Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài tốn Đại số

Lời nói đầu
Ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đã được nhiều tác
giả viết rất hay. Qua quá trình giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm về
nội dung này tôi cũng có “thích thú” nên làm việc tập hợp và trình bày
một mảng nhỏ là ứng dụng vào giải một số bài toán đại số theo quan
điểm cá nhân.
Nội dung của bản Sáng kiến kinh nghiệm này gồm 4 phần
1. Khai thác phương trình đường thẳng để tìm cách đặt ẩn số phụ phù
hợp đối với một số phương trình vô tỷ hoặc hệ phương trình vô tỷ.
2. Khai thác vò trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn để giải
các bài toán về: biện luận theo tham số hoặc tìm tham số để phương
trình hoặc hệ phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước.
3. Khai thác vò trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn để giải
các bài toán về: biện luận theo tham số hoặc tìm tham số để bất
phương trình hoặc hệ bất phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước.
4. Khai thác vò trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn để giải
các bài toán về: giá trò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất của một biểu
thức.
Trong bài viết này, tôi cố gắng sử dụng hình vẽ trực quan nhằm mô tả
tối đa các mối liên hệ hình học giữa các đại lượng liên quan trong mỗi
bài toán, nhằm trực quan hóa vấn đề giúp học sinh có thể tự học.
Do khả năng có hạn chắc chắn những hạn chế và sai sót khó
tránh khỏi kính mong q đồng nghiệp và học sinh góp ý để bài viết
này ngày càng hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn !

Nguyễn Lê Quỳnh
Tổ Toán – Tin, Trường THPT Thống Nhất A
DĐ: 0902 887 192. Email:


Dựa vào các bài viết về phương pháp tọa độ (trích dẫn trong phần tài liệu tham
khảo) của các thầy giáo có kinh nghiệm.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân mỗi khi đưa vào các bài toán có
ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng làm cho học sinh thích thú hơn. Từ đó
tôi sưu tầm, tập hợp và trình bày theo quan điểm cá nhân thành một chuyên đề làm tư
liệu phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân và chia sẻ với học sinh, với đồng nghiệp.

2. Nội dung thực hiện
2.1. Khai thác phương trình đường thẳng để tìm cách đặt ẩn số phụ phù hợp đối
với một số phương trình vô tỷ hoặc hệ phương trình vô tỷ
Trong mục này những bài toán được xét sau đây có nhiều cách giải khác, tuy
nhiên trong phạm vi bài viết chỉ chú trọng đến phương pháp khai thác phương trình
đường thẳng để tìm cách đặt ẩn phụ phù hợp nên không trình bày các cách giải kia.
Bài toán 2.1.1 Giải phương trình 3 12  x  3 14  x  2 (1)
Nhận xét Nếu đặt u  3 12  x , v  3 14  x thì (1) trở thành: u + v = 2 là phương trình
của đường thẳng trong hệ trục Ouv, đường thẳng này đi qua điểm I(1; 1) và có VTCP

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 2


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số


u  1  t
a  1; 1 nên phương trình tham số của nó là 
. Thành thử có thể thực hiện
v  1  t
phép đặt ẩn phụ là 3 12  x  1  t hoặc 3 14  x  1  t đều được.

2
của đường thẳng trong hệ trục Ouv, đường thẳng này đi qua điểm I(1; 0) và có VTCP

u  1  t
a  1; 1 nên phương trình tham số của nó là 
. Thành thử có thể thực hiện
 v  t
Nhận xét Nếu đặt u 

3

1
1
 x  1  t hoặc
 x  t , t  0 đều được.
2
2
1
1
1
Lời giải ĐK: x  (*). Đặt 3  x  1  t  x   3t  3t 2  t 3 phương trình (1) trở
2
2
2
t  3
t  0
2
3
thành 3t  3t  t  t   3
 t  1 .

