Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
A. Phần I: Lời nói đầu
I . Lý do chọn đề taì:
Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau:
Cho phơng trình : x
2
2 (m 1)x + 2m 7 = 0.
Tìm m để 2 nghiệm phơng trình trên là các kích thớc của một hình chữ nhật.
(trích câu c bài 2 trong đề thi KSCL lớp 9 năm học 2004 2005 của huyện Yên
Thành).
Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hớng đợc
cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hớng suy nghĩ nh thế nào, dẫn đến các em
không giải đợc bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay
đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay không? Nhng ta hãy thử
đơn giản nghĩ lại rằng, kích thớc của hình chữ nhật là những số dơng nên câu hỏi của
bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm dơng. Với câu hỏi này
thì chắc chắn bài toán trên trở thành rất quen thuộc với học sinh . Nh vậy chỉ cần lu
tâm đến những kiến thức nhỏ của hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ
nhàng hơn. Không những bài toán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp
cũng rất bỡ ngỡ. Nhng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình
học thì bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công
tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về Khai thác những kiến thức hình học vào
giải một số bài tập đại số.
II. Nội dung chính của đề tài:
A. Phần I: Lời nói đầu.
I.Lý do chọn đề tài.
II.Nội dung chính của đề tài.
B. Phần II:Nội dung
I.Nhận thức và thực trạng.
-Nhận thức cũ.
-Việc làm cũ.

thẳng hàng)
-Điểm M không nằm giữa A và B khi MA+ MB

AB (tức là A, B, M không thẳng
hàng).
Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba điểm A,
B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Ta có AB =
22
)33()21( +
=
45
= 3
5
AC =
22
)35()23( +
=
5
BC =
22
)35()13( +++
=
80
= 4
5
Ta có : AB + AC = 3
5

)12()01( +
=
2
MP =
22
)15()02( +
=
20
Từ đó ta có MN+NP

MP , NP + MP

MN , MN +MP

NP

không có điểm nào
nằm giữa hai điểm còn lại.
Nên M,N,P không thẳng hàng.
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới nh ví dụ sau.
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2).Chứng minh M là
trung điểm của AB.
Lời giải.
Ta có: MA =
2 2
(1 4) ( 4 2) +
=
45
= 3
5

-Cho tam giác ABC thì ta có AB < AC + BC.
-Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB

AC + BC.
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

abc
(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000)
Lời giải:
Đặt x = a+b-c
y = b+c-a
z = c+a-b
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0
Ta có: b =
2
yx +
, c =
2
zy +
, a =
2
xz +
Bất đẳng thức trên tơng đơng với: xyz

(
2
yx +
)(

2
yx +
)(
2
zy +
)(
2
xz +
) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

abc (đpcm)
ở bài này để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà điều
này có đợc do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.
Ví dụ 5: Cho phơng trình: x
2
+ (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh phơng trình trên vô nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003)
Lời giải:

= (a + b + c)
2
4(ab + ac + bc) = a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab 2bc 2ca
= a[a (b + c)] + b[b (a + c)] + c[c (a + b)]

b
AB =
22
dc +

OB =
22
)()( dbca +++
o a N c M x
Ta có: OA + AB

OB
Nên
22
ba +
+
22
dc +

22
)()( dbca +++
(Điều phải chứng minh)
Nhận xét: ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ
Thì AB

AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng minh bất
đẳng thức trên.
Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát. Nhờ
cách chứng minh tơng tự nh trên.
Với x

nn
yyyxxx +++++++

3.Sử dụng định lý Pitago.
-Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC
2
= AB
2
+ AC
2
(định lý Pitago)
Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau.
Ví dụ 7: Cho 2 đờng thẳng:
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành
5
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
y = 3x- 2 ( d
1
)
y =
3
1
x + 8 (d
2
)
Chứng minh 2 đờng thẳng trên vuông góc với nhau. (d
2
)
Trên (d
2
) lấy C (6;6), trên (d
1
) lấy điểm B (0;-2):
AC =
22
)76()36( +
=
10
AB =
22
)72()30( +
=
90
BC =
22
)62()60( +
=
100
Ta có: AC
2
+ AB
2
= BC
2
= 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo định
lý Pitago), nên 2 đờng thẳng trên vuông góc với nhau.
Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh đợc rằng nếu đờng thẳng y=ax+b song
song với y=cx+d thì ac=-1 và nguợc lại nh ví dụ sau:

