Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ
CƠ CỔ ĐIỂN
II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ
HỌC LƯỢNG TỬ
III. GI Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA
BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC
IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH
V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ
SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ
PHỔ LIÊN TỤC
VI. TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG
LƯỢNG
VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ
DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC
VIII. S Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN
SỐ ĐỘNG LỰC
IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH
HEISENBERG
Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG
TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN
TOP
Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng
rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của
chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái
niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ

chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử có thể ở các
trạng thái mô tả bằng các hàm sóng thì hệ
cũng có thể ở trạng thái mô tả bằng hàm sóng
.
Trong đó là các hằng số bất kì và nói
chung là phức.
Tiên đề 2:
Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta
chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị
riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy.
Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu
diễn biến số động lực là những toán tử hecmit
(vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất
của toán tử hecmit.
Tiên đề 3:

Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được
chuẩn hóa.
Công thức
là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với
ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể
phải bằng một.
Nếu

III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN
SỐ ĐỘNG LỰC
TOP
Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số
động lực L biểu diễn bằng toán tử như sau:


Suy ra tử số của (3.3) là
.
Tương tự, mẫu số tính được là . Từ
đó công thức (3.3) trở thành: .
Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà
ta đã biết.
b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số
của (3.3) bằng 1 và ta dễ dàng tính được
. Cũng là công thức định nghĩa (3.1) mà
ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng
minh.
IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH
TOP
Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác
suất hay giá trị trung bình của biến số động lực
thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta hãy
tìm cách để tính chúng.
Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các
sẽ sai khác nhau một hằng số. Thông thường
ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức
xác suất được đơn giản.
V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN
TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN
TỤC
TOP
Ðối với toán tử có phổ liên tục thì hàm sóng
là:

sau:
Thay
thì tử số sẽ là
.
=

.
Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra

là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh
xong.
c/ Hệ số phân tích:
VI TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG
LƯỢNG
TOP
a/ Toán tử tọa độ:
Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái
của hạt được mô tả bởi hàm sóng ; giả sử
đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế
nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa
mãn. Tức là:

(3.4).
Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt
có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với
các hàm sóng là giao hoán được thì ta có:

(3.5).
Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta
sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với

suy ra được các toán tử khác.
a/ Toán tử năng lượng:
Trong cơ học cổ điển ta có công thức:
.
Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của
toán tử là:
.
Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu
thức ta được:
.
(3.6)
b/ Toán tử mô men động lượng:
Trong cơ học cổ điển ta có:

Thay dạng các toán tử dã biết ta được:
.
(3.7)

Ba toán tử trên là ba toán tử hình chiếu của
toán tử mô men động lượng có dạng là

(3.8)

VIII. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ
ĐỘNG LỰC
TOP
Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến

không giao hoán thì không đo chính xác đồng
thời được.
Giả sử không giao hoán. Ta hãy xét
xem khi đo chúng đồng thời thì độ chính xác đạt
đến mức độ nào?
Vì biến diễn hai biến số động lực nên
chúng là các toán tử hecmit. Nên ta có:

với là toán tử hecmit.
Gọi là giá trị trung bình của hai biến số
động lực L và M thì độ lệch khỏi giá trị trung
bình của L và M là:

.
Bây giờ ta hãy tính:

.
Thực hiện phép tính ở vế phải ta tính được:
.
Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một
thủ thuật sau:
Nếu đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính
xác phải tuân theo hệ thức bất định sau:
. Hay
Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu
như sau:
Khi quan sát một hệ lượng tử (electron
chẳng hạn), ta phải chiếu vào nó một bức xạ có
bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung
lượng P = ). Khi foton va chạm với

lượng
Bài 3-3. Toán tử năng lượng của một hạt
có thể viết dưới dạng:
. Hãy tìm độ bất định của năng lượng
đối với thời gian (t).
Bài 3-4. Hạt chuyển động trên trục x trong
khoảng (-a, a) và hàm sóng có dạng:
1/ Chuẩn hóa hàm sóng này.
2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng
(a/2 , a)
Bài 3-7. Ðộng năng của electron trong
nguyên tử Hydro có giá trị cỡ 10 eV. Hãy
dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kích
thước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên
tử.
Bài 3-8. Dùng hệ thức bật định đánh giá
năng lượng nhỏ nhất E
min
của electron
trong nguyên tử Hydro có kích thước là d.
Bài 3-9. Hạt vi mô có độ bất định về xung
lượng là 1% xung lượng của nó . Tính tỷ
số bước sóng De Broglie và độ bất định về
tọa độ x của hạt. Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER.

I. PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

có những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm
theo quan điểm vật lí. Thường những giá trị ấy
là những giá trị gián đoạn và một dải những giá
trị liên tục của E.

Trích đoạn HÀM SPIN TOP

---