Lời giải ĐK: x  (*) . Đặt 3 3 x  2  1  3t  x  1  3t  9t 2  9t 3 . (1) trở thành:
5
t  1
t  1
1  15t  45t 2  45t 3  2  2t   3


2
2
45t  49t  7t  3  0 (t  1)(45t  4t  3)  0
 t = 1 từ đó tìm được x = 2 thỏa (*). Vậy phương trình có một nghiệm x = 2.
Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 3


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

 x  y  xy  3
Bài toán 2.1.4 Giải hệ phương trình 
(I)
x

1

y

1

4

 x 2  xy  xy  y 2  27 (1)
Bài toán 2.1.5 Giải hệ phương trình 
(2)
 x  y  1
Nhận xét

 x  1  t
Khai thác phương trình (2) giống cách của bài toán 2.1.4 có cách đặt 
.
y

t

 x  1  t
Lời giải ĐK: x  y  0 (*). Đặt 
với t  0 (**), ta được
 y  t
 x  (t  1) 2  t 2  2t  1
, (1)  x( x  y)  y( x  y)  27 trở thành:

2
 y  t

(t  1) 2 (2t  1)  t 2 (2t  1)  27 



3



Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 4


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

2.2. Khai thác vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn để giải các bài
toán về: biện luận theo tham số hoặc tìm tham số để phương trình hoặc hệ
phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước
Bài toán 2.2.1 Tìm a để phương trình

Lời giải ĐK: 0  x  1 , đặt y =

x  x 2  a  x (1) có 2 nghiệm phân biệt.

 y  0 (2)

x  x 2 , y  0 , ta có hệ  x 2  y 2  x  0 (3) .
 x  y  a  0 (4)


1
1 
x, y thỏa (2) và (3) thì M(x; y) thuộc nửa đường tròn (C) tâm I  ;0  , bán kính R =
2
2 
nằm phía trên trục Ox. (4) là phương trình của đường thẳng d có hệ số góc bằng – 1.

y

Nhận xét (1) có một nghiệm  0  a  1 hoặc a  
.
2
2
1 1
(1) có nghiệm  0  a  
.
2
2

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 5


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

Bài toán 2.2.2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4  x 2  mx  2  m (1)

 y  0 (2)

Lời giải ĐK: 2  x  2 , đặt y  4  x , y  0 , ta có hệ  x 2  y 2  4 (3)
 mx  y  2  m  0 (4)

2

Nghiệm thỏa mãn (2) và (3) có điểm biểu diễn thuộc nửa phía trên Ox của đường tròn
(C) tâm O, bán kính R = 2. (4) là phương trình của đường thẳng d luôn đi qua điểm cố
định I(1; 2) và có hệ số góc m. Do đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm
của d với nửa đường tròn (C) như hình vẽ.

3
4
2
 Nếu – 2  m <  hoặc 0 < m  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.
3
3
4
 Nếu  < m < 0 thì (1) vô nghiệm.
3
Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 6


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

Bài toán 2.2.3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2 x  x2  m

(1)

 y  0 (2)

Lời giải ĐK: 2  x  2 , đặt y  2 x  x 2 , y  0 , ta có hệ  x 2  y 2  2 x  0 (3)
 y  m  0 (4)

 x  0
 2
2

Dựa vào Hình 2.2.3 ta biện luận
 Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì (1) vô nghiệm.
 Nếu m = 0 thì (1) có 3 nghiệm.
 Nếu 0 < m < 1 thì (1) có 4 nghiệm.
 Nếu m = 1 thì (1) có 2 nghiệm.

 x2  y 2  m
(1)
Bài toán 2.2.4 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
 x  y  xy  m (2)

( x  y)2  m
Lời giải (1)  (x + y) – 2xy = m  xy 
thay vào (2), ta được:
2
(x + y)2 + 2(x + y)  3m = 0 phương trình này theo ẩn x + y có  = 1 + 3m. Từ (1)
suy ra m  0 thành thử  > 0 nên ta có x + y = 1  1  3m .
 x 2  y 2  m
 x 2  y 2  m
Hệ đã cho  
(I) hoặc 
(II) .
 x  y  1  1  3m
 x  y  1  1  3m
Do đó hệ đã cho có nghiệm  hệ (I) hoặc (II) có nghiệm.
2

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 7

y

xy

m

Lời giải ĐK x  0, y  0. Đặt u  x , v  y , u  0, v  0. Khi đó hệ (I) trở thành


u  0, v  0 (1)
u  0, v  0


 u  v  m (2)
(II) .
u  v  m
u 2  v 2  uv  m

2

u 2  v 2  m  2m (3)
3

(2) là phương trình của đường thẳng d, (3) là phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0)

m2  2m
(vì từ (1) và (2)  m  0) trong hệ trục Ouv.
3
Mỗi nghiệm (u; v) thỏa (1) của hệ (II) thì hệ (I) có một nghiệm (x; y). Do đó số
nghiệm của (I) là số nghiệm của hệ (II), số nghiệm của hệ (II) là số giao điểm của d

