắt hai đường tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1 tại các điểm
A(1;
0
0
x
x 1
), B(2x
o
– 1;1).
0,5
 Vì x
0
> 1 nên y
A
=
0
0
x
x 1
>1, x
B
= 2x
0
– 1 > 1. Do đó I ở miền trong
tam giác OAB nên:
0,5

1
2
.2(x
o
– 1).
0
1
x 1
0,5
Tính S
OAB
=
1
2
AB.h với h = d(O;AB).
 Tính S
OAB
=
1
2
AB.h với h Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ta
0,5
Trang / 5
4
hai số dương x
o
– 1,
0
1
2(x 1)

nhỏ nhất khi M(
1
1
2

,
1
1
2

).
1/
0
0
1
OA 1; ; OB (2x 1;1)
x 1
 

  
 

 
 
.
Cách khác: Tính diện tích OAB theo cách sau:
1/ Tính:
 
2
2 2

= 1 .
+ SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD. Gọi K là
trung điểm của SG . Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD)
cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại A
1
,B
1
,C
1
,D
1
.Từ N dựng mặt phẳng
song song với mp(ABCD) cắt SG tại N’.
Ta có:
MG
NG
=
OG
GN'
;
MG
NG
=1

N’trùng K

N thuộc cạnh hình bình hành
A
1
B

'
1
'
1
DCBA
là hình chiếu song song của hình bình hành A
1
B
1
C
1
D
1
lên
mp(ABCD)
theo phương SG .
3.0
b
+Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác
OAB,OBC,OCD,ODA
M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền
tam giác này. Chẳng hạn M thuộc miền

OAB. M

A

N

C’;

SG. Vì vậy :
OG
HG

OG
GN'

OG
SG
hay
2
1

MG
NG

2.
+ Đặt
x
=
MG
NG
Ta có : Q =
x
1
+
x
với
x


G
N'
N
M
O
D
C
B
A
s
1.0
Câu 4
3,5
+(0.50 đ) Tính a
2
, b
2
với 0 < b
1
=
1
a
< 1 ta có thể chọn 0 < a <
2

sao
cho: b
1
= cosa,
suy ra a


0.75
1.0
Trang / 5
6
+ Nhân hai vế của (1) và (2) cho
n 1
a
sin
2

và áp dụng công thức sin2a
được:
n 1
n n
n n
n 1 n 1
a
sin 2a.cos
sin 2a
2
a , b
a a
2 .sin 2 .sin
2 2

 
 
.
+(0.50 đ) Tính giới hạn: