Trờng THCS Mễ Sở
A- Đặt vấn đề
I. Cơ sở khoa học
nm vng v vn dng c cỏc kin thc ó hc vo thc tin i
sng thỡ bt c mụn hc no cng ũi hi hc sinh phi cú s n lc c gng
trong hc tp, chu khú suy ngh tỡm tũi, cú tớnh kiờn trỡ, nhn li, khụng nn
lũng khi gp khú khn trong hc tp cng nh trong cuc sng sau ny. Cú nh
vy thỡ cỏc em mi lm ch c tri thc khoa hc v cụng ngh hin i, cú k
nng thc hnh gii v cú tỏc phong cụng nghip, vn dng c cỏc kin thc
ó hc vo thc t mt cỏch linh hot, sỏng to; l ngi cụng dõn tt sng cú
k lut, ngi lao ng cú k thut nhỡn nhn c õu l ỳng, õu l sai; cú
chõn lý rừ rng.
Trong trng ph thụng mụn toỏn chim mt v trớ khỏ quan trng vỡ nú
giỳp cỏc em tớnh toỏn nhanh, t duy gii, suy lun, lp lun hp lý lụgic, khụng
nhng th nú cũn h tr cho cỏc em hc tt cỏc mụn hc khỏc nh: vt lý, húa
hc, sinh vt, k thut, a lý Dự cỏc bn cú phc v ngnh no, trong cụng
tỏc no thỡ kin thc v phng phỏp toỏn hc cng cn cho cỏc bn (Phm
Vn ng)
Mụn toỏn l mụn hc giỳp cho hc sinh phỏt trin t duy do tớnh tru
tng nhng cht ch logic, ũi hi hc sinh phi bit phỏn oỏn, lp lun, suy
lun cht ch, l mụn hc th thao ca trớ tu. nm c kin thc v vn
dng c cỏc kin thc ó hc ũi hi cỏc em phi bit phõn tớch, tỡm tũi, phỏn
oỏn t ú nú ó rốn luyn cho cỏc em trớ thụng minh sỏng to.
Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nâng cao năng lực phát
triển và giải quyết vấn đề, từ đó học sinh tự lực khám phá những điều mình cha
biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Trong tiết
lên lớp giáo viên là ngời tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học
tập, củng cố kiến thức cũ, tìm tòi phát hiện kiến thức mới, luyện tập vận dụng
kiến thức vào các tình huống khác nhau.
Trong chơng trình học phổ thông môn Toán là môn đợc hầu hết các em

quả khả quan, có đạt đợc những mục đích mong muốn.
III. Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Trong kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày kỹ năng sử dụng điều
kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai vào giải toán và cách làm xuất hiện ph-
ơng trình bậc hai trong bài toán tởng chừng không mấy liên quan
Trong mỗi một bài tập minh họa tôi đều có hớng dẫn gợi ý để học
sinh tự phát hiện ra cách làm. Sau mỗi dạng, mỗi loại tôi thờng chốt lại phơng
pháp làm và có đa ra bài tập tơng tự tự luyện
Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tôi đề cập đến trong chơng
trình lớp 9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh
23
Trờng THCS Mễ Sở
đến đâu thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên đề,
có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh.
IV. Kế hoạch nghiên cứu:
Kết hợp giữa kiến thức cơ bản và kiến thức mở rộng nâng cao, tôi đã tìm
tòi nghiên cứu trong chơng phơng trình bậc hai của lớp 9. Sau khi chọn đợc bài
toán điển hình, tôi bắt đầu đi xây dựng các bài tập áp dụng và sắp xép các bài tập
đó theo một trình tự hợp lý. Sau khi học sinh đã đợc hết các kiến thức có liên
quan ở trên lớp tôi bắt đầu áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy. Tôi chọn
hai lớp học sinh cơ bản có trình độ đồng đều, một lớp tôi sẽ áp dụng kinh
nghiệm đã nghiên cứu, lớp còn lại làm đối chứng
V. Phơng pháp nghiên cứu
Trên cơ sở rút kinh nghiệm từ quá trình dạy học trên lớp, kinh nghiệm bồi
dỡng học sinh giỏi khi thực hiện nghiên cứu và áp dụng kinh nghiệm này trong
thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng các phơng pháp nghiên cứu sau: - Phơng
pháp suy luận
- Phơng pháp phân tích tổng hợp
- Phơng pháp đặc biệt hóa- khái quát hóa
- Phơng pháp gợi mở

+ Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
b
x
a
− + ∆
=
; x
2
=
a
b
2
∆−−
+ Nếu
0
∆ =
thì phương trình có nghiệm kép:

