0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
 SÁNG KIẾN KINH NGIỆM
"Phương pháp đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có
nghiệm của phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình đại số"

Bộ môn: Toán
Trường: THPT Chuyên Hà Tĩnh
Giáo viên: Lại Thị Hạnh

03
Dạng 2. Các bài toán tìm điều kiện của tham số để PT có k
nghiệm

10
2 Bất phương trình 15
3 Hệ phương trình 20
III Thực nghiệm 26
1 Mục đích thực nghiệm 26
2 Nội dung thực nghiệm 26
3 Kết quả thực nghiệm 26

C. Kết luận và kiến nghị
27

Tài liệu tham khảo
28

2

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông, bài toán tìm điều kiện
của tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán
quan trọng và thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào Đại học, Cao
đẳng. Những bài toán dạng này được đề cập trong các tài liệu tham khảo với nhiều

- Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu, xây dựng và trình bày một
cách có hệ thống các bài tập điển hình sử dụng phương pháp đạo hàm tìm điều kiện
của tham số để PT, BPT, HPT đại số có nghiệm.
IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
Trong quá trình dạy học phần bài tập có chứa tham số nếu người giáo viên chú
trọng đúng mực và xây dựng được hợp lý hệ thống các bài tập về sử dụng phương
pháp đạo hàm để giải quyết các bài toán tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có
nghiệm thì sẽ giúp học sinh tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này và từ đó
giúp học sinh chủ động và tự tin khi gặp các bài toán có chứa tham số nói chung.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+) Nghiên cứu luận: Nghiên cứu các tài liệu về PT, BPT và HPT ở chương trình toán
Trung học phổ thông.
+) Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải
quyết bài toán có chứa tham số
+) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở lớp 12 để xem xét
tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
VI. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
- Trong thực tiễn dạy học của bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình vào giảng
dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rất chủ động và
hứng thú khi tiếp cận với những bài toán có chứa tham số nói chung. Từ đó phát huy
tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập.
- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi Đại học, Cao Đẳng.




.
f x f y x y
  

- Nếu hàm số


y f x
 đồng biến và hàm số


y g x
 nghịch biến trên
D
thì phương
trình




f x g x
 có không quá một nghiệm trên
D
.
- Nếu hàm số liên tục trên D và max ( )
D
f x M


- Nếu hàm số


y f x
 liên tục trên D và min ( )
D
f x m

thì bất phương trình ( )
f x k


có nghiệm trên D khi và chỉ khi
.
k m


- Nếu hàm số


y f x
 liên tục trên D và max ( )
D
f x M

thì bất phương trình
( )
f x k

thoả mãn với mọi

thì trên đó hàm số luôn đạt giá tri lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất.
Trong trường hợp hàm số


y f x
 không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D
ta phải lập bảng biến thiên của hàm số đó trên D. Từ đó đưa ra kết luận cho bài toán.

II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA.
1. PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1. Các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Trong dạng này, tác giả sẽ đưa ra một số ví dụ và phân tích các cách tiếp cận
khác nhau để thấy được lợi thế của phương pháp đạo hàm đối với dạng toán này. Dấu
hiệu quan trọng nhất để sử dụng được PPĐH đối với dạng toán tìm điều kiện của tham
số để phương trình có nghiệm là PT có thể biến đổi được về dạng: f(x) = g(m).
Trong hệ thống bài tập dưới đây gồm 2 loại như sau:
+) Bài 1, bài 2, bài 3, bài 4, biến đổi được về dạng: ( )
f x m


+) Bài 5, bài 6, bài 7, biến đổi đưa về dạng
( ) ( )
f x g m

; trong đó
( )
g m
là
một hàm số của m.


Xét hàm số
2 2
4 5 4 5
y x x x x
     
trên


+ )
2 2 2 2
2 2 2 2
' ,
4 5 4 5 ( 2) 1 ( 2) 1
x x x x
y x
x x x x x x
   
     
       


+)
       
2 2
' 0 2 2 1 2 2 1y x x x x         (2)
       
2 2 2 2
( 2)( 2) 0
2 2 1 2 2 1

2 2
8 8
4 5 4 5
4 5 4 5
1 1
x x
y
x x x x
x
x x x x
  
 
    
    
 
 
lim 4; lim 4
x x
y y
 
  
.
Ta có bảng biến thiên:
x

- +
y

t
f t
t


và chỉ ra
( )
f t
đồng biến trên

.
Bài toán trên có thể tổng quát thành:
Bài 1’. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a.
2 2 2
( 0, 4 )
ax bx c ax bx c m a b ac
       
b.
2 2 2
( ) 2 ( 0, 4 )
m ax bx c ax bx c bx a b ac
       
6

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
44
13 1 0
    
x x m x (1)



 
 
 
    
   





Xét hàm số


3 2
4 6 9 1
f x x x x
    
trên tập


;1

.
Ta có:


2
' 12 12 9
3
2
Ta có: (1) có nghiệm  (2) có nghiệm


;1
x
 
3
2
m
  

Đáp số:
3
2

m
Nhận xét: Với PPĐH cho chúng ta cách tiếp cận đơn giản để giải quyết bài toán
trên, trong khi các PP khác rất khó để làm được điều tương tự. Qua 2 bài toán trên
chúng ta nhận thấy được điểm “mạnh” của PPĐH để giải bài toán chứa tham số so
với các PP khác.

Bài 3. (ĐH Khối A-2007)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x



. Ta có:
4 4
1 2
0 1 1 0 1
1 1
x
t
x x

      
 
;
7

Với mỗi


0;1
t  ta luôn có
1
x

để
4
4
4

3
f t t f t t
     

Ta có bảng biến thiên:
t
0
1
3
1
f’(t) + 0


f(t)

1
3
0 -
1

Phương trình (1) có nghiệm


1;x
  
phương trình (3) có nghiệm


( ) ( )
f x g m

.(Đối với những bài
toán chưa sẵn có dạng
( ) ( )
f x g m

)
Bước 2: Tìm miền giá trị của
( )
f x

Bước 3: Kết luận cho bài toán.
Chú ý: Trường hợp phương trình chứa các biểu thức phức tạp cần đặt ẩn phụ, ta thực
hiện như sau:
Bước 1: Biến đổi đưa phương trình về dạng
( ) ( )
f x g m

.
Bước 2: Đặt ẩn phụ
( )
t x


, tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ.
Bước 3: Đưa phương trình ẩn x về phương trình ẩn t:
( ) ( )
h t g m

            
x x x x x x x m x2 2
5 4 2 ( 5 4)       
x x x x x mx2 2
5 4 5 4
2
     
   
x x x x
m
x x
(do x > 0) (2)
Đặt
2
5 4 4
5
  
    
x x
t x
x x
.
Xem t là hàm số của x trên


   
1;4
1;4
min ( ) ax ( )
 
t x t m t x

0 1
 
t

Phương trình (2) trở thành:
2
2
  
m t t
(3)
Xét hàm số
2
( ) 2
  
f t t t
,
0 1
 
t



Đáp số:
1 0
m
  Nhận xét:
+) Điều quan trọng của bài toán này là cần sử dụng đạo hàm để tìm được điều
kiện chính xác của ẩn phụ. Đây là điều học sinh dễ gặp sai lầm vì chỉ đánh giá được
0
t

.
+) Việc tìm điều kiện chính xác cho t ở bài toán trên có thể thực hiện như sau:
4 4
5 ; 5
t x u u x
x x
        
. Từ đó tìm điều kiện chính xác cho u và sau
đó cho t.

Bài 5: (HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2008-2009)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 2 3 2
2 3 3 1 1
x x m m x
     
(1)


có:

2
'( ) 3 6 ; '( ) 0 0
f x x x f x x
    
(loại)
; 2
x


9

lim ( )
x
f x

 

Ta có bảng biến thiên:

x 1 2
 f’(x)

  

Đáp số:
1
m
  Nhận xét: Trong bài toán này ta biến đổi được PT đã cho về dạng
( ) ( )
f x f m

. Sau đó đưa bài toán về giải BPT:
( ) (2) 0
f m f
 
(*), trong đó vế trái
của (*) là một hàm bậc 3 của m và dễ nhận thấy ngay nó có 1 nghiệm đặc biệt m=2.
Do đó BPT (*) được giải quyết một cách đơn giản.

Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 5 3
( 4 9 10) 3 0
x x m m m
     
(1)

Lời giải: Đặt:
x t

     
(2)
Xét hàm:
( )
f t

3
3
t
t

với
(0; )
t
 '( )
f t

4
2
2 2
3 3 3
3 ; '( ) 0 1
t
t f t t
t t

     


4

Ta có, (1) có nghiệm

(2) có nghiệm t thỏa mãn:
0
t
5 3 5 3
4 9 10 4 4 9 6 0
m m m m m m
         
(3)
10

Xét hàm:
5 3
( ) 4 9 6
g m m m m
   
trên

có

4 3 4 2 2
'( ) 5 12 9 (2 3) 0,g m m m m m m
        

3 4 2 6 15 12 1 2 0
x x x m m m m
         
(1)Lời giải: Điều kiện:
x



Ta có: (1)


2 3 2
3 4 2 6 15 12 1 2
x x x m m m m
         

Xét hàm:
2
( ) 3 4 2
f x x x x
   
trên


Ta có:
2
2

      
 
 

Bảng biến thiên:

x -

1
f’(x) + 0


f(x) 0

-

-


Qua bảng biến thiên ta thấy (1) có nghiệm

3 2
6 15 12 1 2
m m m m
     
0


( ) (1) 1 0
g m g
   
,
1
m
 
. Vây PT có nghiệm với
1
m


Đáp số:
1
m
 Nhận xét: Ở bài toán này để đi đến kết luận chúng ta phải giải BPT
( ) 0
g m

.
Việc giải BPT này tương đối phức tạp vì g(m) không có nghiệm đặc biệt .Ở đây chúng
ta sử dụng PPĐH để đánh giá
( )
g m
và tìm được nghiệm của BPT
( ) 0
g m

;1
2

 
 
 2 3 2
3 1 2 2 1
x x x m
    
(1)
Phân tích bài toán: Ở đây vế trái của PT là một hàm số rất phức tạp do đó
PPĐH có lẽ là phương án tối ưu nhất để giải quyết bài toán, nhưng trước hết gặp một
khó khăn là tìm điều kiện có nghĩa cho PT, việc tìm điều kiện dẫn tới việc giải bất
phương trình
3 2
2 1 0
x x
  
(2) trên đoạn
1
;1
2

 
 
 
. Vì đa thức ở vế trái của (2) không



2
3 4 0 0
g x x x x

    

+)
   
1 11
; 0 1; 1 4;
2 8
g g g
 
   
 
 

Do đó:


1
;1
2
min 1
 

 
 

;1
2

 
 
 
.
Ta có:
2
'
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
( )
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
 
  
    
 
     
  Rõ ràng:
2 3 2
3 3 4 1
0, ;1
2



f(x) 1
3 3 22
2

-
4

Qua bảng biến thiên ta thấy:
(1) có nghiệm duy nhất trên
1
;1
2

 
 
 



3 3 22
4
2
m

   hoặc

1
2
1
2
3 4 1
2 2 1
x
x
mx x x
x mx x


 
 
 
 
 
 
  
   


2
1
2
3 4 1

 



   


 
có:

 
2
1
' 3 0,
f x x D
x
    0 0
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )
x
x x
f x f x f x
 

 
     

Ta có bảng biến thiên:

x

1

+)Với bài toán trên ta thấy phương trình luôn có nghiệm
 
m R
do đó ta có thể
thay đổi yêu cầu bài toán thành "Chứng minh phương trình có nghiệm
 
m R
"

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
1
x m m x
  
(1)
Lời giải: Điều kiện:
x



Ta có:
 


2
1 1 1
x m x
   
(2)
Dễ thấy, (1) luôn có nghiệm x = 0.

  
có:

 
2
2
(1 1)
' 0, 0
x
f x x
x
  
   0 0
lim ( ) 1; lim ( ) 1 lim ( ) ; lim ( )
x x
x x
f x f x f x f x
 
 
 
      Ta có bảng biến thiên:

x -∞ 0 +∞
f’(x)

 


Đáp số:
1
1
m
m



 
Nhận xét: Trong bài này, điều quan trọng là phải nhận xét được
0
x

là một
nghiệm của PT.

Bài 4: Cho phương trình:


2 24 4
5 2 4 4 5 2 4 4m x x x x       (1)
Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm duy nhất;
b) Có 2 nghiệm phân biệt.


là b
2
. Lúc đó (1) trở thành 1 PT đẳng cấp bậc hai đối với 2 ẩn a, b. Đối với
dạng PT này ta thường chia cho a
2
hoặc b
2
để đưa về ẩn phụ thích hợp. Ở đây chúng ta
lựa chọn chia cho b
2
vì với điều kiện của PT thì a
0

, còn b > 0.

Lời giải: Điều kiện:
2
x

.
Chia 2 vế của (1) cho
2
x

ta có:
 
4 4
2 2 2
1 5 4 5 4
2 2 2

suy ra
0 1
t
 
với


2; .
x
  

Với mỗi


0;1
t  ta luôn có duy nhất một giá trị
2
x

để:

4
4
4
2 2
( 2)
2 1
x t
t x
x t

t
f t
t t



trên
4 4
0; ;1
5 5
   

   
   
có:
+ )
 
 
2
2
2
20 50 20
' ; '( ) 0 2
5 4
t t
f t f t t
t t
  
   


4
5
1
f’(t)

0 + +
f(t)





-1

4


Ta có:
a) (1) có nghiệm duy nhất  (3) có đúng một nghiệm
4 4
0; ;1
5 5
t
   
 
   
   

15


hoặc
1
m
 
; b)
4
m
Nhận xét:
+) Như đã nói ở phần đầu của của dạng này, điều quan trọng trong bài toán là
sau khi đặt ẩn phụ học sinh cần phải biết được sự tương ứng giữa số nghiệm t và x.
+) Trong bài này, giáo viên cần lưu ý học sinh là phải quan sát các biểu thức
xuất hiện trong đề bài:
2
4
2; 2; 4
x x x
  
, từ đó dự đoán sẽ phải đặt ẩn phụ và
ẩn phụ là gì? Chính vì vậy bước đầu ta chưa nên "cô lập" m ngay mà nên chia cả 2 vế
cho
2
x

trước để thấy rõ được ẩn phụ cần đặt.

Bài 5. (HSG Hà Tĩnh Lớp 12 năm học 2012-2013)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:

     
 
;
20'  xt
.
Bảng biến thiên của hàm số t trên


2;2 :

x
-2
2
2
t' + 0


t

22

2
-2

Từ bảng biến thiên ta có
t 2;2 2
 
 
 
và quan hệ số nghiệm của t và x:

2

Xét hàm số 2
2
1
)(
2
 tttf trên tập
2;2 2
 

 
.

'( ) 1; '( ) 0 1
f t t f t t
      16

Ta có bảng biến thiên:

t
-2 1 2
2 2

f’(t) + 0



  

2222  m
.
Đáp số:
2222  m

Nhận xét: Về mặt phương pháp giải bài toán này cũng giống như bài toán 4, ở
đây chỉ có một sự khác biệt là ta khó khăn hơn trong sự biểu diễn x qua t như bài toán
4, để khắc phục điều đó thì cách giải trên đã sử dụng đạo hàm để tìm sự tương ứng
giữa t và x

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
1.
2
4 2 3 21 4
x x x m
    

2.
  


