Trần Văn Minh_Nguyễn cao nhạc (Đồng chủ biên)
Nguyễn huy hoàng_nguyễn văn việt
nguyễn minh khoa_ Đặng thị Mai
Phép tính
GiảI tích hàm
nhiều biến số thực
Giáo trình toán A3
Dành cho cán bộ, sinh viên
các ngành kinh tế kỹ thuật
Nhà Xuất Bản Giao Thông Vận Tải Hà Nội 2004
Chơng 1
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
1
Hàm số nhiều biến số
1.1 Tập hợp trong R
n
Xét không gian Ơclit n chiều R
n
(n>1):
R
n
={x=(x
1
,x
2
,,x
n
): x
i
R, i=
n,1

khoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số đợc xác định bởi:
d(M,N)=

=

n
i
ii
yx
1
2
)(
(1)
Từ (1) dễ dàng chứng minh đợc bất đẳng thức tam giác, với ba điểm A, B, C bất kỳ trong R
n
luôn có:
d(A,C)d(A,B)+d(B,C)
b. Lân cận: Cho M
0
R
n
và >0 đủ bé, ta gọi _lân cận của M
0
là tập hợp, ký hiệu u

(M
0
), xác định
bởi:
u

=r-d(M
0
,M) khi đó u

(M
0
) nằm hoàn toàn trong E, vì nếu M u

(M
0
) thì d(M
0
,M)< , khi đó theo
bất đẳng thức tam giác ta có:
d(M
0
M)d(M
0
,M)+d(M,M)<d(M
0
,M)+ =r
d. Biên của tập hợp: Ta gọi M
0
là điểm biên của tập E nếu mọi u

(M
0
) vừa chứa những điểm thuộc E
vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E.
Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E.

cho ứng mỗi x=(x
1
,x
2
,,x
n
)D với một số thực xác định u là một hàm số n biến xác định trên D và ký
hiệu:
u=f(x
1
,x
2
,,x
n
)
Nếu xem (x
1
,x
2
,,x
n
) là toạ độ của điểm MR
n
thì ta cũng có thể viết u=f(M).
Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z).
Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f.
Nếu hàm hai biến cho bởi:
z=f(x,y)
trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng hiện.
Nếu từ biểu thức:

a.
xy
x
z +=
2
arcsin
Miền xác định đợc xác định từ bất đẳng thức kép:







0
1
2
1
xy
x
Vậy ta đợc:






0,0
22
yx

2
2
2
2
2
++
c
z
b
y
a
x
, đó là một elipxôit, hình 2b.
Hình 2a Hình 2b
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
3
Ví dụ 1.2: Biểu diễn hình học hàm số:
a. x
2
+y
2
=3-z là Paraboloit có đỉnh (0,0,3), hình 3a.
b. x
2
+y
2
=(6-z)
2
là nón có đỉnh (0,0,6), hình 3b.
c. x=y

0
,y
0
) là một điểm có thể thuộc D hoặc không thuộc D.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM
0
nếu >0, >0 sao cho MD,
0<(M
0
,M)<:f(M)-a<. Ký hiệu:

aMf
MM
=

)(lim
0

hoặc
ayxf
yy
xx
=


),(lim
0
0
hoặc
),(lim

1. Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức điểm M dần đến M
0
, do đó nếu
M dần đến M
0
theo những cách thức khác nhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không có
giới hạn khi M dần đến M
0
.
2. Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây:
=


),(lim
0
0
yxf
yy
xx
,
ayxf
y
x
=


),(lim
,
=



22
0
0
)sin(
lim
yx
xy
y
x
+


=
222
2
0
22
2
0
1)1(
lim
)1(
sin
lim
k
k
xk
kx
xk

22

+
yx
yx
x
nên:

yy
yx
x
yx
xy

+
=
+
2222
Vậy
22
0
0
lim
yx
xy
y
x
+



yxfyyxxff ++=
gọi là số gia toàn phần của f(x,y) tại (x
0
,y
0
). Ta thấy, f(x,y) liên tục tại (x
0
,y
0
) khi và chỉ khi:
0lim
0
0
=


f
y
x
Nếu f(M) không liên tục tại M
0
thì ta nói nó gián đoạn tại M
0
. Hiển nhiên M
0
là điểm gián đoạn của
f(M) khi:
(i) Hoặc f(M) không xác định tại M
0
.