1 2
2
b
x x
a
= = −
+ Nếu

a
− − ∆
=
+ Nếu
'
0∆ =
thì phương trình có nghiệm kép:

'
1 2
b
x x
a
= = −
+ Nếu
∆
’
< 0

thì phương trình vô nghiệm
d. Hệ thức viét
Nếu
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a
0≠
) thì:
1 2 1 2

1
= 1; x
2
=
c
a
b. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) có hai nghiệm
phân biệt: x
1
= - 1; x
2
= -
c
a
4. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
a. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) có nghiệm khi
0∆ ≥
hoặc
ac < 0
b. Chú ý:

b
x
a
∀ ≠ −
c. Nếu
∆
> 0 thì:
+ f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm
+ f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
Chứng minh
Ta có
( )
2
f x
b c
x x
a a a
= + +

2 2
2
2 2
b b 4ac b
x x
2a 4a 2a 4a
− ∆
   
= + − = + −
 ÷  ÷
   

a
= − −
do đó (giả sử
1 2
x x<
):
+ f(x) trái dấu với a nếu
1 2
x x x< <
+ f(x) cùng dấu với a nếu
1
x x<
hoặc
2
x x>
23
Trêng THCS MÔ Së
II. Bµi tËp thÓ hiÖn
Dạng 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:




=+
=−
)2(52
)1(734
22
myx

0

⇔
m
≥
5
Bài 2: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2
x y a 1 (4)
x y 2a 2 (5)
+ = +


+ = −

a. Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
b. Tìm giá trị của a để tích xy có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: Tương tự bài 1 hầu hết học sinh đều biết dùng phương pháp thế
đưa điều kiện có nghiệm của hệ về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc
hai
a. Từ (4) suy ra y = a + 1 - x thế vào (5) ta có
x
2
+ (a + 1 - x)
2
= 2.a
2
- 2



⇔
(3a - 5).(a + 1)
≥
0

⇔
a
≤
-1 hoặc a
≥

3
5
(*)
b. Ta có 2xy = (x + y)
2
- (x
2
+ y
2
) = -a
2
+ 2a + 3
23
Trêng THCS MÔ Së
⇒
xy = -
2
1

2
3
là một parabol quay xuống dưới
Mặt khác f(-1) = 0, f(
3
5
) =1
9
7
Do vậy giá trị lớn nhất của xy là 1
9
7
khi x = y =
3
5
Khi đó a =
3
5
Như vậy học sinh đều thấy rằng để tìm điều kiện có nghiệm của hệ
phương trình ta đều phải biến đổi và đưa về tìm điều kiện có nghiệm của
phương trình một ẩn.
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
Bài 3: Cho x
2
= 3.(xy + y – y
2
)
Chứng minh rằng: 0
≤
y

≥
0

⇔
3y.(4 – y)
≥
0

⇔
y.(4 – y)
≥
0

⇔
0
≤
y
≤
4
Nếu y = 0 thì x = 0
Nếu y = 4 thì x = 6
23
Trêng THCS MÔ Së
Vậy 0
≤
y
≤
4. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 6

Bài4 : Cho a, b, c, thoả mãn hệ điều kiện:


⇔
∆
≥
0

⇔
(5 - a)
2
- 4.(a
2
- 5a + 8)
≥
0

⇔
a
2
- 10a + 25 - 4a
2
+ 20a - 32
≥
0

⇔
- 3a
2
+ 10a - 7
≥
0

2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [-
3
4
; 0] khi biểu diễn trên
trục số
Hướng dẫn: Vì dạng của bài tập này giống bài 2 nên hầu hết học sinh đều biết
đưa về tổng và tích của hai số nào đó
Bình phương hai vế của (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2.(ab + bc + ac) = 4
Do (2) nên ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
Suy ra bc = 1 - a.(b + c) = 1 - a.(- 2 - a) = a
2
+ 2a + 1
Lại có b + c = -(a + 2)
Do đó b, c là nghiệm của phương trình
23
Trêng THCS MÔ Së
x

Tương tự -
3
4
≤
b
≤
0, -
3
4
≤
c
≤
0
Dạng 3: Tìm cực trị của một biểu thức
Bài 6: Cho phương trình x
4
+ 2x
2
+ 2ax + (a + 1)
2
= 0 (1)
Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình:
a. Đạt giá trị nhỏ nhất
b. Đạt giá trị lớn nhất
Hướng dẫn: Khi tôi đưa ra bài tập này thì học sinh đều thắc mắc đây là phương
trình bậc 4 và tìm cách đổi biến đưa về phương trình bậc hai
Tôi đã gợi ý các em cần đọc kỹ yêu cầu, tôi nhấn mạnh ở đây cần lưu ý là có a
thì nghiệm cần điều kiện gì, lập tức có học sinh đã phát hiện ra ngay cần đưa về
phương trình ẩn a
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) đã cho thì:

⇔
(m + 1)
2
- m
4
- 2m
2
- 1
≥
0

⇔
- m
4
- m
2
+2m
≥
0

⇔
- m.( m
3
+ m - 2)
≥
0

⇔
m.(m - 1).(m
2

1
2
2
++
+−
xx
xx
23
Trêng THCS MÔ Së
Hướng dẫn: Tương tự bài tập trên học sinh đã biết để tìm cực trị của biểu thức A
thì cần đưa về phương trình bậc hai với ẩn là x song các em còn lúng túng chưa
biết biến đổi thế nào, tôi đã hướng dẫn các em nư sau:
Gọi a là một giá trị nào đó của biểu thức A rồi đưa về phương trình bậc
hai với ẩn x, đến đây học sinh đã biết cách làm như sau:
a =
1
1
2
2
++
+−
xx
xx
Do x
2
+ x + 1
≠
0 nên phương trình tương đương với

ax

+8a - 4
≥
0

⇔
-3a
2
+ 10a - 3
≥
0

⇔
3a
2
-10a + 3
≤
0

⇔
3a
2
- a - 9a + 3
≤
0

⇔
(3a - 1).(a - 3)
≤
0


B =
22
22
yxyx
yxyx
++
+−
Hướng dẫn: Bài tập này khác bài trên vì có hai ẩn x, y vì thế học sinh đã rất
lúng túng. Tôi hướng dẫn các em chia tử và mẫu cho y khác 0 xem sao.
Như vậy để chia được chúng ta cần xét 2 trường hợp:
Xét y = 0 thì B = 1 với x
≠
0
23
Trêng THCS MÔ Së
Xét y
≠
0 thì B =
1)(
1)(
2
2
++
+−
y
x
y
x
y
x

2
+ ma + m = a
2
- a + 1 Do a
2
+ a + 1 > 0

⇔
(m - 1).a
2
+ (m + 1).a + m - 1 = 0 (3)
*. Với m = 1 thì a = 0
*. Với m
≠
1 để phương trình (3) có nghiệm thì
∆
≥
0

⇔
(m + 1)
2
- 4(m - 1)
2

≥
0

⇔
m

2
2
2x mx n
A
x 1
+ +
=
+
a. Nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1
b. Nhận giá trị lớn nhất bằng 6
Hướng dẫn: Bài này thì ngược lại so với các bài tập trên, hầu hết các em đều gặp
khó khăn và lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Tôi hướng dẫn các em hãy cứ
tìm xem để có x thì biểu thức A có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như thế nào. Do
đã được làm các bài tập trên nên học sinh biết cách tìm như sau:
Gọi a là giá trị tùy ý của A thì:
a =
1
2
2
2
+
++
x
nmxx
vì x
2
+ 1 > 0 suy ra
(a - 2)x
2
– mx+ (a - n) = 0 (4)

4a 4(n 2)a (8n m ) 0− + + − =
(6).
Theo bài ra ta có
1 a 6≤ ≤
. Như vậy cần tìm m, n để (6) có 2 nghiệm là
a
1
= 1, a
2
= 6.
Theo viét (Nếu (6) có nghiệm)








−
=
+
=+
4
8
4
)2(4
2
21
21

*. n = 5;m = 4 thì
2
2
2 4 5
1
x x
A
x
+ +
=
+
có GTNN là 1, có GTLN là 6
*. n = 5; m = - 4 thì
2
2
2 4 5
1
x x
A
x
− +
=
+
có GTNN là 1, có GTLN là 6
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của A=
2
1
x x
x
+ +

≠
nên (8) là phương trình bậc hai
Điều kiện để phương trình (8) có nghiệm là:

0∆ ≥

⇔

4
m 8m 0− ≥
Do m > 0
⇒
m
3

≥
8
⇒
m
2≥
*. m = 2
1
2
x⇔ =
thỏa mãn điều kiện 0 < x
≤
m
23
Trêng THCS MÔ Së
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 với x =

