i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ THÙY LINH

HƢỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CỦA NGƢỜI HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10
3
DANH MỤC CÁC BẢNG Trang
Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm
79

7
1.1.1. Sáng tạo
7
1.1.2. Người học sáng tạo
8
1.2. Phép biến hình và vai trò trong chương trình THPT
9
1.2.1. Phép biến hình
9
1.2.2. Một số dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải trong phép
biến hình ở trường trung học phổ thông

10
1.2.3. Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán
trong chương trình trung học phổ thông

11
1.3. Vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT
12
1.3.1. Một vài bài toán vận dụng phép biến hình để giải
12
1.3.2. Cách nhận biết lớp các bài toán hình học có khả năng giải được
bằng phương pháp biến hình

13
1.4. Cơ sở thực tiễn của việc việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép
biến hình để giải bài toán ở trường THPT

14
1.4.1. Tìm hiểu thực tiễn về dạy học phép biến hình ở trường THPT

nhằm phát triển khả năng sáng tạo của học sinh

41
2.3.1. Bài toán chứng minh
41
2.3.2. Bài toán dựng hình
51
2.3.3. Bài toán tìm tập hợp điểm
61
Tiểu kết chương 2
76
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
77
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm
77
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
77
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
77
3.1.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm
78
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
78
3.2.1. Chọn mẫu
78
3.2.2. Phương pháp tiến hành
78
3.2.3. Xây dựng tiêu chí đánh giá
79
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm

Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu
toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị
trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và
đào tạo - “Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển
khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới”,
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí,
bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề ”.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng đó là môn học công cụ, nếu học tốt thì những tri thức trong toán cùng
với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những
môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp
cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết cho môn học, nó
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn
thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc
thẩm mĩ. Và sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong
nhà trường phổ thông. Một trong những nội dung của môn học trong sách
giáo khoa hình học 11 đó là “Phép biến hình”.
Phép biến hình là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm
quen với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học. Có rất nhiều bài
toán ở trường trung học phổ thông có thể sử dụng phép biến hình để có những
lời giải hay. Tuy nhiên, đa phần học sinh còn yếu và và chưa vận dụng được
kiến thức này trong quá trình giải toán. Nguyên nhân chính là do sự mới mẻ
trong kiến thức cũng như cảm giác sợ khi nghe đến mảng kiến thức này của

7
học sinh. Trong khi đó muốn vận dụng được phép biến hình vào giải toán cần
hiểu được thật kĩ về lý thuyết biến hình cũng như giải quyết được một số bài
toán cơ bản.
Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học
phép biến hình thường chỉ dừng ở mức độ giải một số bài toán cơ bản nhất về

xuất bản giáo dục.
Nhưng các tài liệu này phần lớn hoặc là chỉ tập trung vào phương pháp
nhưng chưa có nhiều bài tập, hoặc là chỉ tập trung vào hệ thống hóa các bài
tập chứ chưa chú trọng đến các phương pháp giảng dạy môn học để phát triển
tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi sẽ xây dựng một hệ thống các bài tập, từ những
bài tập cư bản vận dụng định nghĩa, tính chất đến những bài toán đòi hỏi kĩ
năng phân tích, đánh giá, suy đoán, trừu tượng nhằm kích thích và phát huy
khả năng sáng tạo cũng như sự chủ động cho học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất, nghiên cứu những lí luận cơ bản nhất về người học sáng tạo.
Thứ hai, nghiên cứu về nội dung Phép biến hình trong chương trình THPT
hiện hành và các dạng bài toán cơ bản về phép biến hình. Tiếp theo, chúng tôi
sẽ nghiên cứu về dạng bài tập có thể vận dụng phép biến hình để giải.
Sau đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu thực trạng quá trình vận dụng phép
biến hình để giải toán ở một số trường THPT trên địa bàn thành phố Hải
Phòng. Để xây dựng hệ thống bài tập vận dụng phép biến hình vào giải toán
và hướng dẫn học sinh phương pháp giải nhằm phát huy khả năng sáng tạo
cho người học.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ áp dụng những nghiên cứu của mình để vận
dụng vào việc thực nghiệm sư phạm để đưa ra kết luận về tính khả thi của
đề tài.
5. Phạm vi nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng không chỉ hỗ trợ giáo
viên giảng dạy chương Phép biến hình trong mặt phẳng cho học sinh lớp 11

