B ộ• GIÁO DỤC
• VÀ ĐÀO TẠO
•
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
s ư PHẠM
HÀ NỘI
2
•
•
•
•

NGUYỄN THI THÚY

ỨNG DUNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN ĐẺ GIẢI MỘT SỔ BÀI TOÁN
ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
•

•

•

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG


Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, 15 tháng 6 năm 2015

T"1 /

_ •1
Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

3


MỤC LỤC
Trang
M ở đ ầu ........................................................................................................... 5
Chương I: Sai phân, phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân. 7
1.1. Dãy s ố .............................................................................................................7
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì..........................................................

7

1.2. Sai phân.................................................................................................

7



39

2.2. Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số......................

53

2.3. Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm.................................

71

2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi..........................................

80

Chưong III: ứng dụng của phưoug trình sai phân giải một số bài toán ở
phổ thông.
3.1. ứ ng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 .......................

85

3.2. ứ ng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3............

91

K ết lu ân ............................................................................................................ 100
T ài liêu tham k h ảo....................................................................................... 101

4


5


Phương pháp sai phân, phương trình sai phân.
ứ ng dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông.
Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích, đại số tuyến tính.
Vận dụng sai phân và phương trình sai phân để giải các bài toán cụ thể
trong toán phổ thông.
6. Cấu trúc luân văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn
còn bao gồm 3 chương.
CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân.
CHƯƠNG II: ứ ng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.
Chương III. ứ ng dụng của phương trình sai phân giải một số bài toán ở
phổ thông.
7. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình
sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông.
Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học
sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh.

6


C H Ư Ơ N G I: Sai phân, phư ơng trình sai phân, hệ phư ơng trình
sai phân.
1.1 Dãy số
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì

( a hữu hạn )

Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy sổ phân kì.
1.2.

Sai phân

1.2.1. Định nghĩa sai phân.
Định nghĩa 1.
Giả sử f : i? —» i? là một hàm sổ cho trước và h là một hằng số khác 0.

7


Ta gọi hiệu:

л°/(x) = /

(jt) là sai phân cấp 0 của hàm sổ y = f (x)

Д1/ (x) = f ( x + h) —f (x) là sai phân cấp 1 của hàm sổ y = f (x)
AV ( x ) = A(Alf ( x ) ) = A f(x + h )~ Л /(x) = f ( x + 2h) - 2 / 0 + h) + f ( x ) là
sai phân cấp 2 của hàm số y - f (x)

A”f (jc) = A(A" lf (x)) = ỵ ơ f (x + hk).{-1)*+1 là sai phân cấp n
к= 0

của hàm số y - f (x)
Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu Ах = X J X là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm
số Jf(n) = X với n e N* hoặc we N hoặc n e Z

д*х, = Д(Д*-Х.) = д ‘"х„, - д*-‘х, = t ( - l ) ' . c ; ( a )
ỉ=0
1.2.2. Một số tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của hàm số
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức ( a ) .

8


Thât
vây
với Ả: = 1,7 ta có Лхп = Jt71+1. - Xп = c,°x
ф, - с!i nX .
•
•J
1
п+ i
Vậy công thức (a) đúng với к = \
Giả sử (a) đúng với к , có nghĩa là
л кхп= ± ( - 1 ) \ с к.хп+к_п
1=0

Ta chứng minh (a) đúng với к + 1, tức là
Д* * 4 = A 4 . , - A 4 = Ẻ ( - 1 ) ' C X t ( - l ) ' C X
;=0
;=0

+k - г

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số ỉ là i - ì , sau đó thay ỉ bằng ỉ , ta được

r" s iim ẹ ?

Làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Khi đó theo định lí 2 ta được
x„ - 2^ Ấ.Ẳn + r"(B.cosn

r"n s_1sinnẹ?

^ C Ẳn + rn[{Av+ A ^I+ .... + A n s~l)co%n(p + {Bl + B2n + .... + B ns ỉ)úĩm(p\
i*j= \

trong đó c , Ả1, Ẩ2, Ả
b) Nghiệm riêng X*

, B1} B2, B


với hệ sổ biến thiên.
+f

là một hàm của n , gọi là vế phải.

+ X là ẩn.

+ Nếu f = 0, ta có phương trình sai phân tuyến tỉnh cấp 1 thuần nhất;
+ Nếu f * 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
b) Nghiệm
Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng
xn =x„+x*n ,

trong đó

Xn = CẲ"

với Ằ =

,
a

còn x*n là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.
c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)
16




n

.

Nếu / =ao,osnx +J3únnx, ( a 2 + Ị32 * 0 ,x * k 7 T ,k G Z ). Tìm x*n dưới dạng
X*
n =Acosnx + Bsinnx.
Nếu /„ =/„, + /„2 + ... + f ns, trong trường họp này nghiệm riêng xnk ứng với
từng hàm f k,k = 1,2...,5 . Nghiệm riêng x k ứng với hàm / là
*

*

Xn = x nì\ + xn2\ +.... + x

*

ns

( do tính tuyến tính của phương trình sai phân)
Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình

ax l + bx = f

b
Phương trình thuân nhât ax 1+ bx = 0 có nghiệm X = CÂn,(Â = — )
a


tuyến tính cấp hai với hệ sổ hằng số.
+ Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (1.5) gọi là phương trình sai
phân tuyến tỉnh cấp hai với hệ sổ biến thiên.
+ Nếu f = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tỉnh thuần nhất cấp hai
tương ứng với (1.5)
axn+2, + bx n +1, + cx n = 0

hay

* +2 = pxn
+1+

+ Nếu f ^ 0 thì (1.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất.

18

(1 . 6)


b) Nghiệm của phưong trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp n , nghiệm tổng quát của
(1.5) có dạng xn = x„ + x*n, trong đó

là nghiệm của phương trình sai phân

Xn

tuyến tính thuần nhất (2.6) và x*n là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1.5).
Bước 1: Tìm nghiệm tồng quát Xn của phương trình thuần nhất (1.6)


yn+2^ 2 - 2yn-A2 + ynA2 <=>yn+2+ yn= 2yn+1
r

r

7

0

/■

vậy y n là câp sô cộng tuỳ ý. Đê đơn giản, ta lây y„ = n (n e N) và được
v„n = nẦ„n
V

Vì — = n ^ cont nên un, vn độc lập tuyên tính yà
u n

X„

=

(A + Bn)Ẳn

(với

Ả ,

B là các hằng số tuỳ ý)

theo AẦn 3,Aв n ta được
AAn = vn+
\fn
J
*
TXT
q„w„
■In n
25

л

_ un+T\Xfn
T
q±nWn

п /

) =J /п

п