4
2−
Với a
≠
1 phương trình (9) có nghiệm
⇔

0∆ ≥

⇔
- a
2
+ 4a + 5
≥
0
⇔
(a + 1).( 5 - a)
≥
0

⇔
- 1
≤
a
≤
5
a có giá trị nhỏ nhất là -1
x 2⇔ = −
a có giá trị lớn nhất là 5
2

1 4a(ay 2y 7a 1) 0− − + − ≥

2 2 2
4a y 8ay 28a 4a 1 0⇔ − + − + + ≥
(11)
(11) là bất phương trình ẩn y, bất phương trình này xảy ra
y∀
⇔

y
0
′
∆ ≥
2 4 3 2
16a 112a 16a 4a 0⇔ − + + ≥
23
Trêng THCS MÔ Së
4 3 2
112a 16a 20a 0⇔ − + + ≥
2
28a 4a 20 0 (a 0)⇔ − + + ≥ ≠
(2a 1)(14a 5) 0⇔ − − ≤
5 1
a
14 2
−
⇔ ≤ ≤

Giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2

23
Trêng THCS MÔ Së
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của:
a,
2
x
A
x 1
=
+
b,
2
2
x 2x 2
B
x 2x 2
− +
=
+ +
Bài 2: Cho biểu thức
2
2
x mx n
A
x 2x 4
+ +
=
+ +


với 0 < x < 1
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức
x
2
+ 2y
2
- 2xy + 2x - 4y + 3 > 0
B i 6à : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
A =
2
12
2
+
+
x
x
B i 7: Bà iết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình




+−=+
=+
6
222
myx
myx
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy + 2(x + y).
Bài 8: Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình


đáng kể trong giảng dạy. Không những kết quả bài kiểm tra lớp 9A cao hơn mà
ý thức học tập bộ môn của các em học sinh lớp 9A cũng tốt hơn, các em yêu
thích bộ môn hơn

23
Trờng THCS Mễ Sở
C- Kết luận và khuyến nghị

I. bài học kinh nghiệm.
Dạy học Toán đòi hỏi phải cuốn hút học sinh vào nhng hoạt động học tập
do giáo viên tổ chức, chỉ đạo thông qua đó học sinh tự khám phá điều mình cha
biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất lợng đòi hỏi ngời thầy phải đầu t
thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học biết cách vận dụng tốt các ph-
ơng pháp tổng quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự để từ nhng kiến thức đã có giúp học
sinh mở rộng o sâu hệ thống hoá kiến thức giúp học sinh biết cách tìm lời
giải của một bài toán khó hoặc cao hơn bằng cách liên hệ với các kiến thức đã
biết, đã đợc học.
Muốn rèn và phát triển t duy học toán cho học sinh đòi hỏi ngời thầy
phải thờng xuyên học hỏi tìm tòi nghiên cứu luôn có ý thức tập hợp các bài toán
theo một hệ thống có logíc, có phát triển, mở rộng
II. phm vi áp dụng.
ỏp dng c kinh nghim ny mt cỏch cú hiu qu nht thỡ:
- i vi giỏo viờn: Phi nhit tỡnh cụng tỏc, tõm huyt v yờu ngh.
iu c bn nht l vn tri thc ca mi giỏo viờn, ng thi mi giỏo
viờn cn phi c v c nhiu ti liu tham kho t ú t mỡnh h thng kin
thc li theo tng dng, theo tng mc t d n khú, t n gin n phc
tp.
Khi ging dy giỏo viờn cn nm c kh nng, trỡnh ca mi hc
sinh, mi nhúm, mi lp a ra bi tp mc no phự hp trỏnh hin
tng quỏ ti.

sinh là rất cần thiết.
Trên đây tôi đã mạnh dạn trình bày kinh nghiệm Dùng điều kiện có
nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác. Kinh
nghiệm đã đợc tôi áp dụng vào thực tế giảng dạy song thiếu xót là điều không
tránh khỏi. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp.
Tôi xin đợc chân thành cảm ơn!
Mễ Sở, ngày 29 tháng 3 năm 2012
Ngời viết
Chu Thị Hiên

23
Trờng THCS Mễ Sở
Mục lục
Đề mục Trang
A. Đặt vấn đề 2
I. Cơ sở khoa học 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Đối tợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 4
IV. Kế hoạch nghiên cứu 4
V. Phơng pháp nghiên cứu 4
VI. Thời gian hoàn thành 5
B. Giải quyết vấn đề 6
I. Một số kiến thức cần nhớ 5
II. Bài tập thể hiện 9
III. Kết quả 17
C. Kết luận và khuyến nghị 18

23
Trêng THCS MÔ Së
ý kiÕn ®¸nh gi¸ cña tæ chuyªn Đánh giá Điểm Xếp loại
Văn Giang, ngày tháng năm 2012
23
Trêng THCS MÔ Së
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………