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 8


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

Hình 2.2.5
Dựa vào hình 2.2.5 ta biện luận
 Nếu m 

m 2  2m
2m 2  4m
hoặc m 
 0  m  1 hoặc m > 4 thì hệ (I) vô
3
3

nghiệm.

m  0
m 2  2m
 Nếu m 

. Trường hợp m = 0 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất
3
m  1
(0;0), trường hợp m = 1 hệ (I) có hai nghiệm (1; 0) và (0; 1).
m  0
2m 2  4m


0
(2)


Lời giải (1) là phương trình của đường tròn (C) tâm I(4; 3), bán kính R = 3.
(2)  (mx – y)2 = 0  y = mx đây là phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O
và có hệ số góc là m. Thành thử số nghiệm của hệ (I) là số giao điểm của d và (C).
Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 9


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

Từ O ta viết được 2 tiếp tuyến với (C) có phương trình: y = 0 và y 
trình đường thẳng OI là y 

24
x , phương
7

3
x (Hình 2.2.6)
4

Hình 2.2.6
Dựa vào hình 2.2.6 ta biện luận
24
 Nếu m < 0 hoặc m >

Lời giải ĐK: 1  x  4. Đặt u  x  1, v  4  x với u  0, v  0.

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 10


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

u  0, v  0 (2)

Khi đó (1) có nghiệm  hệ (I) u  v  m (3) có nghiệm.
u 2  v 2  5 (4)

Xét hệ tọa độ Ouv, bộ số (u; v) thỏa (2) và (4) thì điểm M(u; v) thuộc một phần tư thứ
nhất của đường tròn (C) tâm O, bán kính R  5 .
Đường thẳng d: v = u – m có hệ số góc bằng 1.

 5;0 có phương trình v = u 
Đường thẳng có hệ số góc bằng 1 và qua điểm B  0; 5  có phương trình v = u 
Đường thẳng có hệ số góc bằng 1 và qua điểm A

5.
5.

Đường thẳng có hệ số góc bằng 1 và qua điểm O  0;0  có phương trình v = u.

Hình 2.3.1
Bất phương trình v < u – m có miền nghiệm là phần chưa bị gạch. Hệ (I) có nghiệm
 

Miền nghiệm của (3) là miền phía dưới (chưa bị gạch) kể cả biên của đường thẳng 
có phương trình y = x + m. Dựa vào hình 2.3.2 suy ra (I) được nghiệm đúng khi nửa
đường tròn (C) nằm phía dưới đường thẳng .
Từ đó suy ra giá trị m cần tìm là m  5 2  1 .

Hình 2.3.2

 x 2  y 2  2 x  2 (1)
Bài toán 2.3.3 Tìm m để hệ 
có nghiệm duy nhất.
(2)
x  y  m  0
Lời giải (1)  (x – 1)2 + y2  3, nghiệm (x; y) của (1) có điểm biểu diễn trong mặt
phẳng tọa độ thuộc hình tròn (C) tâm I(1; 0), bán kính R = 3 kể cản biên.
(2)  y = x + m là phương trình đường thẳng d có hệ số góc bằng 1.
Ta tìm được hai tiếp tuyến với đường tròn có phương trình (x – 1)2 + y2 = 3 có
phương trình y  x  6  1 và y  x  6  1 . Dựa vào hình 2.3.3 dưới đây,
hệ đã cho có nghiệm duy nhất  d tiếp xúc với (C)  m  6  1 hoặc m   6  1 .
Vậy giá trị m cần tìm m   6  1.

Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 12


Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số

Hình 2.3.3

 x 2  ( y  1) 2  m

Bài toán 2.3.5 Tìm m để hệ  x  3 y  9
có nghiệm không âm.
 x 2  y 2  4 x  8 y  20  m  0

Lời giải Phương trình x2 + y2 – 4x – 8y + 20 – m = 0  (x – 2)2 + (y – 4)2 = m. Với m
 0 thì đây là phương trình đường tròn (C) tâm I(2; 4), bán kính R = m . Xác định
 x, y  0

miền nghiệm của hệ ( I )  2 x  y  2 như hình 2.3.5 dưới đây (phần chưa bị gạch)
x  3y  9


Hình 2.3.5
Gọi d là đường thẳng có phương trình x + 3y – 9 = 0.
Dựa vào hình 2.3.5, hệ đã cho có nghiệm không âm
 đường tròn (C) có ít nhất một điểm thuộc miền nghiệm của hệ (I)
 IH  R  max{IA; IB; IC; ID} = ID (*), với D(9; 0)
5
Trong đó, IH = d(I;d) =
, ID = 65 .
2
5
5
5
Thành thử (*) 
 m  65   m  65 . Vậy giá trị m cần tìm  m  65 .
2
2
2
Các bài toán tự luyện

ta có: OA  P  OB  5  P  3 5  
.
maxP = 3 5 ,khi x  3, y  6

Hình 2.4.1
Bài toán 2.4.2 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 3x – y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

x2  y 2  2x  2 y  2  x2  y2  6 x  9 .

Lời giải P  ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( x  3) 2  y 2 . Xét hai điểm A(1; 1), B(3; 0) và
điểm M(x; y) thuộc đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0.
Ta có AM = ( x  1) 2  ( y  1) 2 , BM = ( x  3) 2  y 2 thành thử P = AM + BM.
Bài toán trở thành “ Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ”.
 7 9
Thật vậy, gọi A đối xứng với A qua d, ta tìm được A '   ;  , ta có MA = MA,
 5 5
113
113
thành thử P = AM + BM = AM + BM  AB =
 minP =
 M  Mo,
5
5
với Mo = AB  d.
Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A

Trang 15



 11  A  13  11  13  A  11  13  134  22 13  A  134  22 13 (*)
Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với đường thẳng d2, thì  có phương trình:
3x + 2y – 6 = 0. Giao điểm của  và (C): (x – 4)2 + (y + 3)2 = 1 là nghiệm của hệ


 78  117 
 78  117 
x

2

x  2



3 x  2 y  6  0
39
39





.

hoặc 

2
2
( x  4)  ( y  3)  1

13


 78  117 
x  2

39


.
minA = 134  22 13 khi 

39  117
y 
13


Hình 2.4.3
Bài toán 2.4.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =

x 2  2x+2  x 2  2x+2 .

Nhận xét Viết lại f(x) = ( x  1) 2  1  ( x  1) 2  1 mỗi căn thức là dạng độ dài của
một vectơ, vì vậy ta chọn hai vectơ nào đó mà mỗi vectơ có độ dài trong biểu thức f(x)
   
và tổng của hai vectơ đó là một vectơ không đổi, kết hợp với tính chất u  v  u  v
ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của f(x).
Lời giải Hàm số f xác định trên R, xR trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ



2)
3)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x )  x 2  4 x  13  x 2  6 x  10 .
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

hàm số f ( x )  ( x  3) 2  ( y  5) 2  ( x  5) 2  ( y  7) 2 .
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Sáng kiến kinh nghiệm này mới được hoàn thành, xong trước đây đã áp dụng rải
rác trong quá trình giảng dạy toán. Từ năm học này tôi đã thực hiện giới thiệu nhiều
hơn với các học sinh trong các lớp tôi phụ trách và chia sẻ cho các em tham khảo
thêm.
Giúp học sinh khá, giỏi hứng thú hơn trong việc tìm tòi những ứng dụng khác
của phương pháp tọa độ.
Ở góc độ tổ chuyên môn được đồng nghiệp khích lệ và ủng hộ và đề tài cũng là
tài liệu tham khảo nội bộ của tổ chuyên môn trong giảng dạy từ năm học 2011  2012.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài xem như tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên dạy toán. Sau khi
được thẩm định của hội đồng khoa học của Sở Giáo dục đề nghị được chia sẻ dưới
mọi hình thức với học sinh và đồng nghiệp.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO






Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số  NXB Giáo dục – Phan Huy Khải.
Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học – Hoàng Việt Quỳnh – mathvn.com.
Các đề thi Đại học – Cao đẳng của Bộ Giáo dục và Đào tạo.