TRUONG DAI HQC
TONG
HOP
HA
NOl
Khoa Toan
- Co - Tin hoc
"'•• '
''''^\
DAO
HAM
TRÜNG BÍNH
VA CÁC
PHÜONG
PHÁP
PHOI HCÍP
•
•
DE
GIÁI MÓT
SO
BÁI TOAN
BIEN
Chuyén
ngánh:
Toan
hoc tính
toan
Más6
1-01-07
LUÁN

6
2.2.
Phiidng
pháp
can
bang sai so 7
2.3. Các phép bien doi
toan
t\l
8
g
¿:
Cae
bal toan bien co
nghiem khong trun
12
6
$1_
Bái toan bien
d^ng
phúc tap
có nghiém gián
cJoan
12
$2-
Bái toan bien
dang
phúc
ta.p
có nghiém

Bái toan bien vói
phildng
trinh poatxóng 42
ChliÓnS
d-
Mot
so
philong
phap
phoi
hop giai
Bái
toan
bien khóng
dúng
tren
mién
có bien ky di 46
$1-
PhUdng
pháp bien doi Laplaxd
46
$2.
Phildng
pháp
duóng thang
50
$3-
PhUdng pháp
láp

, Xo ^
X .
néu V h
"íi
X
,
ton
t^ii:
1
( F(xo+th)-F(xo)
lim dt
-
SFCxo,h)
S-i-O
2Í
/g-
t
thif F(xo,h)
ggi lá bien phán trung binh (theo tích phán)
thú 1 cüa
hám
F tai
xo.
iij
Néu tai
Xo
ta
cc5'F(xo,h) ~
Ah
trong dó A -

1
1
im
^-••0
(«+P.
)S
-ai
Ó dáy:
« , B
> O
1.2.
Tinh
chát [13].
i) Hién nhién ta có:
(FTG)-
(xo)
-
F'(xo)
-^
G'^(XO)
(<JF)^
(XO)
=
a.F'
(Xo)
- 5 -
(F
*
G)'
(Xo)

lim
S
-i-0
2
J
1hlsigntdt =
O
-j
.^o
iv) Hám F có diém góe tai
Xo
(hinh 1). Nhung có
thé^dao
hám
trung binh tai dó
fi(x)
•2(x)
v) Hám F khóng
lien "cuc
t^i
xo,
nhUng có thé co
GQ^O
ham
trung binh
t5LÍ
dó (hinh 2).
fiCx)
X2(X)
Xo

f(t):
lien tuc trong
lan
can
t=0^
5"
> lim
f(t)dt
=
im
^'-^O
2
ó
[f(5)
- f(-Q)]
-5
2
S-^0
lim
2 ó
-*-0
F(Xo-i-5h)
-
F
(Xo)
F
(Xo-5h)
t.xo;
F(xo+§h) -
F(xo)

b trong mién
o (2.1.1)
Vói các dieu kién:
3(U)
-
3
Tren phán bién
•'^;
(2.1.2)
(u)
Tren phán bién
"
Trong dó
o
lá mién dude giai vói
L ,
S, G lá các
toan
tü vi phán, b, s, g lá các hám da
cho.
Giá sü
U
lá nghiém dúng cüa bái
toan
(2.1.1), (2.1.2),
(2.1.3) má ta khóng
thg
tim
dUde
báng

ii)
V£>
O,
Vu,3n
sao cho:
[u-
(ZtXiíí?i-HXo)]
dx
^ i
¿
Dat
(2.1.4) váo (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) ta
¿xiOc:
R:
= L(U*)
- b
TÍ
O (2.1.6)
Ri:
= S(ü*)
- s
?í
O (2.1.7)
Rs:
= G(U")
- g
/
O
(2-1.8)
Trong

Giá thiét
rang
VW déu viét
dUde duói
dang:
Z Bifi
(2.2.2
i=l
-
j
lá:
"trong
dó
{^^i}
la hé hám dáy du ; {3
i}
các hé so.
Thé thi
moi ham u
thoa man dieu kién bien
~inh dúngtúc
Ri = Rs
- O
. (2.2.2)
8
va:
(R,W) =
R.Wdo
=
O