yx
xy

Trong đó là một số dơng.
Ta thấy, f(x,y) liên tục với mọi (x,y)(0,0) vì nó là thơng của hai hàm liên tục có mẫu số khác
không. Xét tại điểm (0,0), theo bất đẳng thức Côsi ta có:
)(
2
1
22
yxxy +
Do đó
122
)(
2
1
),(

+


yxyxf
Nếu >1 ta có
0),(lim
0
0
=


yxf

nếu hàm số một biến số z=f(x,y
0
) có đạo hàm tại x=x
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y)
đối với x tại (x
0
,y
0
) và ký hiệu là:
f
x
(x
0
,y
0
) hay z
x
(x
0
,y
0
),
Hoặc
x
yxf

),(
00
hay


+
=


=



),(),(
limlim
),(
0000
0
00
0
Tơng tự, nếu cho x=x
0
cố định, nếu f(x
0
, y) có đạo hàm tại y
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của f(x,y) tại (x
0
,y
0
) theo y. Ta cũng ký hiệu đạo hàm riêng theo y là:
f
y

),(),(
0000
yxfyyxff
y
+=
gọi là số gia riêng tơng ứng của y tại y
0
. Khi đó ta có:

y
yxfyyxf
y
f
y
yxf
yy
y
y

+
=


=



),(),(
limlim
),(

y
x
u
x
.
Đặt
222
zyxr ++=
, khi đó u=
r
1
ln
. Do
r
x
r
x
='
nên:
r
r
r
r
r
x
u
x
x
'
'

2
r
z
=
Do đó:
=


+


+


z
u
z
y
u
y
x
u
x
1
2
2
2
2
2
2

Trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc (x
0
,y
0
) mà không phụ thuộc
x
,
y
, còn o(
x
,
y
) là một
vô cùng bé cấp cao hơn
22
)()( yx +=

khi
x
,
y
dần tới không.
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
6
Biểu thức A
x
+B
y
gọi là vi phân toàn phần của f(x,y) tại (x
0

điểm đó và:
y
y
z
x
x
z
dz


+


=
Chứng minh: Vì z=f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
), nên:
),( yxoyBxAz ++=
Với y=0 ta có:
x
xo
A
x
xoxA
x
z




=


0
lim
Nên ta có:
y
y
z
x
x
z
dz


+


=
Tuy nhiên, ngợc lại, nếu z=f(x,y) có các đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) cha chắc nó đã khả vi tại đó.
Ví dụ 1.6: Xét hàm:
f(x,y)=




x
fxf
x
Tơng tự có: f
y
(0,0)=0.
Tuy nhiên theo ví dụ 1.2, f(x,y) không liên tục tại (0,0) nên nó không khả vi tại đó.
Nh vậy khác với hàm một biến số, đối với hàm nhiều biến số, điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiện
hàm có các đạo hàm riêng tại một điểm. Tuy nhiên, định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện để hàm có đạo
hàm riêng tại một điểm thì cũng khả vi tại đó.
Định lý 2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi)
Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M
0
(x
0
,y
0
) và nếu các đạo hàm riêng đó liên
tục tại M
0
(x
0
,y
0
) thì f(x,y) khả vi tại đó.
Chứng minh: Ta có:
),(),(
0000
yxfyyxxfz ++=
=

và f
y
liên tục tại M
0
(x
0
,y
0
) nên khi cho x0, y0
ta có:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
7
),(),('),('
100010
yxyxfyyxxf
xx
+=++

),(),('),('
200200
yxyxfyyxf
yy
+=+

trong đó
0),(
1
yx

,

'
yx
y
z
x
+
=
,
22
'
yx
x
z
y
+
=
Nên với (x,y)(0,0) ta có:
dy
yx
x
dx
yx
y
dz
2222
+

+
=
c. ứng dụng vi phân tính gần đúng

yx
x
z
y
+
=
, nên:

95,0
02,1
arctg
82,0035,0
4
)05,0(
2
1
02,0
2
1
1 +=+

arctg
3. Đạo hàm của hàm hợp
a. Hàm hợp của hàm hai biến
Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y:



