C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vỊ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
D¹ng 1 : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
u
r
= (a; b; c).
Ph¬ng ph¸p: PT tham sè cđa ®êng th¼ng d lµ:
a
: b
c
= +


= + ∈


= +

¡
o
o
o
x x t
(d) y y t ; t
z z t
Chó ý: NÕu abc

lµm VTCP.
D¹ng 4: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua ®iĨm A và vuông góc mp(α)
B1: Tìm VTPT của (α) là
r
n
.
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn
r
n
lµm VTCP.
D¹ng 5: ViÕt PT ®ường thẳng (d) ®i qua ®iĨm A và vuông góc víi c¶ 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
)
B1: Tìmc¸c VTCP
1 2
,
ur uur
u u
cđa d
1
; d
2
.
B2: §êng th¼ng d có VTCP lµ:
r
u
=
1 2

b c c a a b
u ; ;
b' c' c' a' a' b'
 
=
 ÷
 
r
B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm M
0 0 0
(x ; y ;z )
vµ nhËn
u
r
lµm VTCP.
C¸ch 2:
B1: T×m to¹ ®é 2 ®iĨm A, B
d∈
. (T×m 2 nghiƯm cđa hƯ 2PT trªn)
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng AB.
C¸ch 3: §Ỉt 1 trong 3 Èn b»ng t (ch¼ng h¹n x=t), gi¶i hƯ 2 PT víi 2 Èn cßn l¹i theo t råi suy ra PT tham
sè cđa d.
D¹ng 7: ViÕt PT h×nh chiÕu cđa ®êng th¼ng d trªn mp(P).
B1: ViÕt PTmp(Q) chøa d vµ vu«ng gãc víi mp(P).
B2: H×nh chiÕu cÇn t×m d’=
(P) (Q)∩
(Chó ý: NÕu
d (P)⊥
th× h×nh chiÕu cđa d lµ ®iĨm H=
d (P)∩

1
vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng d
2
vµ d
3
.
B1: ViÕt PT mp(P) song song víi d
1
vµ chøa d
2
.
B2: ViÕt PT mp(Q) song song víi d
1
vµ chøa d
3
.
B3: §êng th¼ng cÇn t×m d=
(P) (Q)∩
Dạng 10: Viết PT ng thng d đi qua im A, vuụng gúc ng thng
1
d
v ct ng thng
2
d

Cách 1:
B1: Viết PT mt phng (

) qua im A v vuụng gúc ng thng d
1


)
B2: Tỡm giao im B =
(P) d'
B3: ng thng cần tìm d đi qua hai im A v B.
D ạng 12: Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v ct hai ng thng d
1
, d
2
cho trc .
B1: Tỡm giao im A
1
d (P)=
; B
2
d (P)=
B2: d l ng thng qua hai im A v B .
Dạng 13 : Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v vuụng gúc ng thng d cho trc ti
giao im I ca d v mp( P ).
B1: Tỡm giao im I = d

( P ).
B2: Tìm VTCP
u
r
của d và VTPT
n
r
của (P) và
v u,n

1
và có VTPT
1 1
n u,u

=

uur r uur
B3: Viết PT mp(Q) chứa d
2
và có VTPT
2 2
n u,u

=

uur r uur
B4: Đờng thẳng cần tìm
d (P) (Q)=
. (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:
B1: Gọi M(x
0
+at; y
0
+bt; z
0
+ct)
1
d

=



uuuur uur
uuuur uur
B3: Thay t và t tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N. Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi
qua 2 điểm M, N
(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau)
Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đờng thẳng d
1
và d
2
.
B1: Viết PT mp(P) chứa d
1
và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d
2
và vuông góc với (P).
B3: Đờng thẳng cần tìm
d (P) (Q)=
Dạng 16: Lp ng thng d đi qua im A , cắt và vuụng gúc với ng thng d.
PP giải: Đây là trờng hợp đặc biệt của dạng 10.