9
mà còn hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình vào giải toán ở trường
THPT không chuyên. Một mặt do giới hạn về khuôn khổ luận văn, mặt khác

Trước hết, tìm hiểu nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức việc
hệ thống hóa bài tập và lời giải cho chương phép biến hình ở các trường trung
học phổ thông theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo.
Sau đó, điều tra thực tiễn với giáo viên giảng dạy và với học sinh lớp
11 tại trường trung học phổ thông Hàng Hải, quận Ngô Quyền và một số
trường THPT khác trên địa bàn thành phố Hải Phòng từ các bạn đồng nghiệp.
9.3. Thực nghiệm sư phạm
Đầu tiên, chọn trong hai lớp 11 trường THPT Hàng Hải hai nhóm học
sinh đã dạy kiến thức về phép biến hình (mỗi nhóm 30 em lực học trung bình
khá trở lên) để kiểm tra khả năng vận dụng phép biến hình vào giải toán của
các em khi chưa được hướng dẫn. Tiếp theo, tiến hành phân tích và hướng
dẫn các em giải một số bài toán vận dụng phép biến hình trong 6 tiết. Sau đó,
Điều tra kín về ý kiến của học sinh sau các tiết thực nghiệm và kiểm tra lại
các em về kĩ năng vận dụng phương pháp biến hình để đưa ra những phân
tích.
Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong
quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của
các biện pháp do đề tài đưa ra.
10. Các luận cứ
Việc hướng dẫn học sinh trong quá trình giải bài tập là vô cùng quan
trọng. Nó không chỉ định hướng cho học sinh trước những bài toán mới, gợi
mở những hướng giải quyết mới mà trong quá trình hướng dẫn và đặt câu hỏi
cho học sinh chúng ta phát hiển ra điểm yếu và điểm mạnh của học sinh để hỗ
trợ, giúp đỡ các em.
Vận dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học có ý nghĩa lớn.
Rất nhiều bài toán nếu dùng phương pháp thông thường rất phức tạp nhưng
khi áp dụng phương pháp bến hình thì bài toán được giải quyết rất gọn gàng.

11
Việc phát triển khả năng sáng tạo cho người học là một việc hết sức cần

1.1.1. Sáng tạo
Sáng tạo là sáng tạo ngay từ bản thân!
Sáng tạo không đơn thuần chỉ là theo những gì đã được giảng dạy, sử
dụng lại kiến thức đã có, mà khởi đầu cho sáng tạo chính là sáng tạo ngay từ
bản thân. Để sáng tạo con người phải có đam mê và niềm tin. Vậy, như thế
nào là sáng tạo ngay từ bản thân?
“Sáng tạo luôn có được từ những người đang thực hiện sứ mệnh, do họ
có niềm tin và tình yêu với công việc họ làm. Và sáng tạo cũng chỉ có được từ
những con người tự do, biết suy nghĩ và có suy nghĩ độc lập. Vì vậy, khởi đầu
cho sáng tạo là không đòi hỏi, không bị lệ thuộc vào các điều kiện phải có
được như thế này, thế kia!”
Hiển nhiên, để sáng tạo thì cũng phải có chuyên môn sâu về các vấn đề
liên quan, nhưng sáng tạo không phải là sử dụng lại kiến thức đã có, mà sáng
tạo là vận dụng, tìm kiếm những điều mới mẻ và kết hợp chúng theo những
cách thức độc đáo mà trước đó không ai tưởng tượng được.
Vậy điều gì làm lên sự khác biệt của những con người sáng tạo? Đó là
họ không đi theo những suy nghĩ “dựa theo” mang tính lối mòn. Hầu hết,
những nhân vật thành công, những người sáng tạo đều được lôi cuốn bởi
những trải nghiệm mới. Cho nên, nếu muốn sáng tạo, chúng ta phải tập trung
vào những suy nghĩ cởi mở, tự do cùng những thông tin mà lối tư duy đó
mang lại.
Không đòi hỏi sự hoàn hảo, không luẩn quẩn do dự mãi với lập luận vô
nghĩa: “Chúng ta có thông minh không, có sáng tạo không?” – Bởi sáng tạo
không có sự đắn đo, mà là có “tâm hồn sáng tạo”, thoát khỏi sự kìm kẹp của
tâm thức ngay từ bước khởi đầu! Nếu đòi hỏi phải có như thế này, có như thế
kia mới sáng tạo, thì cái làm được đó không hẳn là sáng tạo.

13
Biết chấp nhận môi trường đang sống, từ hoàn cảnh từ thực tế, thích
ứng và vận dụng tất cả những gì mình có, tìm cách phát huy, đổi mới, độc đáo

vấn đề.
Người học sáng tạo là người biết vận dụng những lý thuyết vào bài tập,
vào thực hành, vào xây dựng chuỗi kiến thức,… và ngay cả vào việc đưa ra ý
kiến của mình về mảng kiến thức nào đó.
1.2. Phép biến hình và vai trò trong chƣơng trình THPT
1.2.1. Phép biến hình
Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái
niệm phép biến hình trong việc nghiên cứu hình học. Để hiểu được khái niệm
biến hình, chúng ta cần làm cho học sinh hiểu thế nào là một “hình” theo
nghĩa tập hợp và đồng thời cũng chứa đựng nội dung của “hình” theo nghĩa
thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn, v.v…Việc hiểu hình
là một “tập hợp điểm” giúp chúng ta hiểu thêm một số khái niệm có liên quan
như giao của hai hình, hợp của hai hình, tập hợp A là một bộ phận của tập
hợp B và do đó trong lập luận chúng chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lý
thuyết tập hợp như:
AB
. Để kí hiệu điểm A thuộc đường thẳng d, ta kí hiệu
Ad
hoặc muốn chỉ rõ M là giao điểm hai đường thẳng a, b ta kí hiệu
 
M a b
hay
M a b
.
Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà Toán
học Đức là Felix Klein (1849 – 1925) hệ thống lại trong “Chương trình
Erlangen” năm 1872. Trong chương trình này, Klein đã sắp xếp hệ thống các
phép biến hình lại thành những nhóm biến hình khác nhau. Dựa vào các bất
biến của mỗi nhóm với các nhóm con của nó, Klein đã xác lập được mối quan
hệ giữa các thứ hình học để hệ thống hóa các thứ hình học theo quan điểm

Nếu như I trùng I’ thì tâm vị tự là I như hình vẽ

Còn nếu I khác I’ và
'RR
thì tâm vị tự ngoài là O, tâm vị tự trong là O
116

Hay I khác I’ và
'RR
thì tâm vị tự là O
1

Ngoài ra, để tìm phép đồng dạng biến hình (h) thành hình (h’) chúng
ta có thể tìm cách biểu thị phép đồng dạng đó như kết quả của việc thực hiện
liên tiếp các phép đồng dạng quen biết.
Dạng thứ ba là các bài toán về mối liên quan giữa một số phép dời hình
quen biết. Hay cụ thể là, chứng minh phép dời hình này là kết quả của việc
thực hiện một số phép dời hình khác chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của
các phép dời hình liên quan.
1.2.3. Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán trong
chương trình trung học phổ thông
Hình học phẳng là một trong những phần kiến thức khó đối với đại đa
số học sinh, các bài toán thì có nhiều lời giải khác nhau. Một số dạng bài toán

17
đã học như: Chứng minh, dựng hình, quỹ tích,… hay gặp khó khăn với những
lời giải thông thường. Tuy nhiên, khi vận dụng đực kiến thức phép biến hình

phương pháp tọa độ (còn gọi là phương pháp đại số). Tuy nhiên, nhiều bài
toán giải bằng phương pháp tổng hợp lại đi đến kete quả nhanh chóng, gọn
gàng và đẹp hơn nhiều. Cũng vậy, nhiều bài toán hình học có thể giải được
nhanh chóng và gọn gàng nếu biết sử dụng phương pháp vectơ.
Như chúng ta đã thấy, thường thì một bài toán hình học có thể giải
được bằng nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách: phương pháp tổng hợp
hay phương pháp tọa độ. Tuy nhiên đứng trước một bài toán mới về hình học
ta nên xem xét cẩn thận để lựa chọn phương pháp giải phù hợp sao cho đạt
kết quả nhanh chóng, gọn và dễ dàng nhất.
Để có thể giải được một bài toàn hình học bằng phương pháp biến hình
trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp các bài toán có khả năng giải
được bằng phương pháp này. Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng giải
được bằng phương pháp biến hình. Một câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào để
nhận biết một bài toán hình học nào đó có thể giải được bằng phương pháp
biến hình?
Muốn vậy, ta hãy trở lại phân tích những dạng bài toán ở mục 1.3.1. Cơ
sở của việc có thể sử dụng phép biến hình này nọ vào mỗi bài toán đã được
chỉ ra. Thường thì trong dữ kiện của mỗi bài toán và (hoặc) trong tính chất
của hình đòi hỏi phải thiết lập (chứng minh) hoặc trong điều kiện đòi hỏi ở
hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến một
phép biến hình cụ thể nào đó.
Tóm lại, muốn nhận biết được một bài toán hình học nào đó có khả
năng giải được bằng phương pháp biến hình (cụ thể là phương pháp dời hình,
bao gồm tịnh tiến, đối xứng – tâm, đối xứng – trục, quay hoặc phép đồng
dạng,…), trước hết chúng ta phai xem xét, phân tích nội dung bài toán để tìm
ra yếu tố nào trong đó có mốt liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ
thể nào đó. Sau đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm lời
giải hay đáp của bài toán được xét. Đặc biệt, đáng chú ý là phương pháp biến