=
=

v


,
y
v


liên tục trong miền D, u(D) và v(D) thì khi đó trên D tồn tại các đạo hàm
riêng
x
z


,
y
z


và:











z
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
(2)
Công thức (2) có thể viết dới dạng sau:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
8
















x
v
x
u
















v
f
u
f
(3)
Ma trận:





vuD
y
v
y
u
x
v
x
u








(4)
Ví dụ 1.9: Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp cho bởi:
z=e
u
ln(u+v)
với



+=
=
22
2

f
x
z




+




=


=e
u
y
vu
vu 2
1
)ln(






+
++



)(
2
)ln(
42
yx
yxxe
y
z
xy
b. Hàm hợp của hàm một biến
Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x,y đều là hàm của biến độc lập t:



=
=
)(
)(
tyy
txx
Khi đó z=f(x(t),y(t)) là hàm hợp một biến t, nên nó có đạo hàm theo t. Đây cũng chính là trờng hợp
riêng của trờng hợp trên với u=x, v=y còn x=y=t. áp dụng công thức ta có:
dt
dy
y
f
dt
dx

)cos(2
22
yxx
x
z
+=


,
)cos(2
22
yxy
y
z
+=


ttax
t
2
cossin3' =
ttay
t
2
sincos3' =
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
9
dt
dy
y

+


=
(6)
Ví dụ 1.11: Cho
y
x
z arcsin=
,
11
y
x
và y=x
2
Ta có:
22
2
2
1
1
1
xy
y
x
y
x
z

=

x
f
dx
dz


+


=
=








y
x
xy
2
22
2
1
1
=
24
1

,y
0
) và nếu F
y
(M
0
)0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đó
của x
0
, hàm số đó có giá trị y
0
khi x=x
0
, liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên.
Định lý 5: Giả sử F(x
0
,y
0
,z
0
)=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) và nếu F

0
(x
0
,y
0
,z
0
,u
0
,v
0
) và nếu tại các điểm ấy định thức Jacôbi:
0
''
''
),(
),(
=
vu
vu
GG
FF
vuD
GFD
(10)
thì hệ thức:



=



+


dx
dy
y
F
x
F
Từ đó ta đợc:
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
=
(11)
Ví dụ 1.12: Chứng tỏ phơng trình tiếp tuyến tại (x
0
,y
0
) trên Elip:
1
2
2

F
x
=
2
2
a
x
, F
y
=
2
2
b
y
Do đó:
y
x
a
b
F
F
dx
dy
y
x
2
2
'
'
==

xx
(ii) Từ biểu thức (8) lần lợt lấy đạo hàm riêng hai vế theo x, y ta đợc:
0=




+


x
z
z
F
x
F
0=




+


y
z
z
F
y
F

z =+
Ta có: F(x,y,z)=
0
2
222
=+ zy
x
z
F
x
=
2
2
x

, F
y
=
22
zy
y


, F
z
=2z+
22
zy
z




+
==


22
21
'
'
zyz
y
F
F
y
z
z
y
(iii) Từ hệ thức (9) lần lợt lấy các đạo hàm riêng theo các biến x của hệ ta đợc:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
11







=


x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
(14)
Hệ (14) là hệ tuyến tính với các đạo hàm riêng
x
v
x
u




,
. Do định thức Jacôbi:
0
''

vuD
GFD
uxD
GFD
x
v
=


, (15)
Thay x bởi y, hoặc z ta có các đạo hàm riêng theo y và theo z.
Ví dụ 1.14: Cho hệ hàm ẩn u, v xác định bởi:



++=
++=+
222
zyxuv
zyxvu
Tìm các đạo hàm riêng cấp một của chúng theo x.
Ta có:



++=
++=
uvzyxG
vuzyxF
222

xu
vu
xu
x
u


=

+
=

22
Do tính đối xứng ta có:
uv
xv
vu
xv
x
u


=

+
=

22
5. Đạo hàm theo hớng
Giả sử u=u(x,y,z) là hàm xác định trên miền DR

dần đến M
0
theo hớng

l
mà tỷ số:

