CCH S DNG IU KIN Cể NGHIM CA
PHNG TRèNH BC HAI GII TON
Cao Quốc Cờng ( GV. THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Các kiến về phơng trình bậc hai là những nội dung kiến thức cơ bản trong chơng trình
toán lớp 9. Trong bài viết này tôi muốn trình bày với các bạn cách vận dụng điều kiện có
nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số dạng toán.
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài 1: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 2 x 2 + 2 xy + 2 x + y 2 + z 2 + y = 2 yz (1)
Chứng minh rằng : 1 y 2 z 1 .
Lời giải: Viết đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x ta có:
2 x 2 + 2 ( y + 1) x + ( y 2 2 yz + z 2 + y ) = 0 (2)
Ta có / = y 2 + 2 2 yz 2 z 2 + 1 . Vì x, y, z thỏa mãn đẳng thức (1) nên PT(2) có nghiệm
phải có / 0 y 2 2 2 yz + 2 z 2 1 0 ( y 2 z ) 1
2

y 2 z 1 1 y 2 z 1 ( ĐPCM).

Dạng 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên.
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: x 2 + 5 y 2 + 2 y 4 xy 3 = 0 (1).
Lời giải: Viết lại đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x.
x 2 4 xy + ( 5 y 2 + 2 y 3) = 0 (2). Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức (1)
thì PT(2) phải có nghiệm / 0 ( y + 1) 2 4 3 y 1 . Vì y Z nên ta có:
y { 3; 2; 1;0;1} . Lần lợt thay các giá trị của y vào PT(2) ta đợc:
* Với y = - 3 x =- 6 (Thỏa mãn).
* Với y = - 2 x = 4 3 (Loại vì x Z ).
* Với y = - 1 x = 0; x = - 4 ( Thỏa mãn).
* Với y = 0 x = 3 (Loại vì x Z ).
* Với y = 1 x = 2 (Thỏa mãn).
Vậy có bốn cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức (1) là
( x; y ) = ( 6; 3) ; ( 4; 1) ; ( 0; 1) ; ( 2;1) .
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .


2

GTLN của P là Max P = 9 đạt đợc khi x + 1 ữ = 0 x = 1 .


2

2
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn đẳng thức: x + y + 6 x = 3 y + 2 xy 7
2

2

(1)

Sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: Viết biểu thức (1) về dạng phơng trình ẩn x tham số y ta có:
x 2 + 2 ( 3 y ) x + ( y 2 3 y + 7 ) = 0 (2)
Giả sử tồn tại cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức (1) thì PT(2) phải có nghiệm
2
2
2
. Vậy GTLN của y là Max y = thay y = vào (1) ta
3
3
3

7
2

1
.
4

Vậy x 0; ;1; 4 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
1
4



Dạng 5 : Giải hệ phơng trình.
3

y + 2 = ( 3 x ) (1)

2 z y ) ( y + 2 ) = 9 + 4 y (2)
Bài 6: Giải hệ phơng trình: (
x 2 + z 2 = 4 x (3)


z 0(4)


Lời giải: Từ PT(2) ta có : y 2 + 2 y ( 3 z ) + 9 4 z = 0 (*) phơng trình (*) là phơng trình bậc
z 2
(I) .
z 0

hai ẩn y có nghiệm khi và chỉ khi ' = z 2 2 z 0


3
x ( x 4) = 0
y + 2 = ( 3 x)

( b ) y 2 + 6 y + 9 = 0

x=4


Hệ phơng trình (a) vô nghiệm.
Hệ PT (b) có nghiệm (x; y) = (4; -3) kết hợp với z = 0 ta có: (x; y; z) = (4; - 3; 0)
*Với z = 2 thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có:
y + 2 = ( 3 x) 3
2
y + 2 y +1 = 0
x2 4 x + 4 = 0


Hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (2; - 1) kết hợp với z =2 ta có (x; y; z) = ( 2; - 1; 2).
Vây hệ PT có nghiệm là: (x; y; z) = (4; - 3; 0) ; (2; - 1; 2)
Bài tập áp dụng
2

Bài1: Cho đẳng thức x 2 x + 3 y 2 y = 3xy . Chứng minh rằng: y 5 ữ 28 .


3

9