CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
( 6 tiết , từ 29 / 03 đến 03/ 04 / 2010 )
MỤC TIÊU
Kiến thức cơ bản cần nhớ
1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ một vec tơ , khoảng cách giữa hai điểm , biểu
thức tọa độ của các phép toán vec tơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích có hướng của
hai vec tơ. Phương trình mặt cầu
2. Phương trình mặt phẳng: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát
của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
3. Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường
thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau , song song nhau hoặc
vuông góc nhau
Các dạng toán cần luyện tập
1. Tính toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số ; tính được tích vô hướng của hai
vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng, tính thể tích của
khối tứ diện.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước. Xác định toạ độ tâm và bán kính
của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một
điểm cho trước, biết đường kính).
3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song
song.
4. Viết phương trình tham số của đường thẳng (biết đi qua hai điểm cho trước, đi qua
một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với
một mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí
tương đối của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường
thẳng hoặc trên một mặt phẳng.
CHUẨN BỊ
Học sinh : Ôn tập lý thuyết ở nhà và giải trước các bài tập giáo viên đưa trước ở nhà
Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập để học sinh luyện tập ở nhà

(*) 1 1 0
1 1 2
x x
y y
z z
− = =
 
 
⇔ + = ⇔ =
 
 
− = =
 
Vậy : C(2 ; 0; 2 )
Tương tự : A’(3;5;-6) ,
B’(4;6;-5) , D’(3;4;-6)
Bài 2 : Trong không gian cho ba điểm A( -1 ; 2; 3) , B( 2; -4;3) và C( 4; 5; 6)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc mặt phẳng
( )
α
:
2 3 1 0x y z− + − =
c. Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB
d. Tính khoảng cách từ C đến (P)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu cách tìm vec tơ pháp
tuyến của một mặt phẳng :
+ Đi qua ba điểm không
thẳng hàng A, B, C

a. Ta có :
(3; 6;0)
(5;3;3)
, ( 18; 9;39)
AB
AC
n AB AC
= −
=
 
= = − −
 
uuur
uuur
r uuur uuur
Phương trình mặt phẳng là :
18( 1) 9( 2) 39( 3) 0
6 3 13 39 0
x y z
x y z
− + − − + − =
⇔ + − + =
b. Mặt phẳng
( )
α
có vec tơ
pháp tuyến là :
(2; 1;3)n
α
= −

3( ) 6( 1) 0
2
2 4 15 0
x y
x y
− − + =
⇔ − − =
d. Khoảng cách từ C đến (P) là :

10
( ;( ))
6
d C P =
Bài 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau :
a. Đường thẳng đi qua hai điểm A(4 ; 1 ; -2 ) và B( 2 ; -1 ; 9 )
b. Đường thẳng d đi qua A(3 ; 2 ; -1 ) và song song với đường thẳng
1 1
2 3 4
x y z− +
= =
−
c. Đường thẳng d đi qua M( - 2 ; 3 ; 4 ) và vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 3 10 0P x y z+ − + =
d. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
2 3 1 0 ; 2 3 2 0x y z x y z− + + = + − + =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Để viết phương trình tham số
của đường thẳng ta cần xác
định các yếu tố nào ?
Hãy nêu cách xác định vec

x t
y t
z t
= −


= −


= − +

b. d có vec tơ chỉ phương là
(2; 3;4)a = −
r
, phương trình
cần tìm là :
3 2
2 3
1 4
x t
y t
z t
= +


= −


= − +


qua O và vuông góc với mặt
phẳng (ABC) . Khi đó d có
vec tơ chỉ phương là :
(3;6;2)a =
r
Phương trình tham số của d
là :
3
6
2
x t
y t
z t
=


=


=

Tọa độ hình chiếu H của O là
nghiệm của hệ phương trình
3
6
2
3 6 2 6 0
x t
y t
z t

x y z
d
− − +
= =
và
vuông góc với (P)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Khi hai mặt phẳng song
song thì hai vec tơ pháp
tuyến của nó như thế nào
với nhau ?
Hãy nêu cách tính khoảng
cách giữa hai mặt phẳng
song song (P) và (Q)
Hãy nêu cách tính vec tơ
pháp tuyến của mp(R)
Hai mặt phẳng song song
thic có cùng vec tơ pháp
tuyến
Khoảng cách giữa (P) và
(Q) chính là khoảng cách
từ A đến (P)
Mặt phẳng ( R) có vec tơ
pháp tuyến là tích coa
hướng của vec tơ chỉ
phương của d và vec tơ
pháp tuyến của (P)
a. Do (Q) song song với (P) nên
phương trình của (Q) có dạng :
( )