)()(
0
MuMu
u

=

Hunh Ngc Cm -T internet Trang
12
dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy đợc gọi là đạo hàm của hàm u(x,y,z) theo hớng

l
, ký
hiệu:



l
Mu )(
0
.
Hiển nhiên đạo hàm của u(x,y,z) theo hớng


cos
)(
000
z
Mu
y
Mu
x
Mu


+


+


Chứng minh: Vì u(x,y,z) khả vi tại M
0
nên:
)()(
0
MuMuu =
=
)(
)()()(
000

oz
z

)(
cos
)(
000
o
z
Mu
y
Mu
x
Mu
+


+


+


Chuyển qua giới hạn khi 0 ta đợc biểu thức cần chứng minh.
Tại M(x,y,z), ký hiệu:









i
x
Mu
MuGrad ,,
)()()(
)(
đọc là Građiên của u tại M(x,y,z). Khi đó ta có:




l
Mu )(
0
=

cos
)(
cos
)(
cos
)(
000
z
Mu
y
Mu
x
Mu


là lớn nhất.
Hiển nhiên ta có các đạo hàm riêng
x
u


,
y
u


,
z
u


là các đạo hàm theo hớng là các trục Ox, Oy, Oz.
Ví dụ 1.15: Cho u=xyz, tìm đạo hàm theo hớng tại M
0
(5,1,2) theo hớng
10
MM
, với M
1
(7,-1,3).
Ta có:
10
MM
=(2,-2,1),
39



M
xz
y
u
,
5
0
==


M
xy
z
u
Vậy
3
11
3
1
5
3
2
10
3
2
.2 =+=










,
xy
f
yx
f
x
f
y
"
2
=


=










"
2
2
y
f
y
f
y
f
y
=


=












Tơng tự, các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu có, gọi là các đạo hàm riêng cấp ba.
Trong các đạo hàm riêng cấp hai
2
"

0
(x
0
,y
0
) thì
xy
f "
(x
0
,y
0
)=
yx
f "
(x
0
,y
0
).
Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kỳ.
Ví dụ 1.16: Cho hàm









2
2
g
y
fyz
xx
+=
,
'
2
"""
34
2
2
g
y
x
g
y
x
fxz
yy
++=
Do
'
2
'' g
y
x
yzxz

y
dy)
Tơng tự, vi phân toàn phần cấp ba:
d
3
z=d(d
2
z)

d
n
z=d(d
n-1
z)
và chúng đợc gọi là các vi phân toàn phần cấp cao của z.
Giả sử z=f(x,y) thoả mãn định lý Schwartz, khi đó:
d
2
z=d(f
x
dx+f
y
dy)
=
2
"
x
f
dx
2

Ngời ta thờng dùng ký hiệu tợng trng:
dz=
dy
y
f
dx
x
f
f
dy
dx
dx

+


=









+

Khi đó với các vi phân toàn phần cấp cao ta có:
d










+


Ví dụ 1.17: Cho z=arctg
y
x
, tính d
2
z và d
2
z(0,1).
Ta có: z
x
=
22
yx
y
+
, z
y
=

1
yx +
222
2
)(
2
yx
y
+

=
222
22
)( yx
yx
+

Do vậy:
d
2
z=
222
)(
2
yx
xy
+

dx
2

+x,y
0
+y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:

),(),(),(
000000
yxdfyxfyyxxf +=++
++
!2
),(
00
2
yxfd

)!1(
),(
!
),(

00
1
00
+
++
++
+
n
yyxxfd
n
yxfd

d
2
f=
[ ]
2
22
)1()1(
)])(1())(1][()1[(4
yxyx
dydxyxdydxyxxdydxy
++++
+++++++
d
2
f(0,0)=-2dxdy
Sử dụng công thức Maclôranh:
f(x,y)=f(0,0)+df(0,0)+
2
1
d
2
f(0,0)+
với dx=x, dy=y ta đợc:
yx
yx
arctg
+
++
1
1


++== ktzjtyitxOMtr )()()()(
(17)
Đó là một hàm véc tơ phụ thuộc tham số vô hớng t. Khi t chạy trên [t
0
,T], điểm M sẽ vẽ lên một đờng
cong L trong không gian gọi là tốc đồ của
)(tr

.
Gọi
)()(
0
trtrr

=
là số gia tơng ứng với số gia
0
ttt =
. Khi đó, nếu tồn tại giới hạn:
)('lim
0
0
tr
t
r
tt