).
(d
3
)
A
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành
6
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
o B (d
4
).
Gọi O là giao điểm của (d
3
) và (d
4
) dễ dàng ta tìm đợc O (0; 0). Trên (d
3
) lấy một
điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a).
Trên (d
4
) lấy một điểm bất kỳ khác O,ví dụ B(1; b)
Vì (d
3
) vuông góc với (d
4
) nên tam giác OAB vuông tại O. Theo định lý Pitago ta có
OA
2
+ OB

5
BC =
22
)74()54( +
=
90
Ta có: AB = AC = 3
5
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Ta có: AB
2
+ AC
2
= BC
2
= 90. Nên tam giác ABC vuông tại A.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, đó
là tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi tính độ dài các cạnh để chứng
minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác
vuông.
Ví dụ 10: Cho điểm A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2) . Chứng minh ABCD là
hình bình hành.
Lời giải:
Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các đtểm A,B,C,D nh trên.
Ta có:
AB =
22
)12()24( ++
=


d

3,14 x 20 = 62,8(cm.)
Gọi x(cm/s), y(cm/s) là vận tốc của 2 vật (x,y > 0).
Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đờng vật đi nhanh
hơn lớn hơn quãng đờng đi đợc của vật còn lại chính là độ dài của đờng tròn. Nên ta
có: 20x 20y = 62,8.
Sau 4s chúng chuyển động ngợc chiều thì gặp nhau cho nên tổng quảng đờng đi
của 2 vật là độ dài đờng tròn, nên ta có: 4x + 4y = 62,8
Ta có: 20x 20y = 62,8 x= 9,42


(thỏa mãn điều kiện)
4x + 4y = 62,8 y =6,28
Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 9,42 cm/s
Vận tốc của vật thứ 2 là 6,28 cm/s.
Nh vậy để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của hình học đó độ dài đ-
ờng tròn .
Ví dụ 12: Cho phơng trình: x
2
- 2(m-1)x+2m-7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm của phơng
trình là kích thớc của 1 hình chữ nhật.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành
8
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
(Trích ý c bài 2 đề thi KSCL lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2004 2005)

Lời giải
= (m-1)

tích,định lý Pitago nh một số bài tập sau.
Ví dụ 13: Cho phơng trình : x
2
- 2(m-1)x +2m-7 =0 tìm m để hai nghiệm của phơng
trình là các kich thớc của một hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là
34
.
Lời giải:
Tơng tự lời giải nh trên để hai nghiệm là các kích thớc của hình chữ
nhật thì m > 3,5
Để hai nghiệm này là các kích thớc hình chử nhật có độ dài đờng chéo là
34
thì x
1
2
+ x
2
2
= 34

( x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2


ab
C
(Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 2003)
Lời giải:
a

b

c
A H B

a c

b c
Ta có: a c > 0; b c > 0
Đặt AC =
a
; BC =
b
; CH =
c
thì AH =
a c
và BH =
b c
Ta có: 2(S
ACH
+ S
BCH

giải một số bài tập đại số tôi đã thực hiện trên đối tợng lớp 9C , còn lớp 9D thì không
áp dụng.
Qua cùng một số bài tập dạng áp dụng kiến thức hình học vào giải các bài tập đại số
kết quả đạt đợc trên 2 lớp nh sau:
Lớp Tổng số HS Số HS giải đợc Tỷ lệ Số HS không giải đợc Tỷ lệ
9C 40 30 75% 10 25%
9D 40 15 37,5% 25 62,5%
C .Phần III.: Kết luận và kiến nghị
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành
10
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Nh vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng hợp lý
một số kiến thức hình học thì công việc giải toán sẽ đơn giản hơn, mang lại hiệu quả
cao hơn. Vì Vậy trong khi giải toán cần nghiên cứu kỹ bài toán và cần phải kết hợp
nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết. Trong khi dạy học cần lu ý cho
học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học để giải các bài tập đại số và
ngợc lại.
ở bài viết này tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các kiến thức
hình học, tất nhiên còn nhiều dạng toán nữa khi giải cũng cần kết hợp các kiến thức
hình học để giải.
Bài viết trên là những kinh nghiệm của tôi đúc rút ra trong quá trình giảng dạy, bài viết
này chắc sẽ còn nhiều thiếu sót rất mong đợc sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc.
Yên Thành, Tháng 5 năm 2009.
Ngời viết
Lê Văn Tuấn
D. Tài liệu tham khảo.
1.Sgk toán 9 tập 2.
2.Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 ( Nguyễn Ngọc Đạm,Nguyễn Việt
Hải,Vũ Dơng Thụy).
3.Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dơng Thụy,Lê Thống Nhất,Nguyễn Anh