6 2 4 2 2 4 4 2 2
x x x m x x
        

3.
2


Cũng tương tự như PT, dấu hiệu quan trọng nhất để sử dụng được PPĐH đối
với dạng toán này là BPT có thể biến đổi được về dạng: f(x) > g(m) hoặc f(x) < g(m);
f(x) g(m); f(x) g(m)
 
. Và để giải quyết bài toán ta cũng thực hiện các bước tương
tự như đã nêu trong phần PT, tuy nhiên ở bước tìm tập giá trị của f(x) (hoặc của h(t)) ở
phần PT thì sang phần BPT không nhất thiết phải làm đầy đủ, mà tùy theo dạng của
BPT ta chỉ cần tìm




min ; ax
f x m f x
(hoặc
min ( ); max ( )
h t h t
) là đủ cơ sở để đưa ra
kết luận cho bài toán.
17

Bài 1. Tìm
m
để bất phương trình sau có nghiệm:



12 5 4
     


( 12)( 5 4 )
     
f x x x x x x
trên đoạn


0;4
.
+)
 
   
 
1 1 1
' 5 4 12 , 0;4
2 2 2 2 4 2 5
x
f x x x x x x x x
x x x x
   
           
   
  
   

+)






Nhận xét:
+) Trong bài tập này ta cũng có thể chỉ ra hàm số


f x
đồng biến trên


0;4

bằng cách vận dụng kiến thức sau: Nếu hàm số
( )

y h x
đồng biến trên D ,
( ) 0
f x


với mọi
x D

và hàm số
( )
y g x

đồng biến trên D ,
( ) 0
g x



Bài 2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
3 1   mx x m (1)

Lời giải: Đặt
3, 0
t x t
  

Ta có:
2
3,
x t
 

(1) trở thành:
 
2
2
1
3 1
2

     

t
m t t m m
t
(2)






' 0 1 3; 1 3
f t t t        (loại)

18

Ta có bảng biến thiên

t
0
1 3
  +
∞
f’(t) + 0


f(t)

3 1
4

1
2

bất phương trình:
1 3
1
 


x
m
x
. Khi đó dẫn đến việc xét hàm số
 
1 3
1
x
f x
x
 


. Đối
với hàm số này việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp
khó khăn.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc
0;1 3
 

 
2
1
' ; ' 0 1
2 2
x
t t x
x x

   
 (0) 2; (1) 1; (1 3) 2
t t t
   

Suy ra:
[0;1 3]
[0;1 3]
min ( ) 1; max ( ) 2
t x t x


 

1 2
t
  

Do


1;2
có:

 
 
2
2
2 2
' 0 , (1;2)
1
t t
f t t
t
 
   

;
Suy ra hàm số đồng biến trên [1;2], do đó:
 
 
1;2
2
max ( ) 2
3
 
f x f
Ta có (1) có nghiệm
 
0;1 3 3


:

2
1 12 1 16 3 1 2 15
m x x x m x m
       
(1)

Lời giải:
Điều kiện:
1 1
x
  
.
(1)
2[9( 1) 6 (1 )(1 ) (1 )] (3 1 1 2) 5 0
x x x x m x x
             
(2)
Đặt: 3 1 1
x x t
   
, (2) trở thành
2
2 ( 2) 5 0
t m t
   
(3)
Xem

x nên yêu cầu bài toán

tìm
m
để bất phương trình (3) nghiệm đúng
[- 2;3 2]
t 
Do
2 0
t
 
,
[- 2;3 2]
t  nên: (3)
2
2 5
2
 
 

t
m
t
(4)
Xét hàm số
2
2 5
( )
2
t

f t
là hàm số nghịch biến trên
2;3 2
 

 

Suy ra
[- 2;3 2]
31
min ( ) (3 2)
3 2 2
f t f

 


Ta có (4) nghiệm đúng
[- 2;3 2]
t 
m
 
[- 2;3 2]
min ( )
f t
31
3 2 2
m

 

1xx1xxm )()(  (1)
Lời giải:
Đặt:
2
1
  
t x x
với
x
[0;2]

.
Xem t là một hàm số của x, x
[0;2]

.
Ta có:
' 2 1 0, [0;2]
t x x
    

Suy ra t là hàm số đồng biến trên
[0;2]

Do đó:
[0;2]
[0;2]
min ( ) (0) 1; max ( ) (2) 5
t x t t x t
    

m ; 0 t 5
t


   






  


(3)
Ta có (1) nghiệm đúng

x
[0;2]