)(
,
MMrrr
00
==

Véc tơ
t
r



là một hàm véc tơ nằm theo dây cung M
0
M. Khi
0
tt
, M dần đến M
0
trên đờng cong L,
phơng của dây cung M
0
M dần đến trùng với phơng của tiếp tuyến M
0
T của đờng cong tại tiếp điểm M
0
nếu tiếp tuyến này tồn tại.
Nh vậy đạo hàm:


tyy
txx
t[t
0
,T]
Theo (18)

++= ktzjtyitxtr )(')(')(')('
0000
là véc tơ chỉ phơng của tiếp tuyến tại M
0
, do đó phơng
trình của tiếp tuyến với đờng cong tại M
0
là:
)(')(')('
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
=


x
x
F
F
y
'
'
' =
nên
véc tơ:












=

y
F
x
F
n ,
là véc tơ pháp của tiếp tuyến. Nếu đờng cong có phơng trình y=f(x), khi đó véc tơ pháp của tiếp tuyến

vị: x
2
+y
2
=1.
Đặt F(x,y)=x
2
+y
2
-1 , ta có:
y
y
F
x
x
F
2,2 =


=


Do đó
( ) ( )
yx
yx
y
yx
x
,

Tại mỗi M
0
thuộc S nói chung có vô số đờng cong nằm trong S đi qua, cho nên tại mỗi M
0
thuộc S có
vô số tiếp tuyến khác nhau. M
0
đợc gọi là điểm bình thờng nếu tại đó cả ba đạo hàm riêng F
x
(x,y,z),
F
y
(x,y,z), F
z
(x,y,z) đều tồn tại, liên tục và không đồng thòi triệt tiêu. Một điểm không bình thờng đợc
gọi là điểm kỳ dị trên mặt cong. Nếu M
0
là điểm bình thờng ta kết quả sau:
Định lý 10: Quỹ tích của mọi tiếp tuyến của mặt S tại mọi điểm bình thờng của S là một mặt phẳng
đi qua nó.
Chứng minh: Giả sử L là một đờng cong nào đó thuộc S có phơng trình:





=
=
=
)(

=

với véc tơ chỉ phơng
)}('),('),('{
0000
tztytxn =

. Vì L thuộc S nên x(t), y(t), z(t) thoả mãn phơng trình:
F[x(t),y(t),z(t)]=0
Đạo hàm hai vế theo t ta đợc:
0)(')(')(' =


+


+


tz
z
F
ty
y
F
tx
x
F

Chứng tỏ

tt
z
F
y
F
x
F
FGrad
=














=
vuông góc với véc tơ
)}('),('),('{
0000
tztytxn =

.

17
Hình 6
Chúng ta thấy véc tơ pháp của mặt tiếp diện tại M thuộc S cũng chính là véc tơ chỉ phơng của pháp
tuyến tại M, và là:














=
z
F
y
F
x
F
FGrad ,,
Đặt
222
)'()'()'(
zyx

'
Nếu mặt S có phơng trình z=f(x,y), ta có:

22
''1
'
cos
yx
x
ff
f
++
=

22
''1
'
cos
yx
y
ff
f
++
=

22
''1
1
cos
yx


và phơng trình tiếp diện là:
(x-x
0
)F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)+(y-y
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)+(z-z
0
)F
z
(x
0
,y
0

hay 2x-y+2z-2=0
(ii) Phơng trình của pháp tuyến
2
1
1
2
12
1
=


=

zyx
(iii) Góc giữa pháp tuyến và trục Oy là:
3
1
9
1
cos ==

1.4 Cực trị của hàm nhiều biến
1. Cực trị không điều kiện
Định nghĩa 6: Cho hàm z=f(x,y) xác định trong miền D và điểm M
0
(x
0
,y
0
)D. Ta nói rằng f(x,y) đạt

,y
0
) mà tại đó có các đạo hàm riêng f
x
(x
0
,y
0
), f
y
(x
0
,y
0
) thì các
đạo hàm đó bằng không.
Thật vậy, vì f(x,y) đạt cực trị tại (x
0
,y
0
) nên các hàm một biến f(x,y
0
) và f(x
0
,y) cũng đạt cực trị tại x
0
và y
0
vì vậy theo định lý Fecma ta có f
x