19

20
- Nắm được định nghĩa về phép tịnh tiến. Hiểu được phép tịnh tiến hoàn toàn
xác định khi biết vectơ tịnh tiến.
- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Biết vận dụng nó để xác định
tọa độ ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của một điểm,
phương trình đường thẳng cho trước qua một phép tịnh tiến.
- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến là bảo toàn khoảng cách
§3. Phép đối xứng trục (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
qua các trục tọa độ.
- Nắm được thế nào là trục đối xứng của một hình và hình có trục đối xứng
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường
tròn qua một phép đối xứng trục.
- Biết cách xác định trục đối xứng của một hình và nhận biết một hình có trục
đối xứng.
- Nhận biết được một hình H
’
là ảnh của một hình H qua một phép đối xứng
trục.
- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic.
- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
§4. Phép đối xứng tâm (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa, tính chất cúa phép đối xứng tâm
- Nắm được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm O
- Nắm được thế nào là tâm đối xứng của một hình và hình có tâm đối xứng
- Biết dựng ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn
qua một phép đối xứng tâm.
- Biết cách xác định tâm đối xứng của một hình và nhận biết một hình có tâm

- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép vị tự.
- Biết được ảnh của đường tròn qua phép vị tự.

22
- Tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình đơn giản qua phép vị tự
- Biết phân biệt hai phép tự khác nhau khi nào.
- Biết cách tính biểu thức tọa độ của ảnh của một điểm và phương trình đường
thẳng cho trước qua một phép vị tự.
- Biết cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
- Rèn luyện tư duy logic, tư duy hình học.
- Liên hệ được với thực tế.
§8. Phép đồng dạng (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa phép đồng dạng.
- Hiểu được tính chất cơ bản của phép đồng dạng và hai hình đồng dạng.
- Nhận biết được phép dời hình và phép vị tự là trường hợp riêng của phép
đồng dạng.
- Biết được phép đồng dạng có được là thực hiện liên tiếp hai phép biến hình.
- Nhận biết được các hình đồng dạng trong thực tế.
Thứ hai, tiến hành điều tra về việc dạy và học nội dung phép biến hình
ở trường THPT thông qua phiếu dưới đây:
PHIẾU ĐIỀU TRA HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Theo thầy (cô) vai trò của phép biến hình trong chương trình
THPT như thế nào?
Rất quan trọng
Quan trọng nhưng không nhiều
Bình thường
Không cần có trong chương trình học
Câu 2: Theo Thầy (cô) những khó khăn lớn nhất trong dạy học phép biến


Câu 1: Em thấy sau khi học phép biến hình Em thấy vai trò của phần này
như thế nào?
Rất quan trọng
Quan trọng nhưng không nhiều
Bình thường
Không cần có trong chương trình học
Câu 2: Những khó khăn của em khi học phép biến hình
Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc
Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgic còn hạn chế
Có tâm lí sợ học môn hình học
Nội dung ít thi nên tâm lý không tập trung

25
Câu 3: Em có nhận xét gì về nội dung phép biến hình giáo viên đã dạy?
Kiến thức ít
Kiến thức không sâu
Chủ yếu là luyện tập bài tập cho học sinh biết cách nhận
dạng phép biến hình và xác định ảnh qua phép biến hình
Dạy theo chuẩn sách giáo khoa và vận dụng phép biến hình
giải một số bài toán khác
Câu 4: Em mong muốn gì về nội dung phép biến hình trong sách giáo
khoa?
Bỏ phần này
Thêm kiến thức sâu về phần này
Có cũng được mà không có nội dung này cũng được
Nội dung như hiện tại là ổn