' , (4; 1; 10)n a n
 
= = − −
 
ur r r
Phương trình mặt phẳng cần tìm
là :
4( 1) ( 2) 10( 1) 0
4 10 12 0
x y z
x y z
− − − − + =
⇔ − − − =
Bài 6 : Cho A( 2; 3; 1 ), B(4;1; -2), C(6;3;7) , D(-5;-4;8).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện . Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và cách C một khoảng bằng
17
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu cách chứng minh
ABCD là tứ diện
ABCD là tứ diện
A
⇔

không thuộc mặt phẳng
(BCD)
a. Ta có :
( )
( )
2;2;9

uuur
Phương trình của (P) có dạng

2 2 3 0x y z D− − + =
( ;( )) 17
12 6 21
17
17
d C P
D
=
− − +
⇔ =
32
15 17
2
D
D
D
=

− + = ⇔

= −

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là :
2 2 3 32 0;2 2 3 2 0x y x y z− − + = − − − =
Bài 7 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và măt phẳng (P) :
2 2 1 0x y z− + + =
a. Viết phương tình mặt cầu tâm B và đi qua A

a. Mặt cầu có bán kính
R = AB =
6
. Phương trình mặt cầu
là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 6x y z− + − + − =
b. Mặt cầu có tâm
3
(1; ; 2)
2
I −
là
trung điểm của đoạn BC
Bán kính
69
2 2
BC
R = =
Phương trình mạt cầu là :
( ) ( )
2
2 2
3 69
1 2
2 4
x y z
 
− + − + + =

pháp tuyến của mặt
I
M vuông góc (P) tại M,
nên
IM
uuur
là vec tơ pháp
tuyến của (P) và M là
điểm mà (P) đi qua
Do (Q) vuông góc với
AB nên (Q) nhận vec tơ
AB
uuur
làm vec tơ pháp
a. Ta có
1
3
4
1
A
B
C
D
= −


=


= −

(Q) tiếp xúc với (S)
( ;( )) 5d I Q⇔ =
1 12 12
5
26
1 5 26
1 5 26
1 5 26
D
D
D
D
+ − +
⇔ =
⇔ + =

= − +
⇔

= − −


Vậy có hai phương trình cần tìm là :
4 3 1 5 26 0
4 3 1 5 26 0
x y z
x y z
− − − + =
− − − − =
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng d có phương trình

(
a
r

là vec tơ chỉ phương của d )
R = AH
a. + (P) :
2 6 0x y z+ − − =
+ Tọa độ hình chiếu là :

7 5 1
; ;
3 3 3
H
 
 ÷
 
b. Bán kính mặt cầu (S) là
R = AH =
165
3
Phương trình mặt cầu là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
55
1 2 3
3
x y z+ + − + − =
Bài 10: Xét vị trí tương đối của d :
1 3


= −


= +

c.
1 2
4
1 3
x t
y t
t
= − −


= +


− +

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu các bước xét vị trí tương
đối của hai đường thẳng
Học sinh trình bày các bước
thực hiên ( có thể trình bày 2
cách )
a. d qua M(-1; 3; 0) và có
vtcp
( )

cắt
nhau
c. Tương tự : d và
3
∆
chéo
nhau
Các bài tập rèn luyện :
1. Cho A(5 ; 1 ; 1), B(1 ; 6 ;2), C(5 ; 0 ;4), D(4 ; 0 ;6)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng
b. Tính khoảng cách từ D đến (ABC)
c. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (ABC)
d. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC)
2. Cho A(5;1;3) , B(1;6;2) và C(5;0;4)
a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bành hành
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A và song song với BC
c. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng
(ABC)
3. Cho A(1;2;3), B(1;6;2) và mặt phẳng (P) :
2 2 1 0x y z+ − − =
a.Viếtphương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P)
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P), tìm tọa độ giao
điểm của d và (P)
4. Cho
( )
:3 2 5 0x y z
α
− − + =
và
1 7 3

b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng
∆
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa A và
∆
6. Cho điểm M(1; 4;2) và mặt phẳng
( )
α
:
1 0x y z+ + − =
a. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên
( )
α
b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua
( )
α

c. Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với
( )
α
7. Cho A(-2; 6; 3), B(1; 0; 2), C(0;2;-1), D(1; 4; 0)
a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b. CMR tam giác BCD vuông, từ đó tính diện tích tam giác BCD
c. Tính thể tích khối chóp A.BCD
8. Cho 4 điểm A(1;0;0) , B(0; 1;0), C( 0; 0; 1) và D(-2; 1; -1)
a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c. Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
9. Trong không gian
Oxyz
cho hai đường thẳng


a. Chứng tỏ hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
chéo nhau
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa
1
∆
và song song với
2
∆
c. Tính khoảng cách giữa
1
∆
và
2
∆
10. Cho đường thẳng (d) :
1 2
2
1
x t
y t
z
= +



uuur r r r
và đường thẳng d
có phương trình :
3 3
2 1 2
x y z− +
= =

a. Hãy tìm hình chiếu vuông góc của A trên d
b. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d
13. Cho hai điểm A(1; -2; 1), B(-3;1;3)
a. Viết phương trình mặt trung trực của của đoạn thẳng AB
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường
thẳng AB lên mặt phẳng (
)Oyz
Dặn dò : Xem lại phần nguyên hàm và tích phân