Giả sử hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của
điểm M
0
(x
0
,y
0
) và:



=
=
0),('
0),('
00
00
yxf
yxf
y
x
Khi đó, đặt A=
),(
00
"
yxf
xx
, B=
),(
00

,y
0
) là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu B
2
-AC>0 thì M
0
(x
0
,y
0
) không là điểm cực trị.
(iii) Nếu B
2
-AC=0 thì cha thể kết luận về M
0
(x
0
,y
0
).
Chứng minh: Giả sử M
( )
yyxx ++
00
,
thuộc lân cận M
0
(x
0

Nếu y=0 ta có G=Ax
2
cũng luôn cùng dấu với A. Nh vậy ta luôn có f(M)-f(M
0
) luôn cùng dấu với
A, vậy nếu A<0 ta có cực đại, nếu A>0 ta có cực tiểu.
Giả sử B
2
-AC>0, tam thức bậc hai Au
2
+2Bu+C đổi dấu khi u biến thiên, do đó đổi dấu nên f(x,y)
không có cực trị tại M
0
.
Giả sử B
2
-AC=0, tam thức bậc hai Au
2
+2Bu+C có nghiệm kép u
0
. Ta không xét trờng hợp này.
Ví dụ 1.21: Tìm cực trị của hàm số
22
1 yxxyz =
Hàm số xác định trên hình tròn x
2
+y
2
1. Đặt u=
22

z
xu
u
y
z
y
x
có các nghiệm:
M
1
(0,0), M
2








3
1
,
3
1
, M
3













3
1
,
3
1
Vì z là hàm lẻ với từng biến nên ta chỉ cần xét các điểm M
1
, M
2
.

=
"
xx
z
u
xy
u
yx 3
3
3

A=C=0, B=1. B
2
-AC>0
nên không là điểm cực trị,
Tại M
2
ta có:
A=C=
3
4

, B=
3
2


và B
2
-AC=
04
3
16
3
4
<=
Vậy M
2
là điểm cực đại với z
max
=

biến số, do đó ta có thể dùng cực trị hàm một biến để tìm cực trị có ràng buộc.
Trong trờng hợp chung ta có thể dùng phơng pháp nhân tử Lagrange dựa vào định lý sau.
Định lý 13: ( Điều kiện cần của cực trị có điều kiện)
Gỉa sử M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực trị có điều kiện của hàm (22) với điều kiện (23). Nếu
(i) ở lân cận M
0
các hàm số f(x,y) và (x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục.
(ii) các đạo hàm riêng
x
,
y
không đồng thời bằng không tại M
0
.
Khi đó tại M
0
có:
0
''
''
=
yx
yx
ff

y
(x
0
,y
0
)dy=0
Lấy vi phân hai vế của (23) ta đợc:

x
(x
0
,y
0
)dx+
y
(x
0
,y
0
)dy=0
Ta đợc hệ tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy và hệ có nghiệm không tầm thờng, do đó nó có định thức
bằng không:
0
''
''
=
yx
yx
ff



có nghiệm không tầm thờng (1, ). Nh vậy, hệ:





=
=+
=+
0),(
0),('),('
0),('),('
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx



(26)
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
20
cho phép ta tìm và điểm tới hạn (x
0
,y
0
). Số đợc gọi là nhân tử Lagrange, còn phơng pháp tìm điểm
tới hạn (x

=
Tính:
d
2
F(x
0
,y
0
)=
),(
2
2
22
2
2
2
00
2
yx
dy
y
F
dxdy
yx
F
dx
x
F



d
2
F(x
0
,y
0
)>0 (30)
thì M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực tiểu có điều kiện.
(iii) Nếu:
d
2
F(x
0
,y
0
)=0 (31)
thì cha có kết luận.
Ví dụ 1.22: Tìm cực trị của hàm
z=x
2
+y
2

với điều kiện: ax+by+c=0 (c0)