(2)

nghiệm đúng

t


1;5
 

2
4
'( ) ; '( ) 0 2
t
f t f t t
t

    
(loại);
2
t
0 0
lim ( ) ; lim ( )
t t
f t f t
 
 
   

Bảng biến thiên:
t -1 0 2 5

f’(t)



0 +

m maxf (t); 1 t 0
3
m minf (t); 0 t 5

   




  


m 1
1 m 8
m 8
 

    




Vậy (1) nghiệm đúng

x
[0;2]


1 m 8
   



3
3 2
3 1 1
    
x x m x x
Tìm m để bất phương trình sau
3) )())(( 3x5x2mx3x21
2
 nghiệm đúng với mọi ];[ 3
2
1
x


4) x
2
- 2x + 1 - m
2

0

nghiệm đúng với mọi x

[1; 2]
21

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH


,
s x y p xy
  

sẽ rất phức tạp cho việc xử lý ở phần sau. Ở đây ta sẽ dùng nhận xét
3 3
3
1 1 1
( ) 3( )
a a a
a a a
    
để đặt ẩn phụ.
Lời giải
Đặt
1 1
,u x v y
x y
   

a) Điều kiện:
2, 2
u v
 

Hệ (1) trở thành
 
3 3
5
3 15 10



2
5 8
f t t t
  
với
2
t

có:

 
5
' 2 5; ( ) 0
2
f t t f t t
    2 2
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2; lim ( ) 22
x x
x x
f t f t f t f t
 
 
 
     


t t t t
 
thỏa mãn
1 2
2; 2
t t
 22
m
 
hoặc
7
2
4
m
 
.
22

b) Xét hàm số
 
1
 
g t t
t
trên





2
5 8
f t t t
  
với
t 2

.

5
'( ) 2 5; '( ) 0
2
f t t f t t
    2
lim ( ) ; lim ( ) 2
x
x
f t f t



  

Ta có bảng biến thiên:


t t t t
 
thỏa mãn
1 2
2; 2
 
t t
7
2
4
m
  

Đáp số: a)
22
m

hoặc
7
2
4
m
 
b)
7
2
4
m
 


(1)
Lời giải:

 




 
 
 
2
3 2 2
2
2
2
2 2
1
2 1 2
1 2
x x x y m
x x y x xy m
x x x y m
x x y m

  

   
 
 

  




 
  
  




 
2
1 2
2
2 1
v m u
u u
m
u
  




 




;
4
 
 


 
.

 
 
2
2
2 2 1 1
' , ;
4
2 1
u u
f u u
u
 
 
     
 
 

;

 
1 3 1 3

8


-
∞
Dựa vào BBT, (1) có nghiệm
2 3
2
m

 
Đáp số:
2 3
2
m


Nhận xét:
+) Đối với bài toán này, ta cần quan sát và khéo léo biến đổi để phát hiện ra ẩn
phụ hợp lý
+) Bài toán có thể thay đổi yêu cầu như sau: Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) với x
không âm; hoặc là có nghiệm (x, y) với x < a hoặc x>a, (a cho trước).

Bài 3. (HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An 2011-2012)
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm

3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 0 (2)

3
3
(1) 12 2 12 2
x x y y
     

Xét hàm số


3
( ) 12 , 2;2
f t t t t    ;





' 2 2
( ) 3 12 3 4 0 , 2;2
f t t t t        
f(t) là hàm liên tục trên


2;2

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên


2;2


( ) 3 4 4
g x x x
   ,


2;2
x 

2
3
'( ) 8 ; '( ) 0 0
4
g x x g x x
x
 
     
 

 ( 2) 16; (2) 16; (0) 6
     
g g g
Ta có:
 
 
2;2
2;2
ming(x) 16; max g(x) 0

nghiệm, 3 nghiệm, nghiệm duy nhất, hay có nghiệm (x; y) thỏa mãn x>1,…

Bài 4. Cho hệ phương trình:

1 1
1 1
x y m
y x m

   


   



Tìm m để hệ phương trình trên: a) Có nghiệm;
b) Có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
Điều kiện:
0 1
0 1
x
y
 


 



0;1

Ta có: (1) ( ) ( )
f x f y x y
   