2222
,
ba
bc
ba
ac
.
Theo ý nghĩa hình học, biểu thức z=x
2
+y
2
là khoảng cách từ M(x,y) đến gốc toạ độ, nên bài toán của
chúng ta là tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc toạ độ đến đờng thẳng ax+by+c=0. Do đó, M
0
chính là
chân đờng vuông góc hạ từ O xuống đờng thẳng, vậy M
0
là điểm cực tiểu (Hình 7).
Hình 7
Ta cũng có thể dùng hàm bổ trợ:
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
=x
2
+y
2
+(ax+by+c)
Khi đó:
F
x

0),('
0),('
yxf
yxf
y
x
Nếu biên của D có phơng trình:
(x,y)=0
thì các điểm tới hạn trên biên của D là các điểm tới hạn có điều kiện, ta có thể dựa vào phép tìm cực trị
có điều kiện để tìm nó.
Ví dụ 1.23: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
z=8x
2
+3y
2
+1-(2x
2
+y
2
+1)
2
trên miền đóng xác định bởi: x
2
+y
2
1.
Xét trên miền: x
2
+y
2

1
,0
, M
2









2
1
,0
, M
3








0,
2
1
, M

2
=1.
Ta có: y
2
=1-x
2
, thay vào hàm z ta có:
z = 8x
2
+3(1-x
2
)+1-[2x
2
+(1-x
2
)+1]
2
= -x
4
+x
2
=x
2
(1-x
2
)
Ta phải tìm cực trị với: -1x1. Ta thấy hàm đạt trị nhỏ nhất bằng không khi x=1, và đạt giá trị
lớn nhất bằng
4
1

yx
2
22

, tính








yx
f
1
,
1
3. Tìm hàm f(x) nếu
y
yx
x
y
f
22
+
=




+

f. z=arsin
x
y 1
g. u=
22
1ln( yxz +
h. u=
)4ln(
2
222
22
zyx
zyx

++
7. Tìm các giới hạn sau
a.
x
xy
y
x
sin
lim
2
0


b.

d.
)cos1(
1
lim
2
22
0
0
y
y
yx
y
x

++


8. Xét sự liên tục của hàm số
a. f(x,y)=





=






)
22
yx +
b. u=
z
y
x
c. u=
z
y
e
xyz
sin
d. u=
222
1
zyx
e
++
10. Chứng minh rằng hàm số z=yln(x
2
-y
2
) thoả mãn phơng trình:
2
'
1
'
1
y

6
,1

Hunh Ngc Cm -T internet Trang
23
12. Tính gần đúng
a.
3
22
)05,1()02,3( +
b. ln
( )
4
3
198,003,1 +
13. Tính đạo hàm của các hàm hợp
a. z=
vu
e
2
2

, u=cosxy, v=
22
yx +
b. z=ln(u
2
+v
2
), u=xy, v=


+


15. Biến đổi phơng trình
yx
yx
dx
dy

+
=
bằng cách chuyển về toạ độ cực:



=
=


sin
cos
ry
rx
16. Tính các đạo hàm của các hàm ẩn
a. Tính y
x
, y
xx
với: x

18. Cho u=
zy
zx
+
+
, với z=z(x,y) là hàm ẩn xác định từ
ze
z
-xe
x
-ye
y
=0
Tính u
x
, u
y
.
19. Tính các đạo hàm riêng cấp hai và vi phân cấp hai của các hàm số
a. z=
22
3
1
yx +
b. z=
22
ln yxxy +
c. z=ln(x+
2
1 x+

2
2
2
2
2
2
=


+


+


z
u
y
u
x
u
21. Hàm số f(x
1
,x
2
,,x
n
) gọi là thuần nhất bậc k nếu
f(tx
1

=


n
i
i
i
kf
x
f
x
1
(công thức Ơle)
22. Tính đạo hàm của hàm u=x
3
y
2
z tại M
0
(1,2,-1) theo hớng
10
MM
, với M
1
(0,4,-3).
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
24
23. Tính
uGrad
u= xy+yz+zx tại M








=
=
=
2
cos
1
2
sin
te
z
y
te
x
t
t
tại t=0 c.





=
=

2
-2x-y d. z=x
3
+y
3
-3xy
28. Tìm cực trị có điều kiện
a. z=1+x+2y trong x0, y0, x+y1
b. z=x
2
-y
2
trong x
2
+y
2
1
c. z=x
2
+y
2
-12x+16y trong x
2
+y
2
25
d. z=sinx+siny+sin(x+y) trong
2
0