3w
(w
u
-)
ds (2.2.4)
an
^n
Q
Trong 36 V
toan
tü Laplaxó
;
3u 3w
^ ^ ___
an 3n
theo pháp tuyen cua
cae
hám
u^
w
túóng úng.
lá
các Bao hám
2-3-
các
phép
bién doi
toan
tU:
2.3.1.

b)
Ton tai
^
[f(t),
s]
- 9 -
iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu:
-
Phép bién dói dat tUdng úng moi
hám^F(s)
mgt hám f(t) má
y.
[f(t),s] =
F(s) dude ggi lá phép bién dói
ngUOc
Laplaxd
mgt chiéu cüa hám f(t); vá viét;
f(t)
= ^ "^[F(s)]
.
iv)
S\t
ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd
a) Néu F(S) lá hám giái tích vá có
cap nhó
non (-1) thi ton
tai^^[F(s)].
b) Giá sü F(s)
'
^[Fi(s),

Fi(s),
F2(s) lá các bién dói Laplaxd cüa các
hám
fi(t),
f2(t) tUdng úng. Thé thi
V
«,
B ik
các háng so ta
có;
^ [ocfi(t)
+
tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S)
b) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám
f(t),
vá
ton tai
f
(t)
Vt
> O khi dó:
^ [f'(t),s] =
sF(s)
-
f(0+0)
c) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa f(t) vá ton
tai dao hám cap r cüa hám f(t) Vt > O the thi;
^
ífit),
s]

=
a
.F(
)
f) Giá thiet
F(s,íx)
lá phép bién dói Laplaxd cüa hám
f(t,'-x)
trong dó
«
lá tham so khóng phu thuge váo t vá
s.
Thé thi:
^[lim f(t,'o(),s]
- lim
F(s,ü()
üt—*-a
ot—*-a
g) Giá thiét F{s) lá phép bién dói Laplaxd cua f(t), ta có
các
dáng
thúc sau:
+
S^^t
t f(t),s|=
F'(s)
+ oC
L^~^^
^ x(t)^Sj=
F (s)

sF(s) -
f(0+0)
+
Neu f(t) có giói han hai phía
hüu
han tai
tx,
t2

thi
Ífcf'(t),
3] =
iF(s)
-
f(0+0)-
i:exp(-tiS)
[
f(ti+0)-f(ti-0) j
V
2.3.2.
Phep
bién dói
T.FJPlaxd
hai chiéu:
i)
Dinh
nghia: Phép bién dói Laplaxd hai chiéu lá phép bién
dói
dat tUdng
ung

O khi t
^
0.
/?
c
a)
¿fs [f(t),s] - ^[f(t),s] ^
neu
f(t)=0
khi
tic.
5
- 12 -
CHÜQNG
II: CAC BAI TOAN BIEN CO NGHIEM KHONG TEON
Trong
chuong
náy trinh báy các bái
toan
bién có nghiém
khóng
"crdn
da
dugc
Mactruc [3] dua ra khi mó hinh hóa bái
toan
ó nhiem mói trudng gáy nén boi mgt nguon nhiem bán có
kích thuóc khóng lón so vói pham vi anh hUdng.
$1:
Bái

5"tx-Xo)
(1.1)
lim
íP(x)
- O
lim
(p(x) =
X (X > 0)
(1.2)
vói eáe giá thiét
"Pfx)
- giói ngi Vx
^
(-*»,
-*-'"),
'-x ,
B,
u ,
Q
lá các háng só da biét,
a
> O,
u""
(x-Xo)
- hám don vi,
¿T
(x-Xo)
-
Dirác
Nghiém giái tích cüa

2.
OC
•-y
4n"
-r
a.
3)
2.
j J
X < Xo
13
do
thi
nghiém
(1.3) có
dang
Hinh
4
Nhán
xe-fc:
tai x
=
Xo
nghiém
^(x)
gián doan leal
1, nén
khóng
có
dao hám

triing
binh.
Dinh
lv2:
Nghiém^
cua bái
toan
(1.1) vá (1.2) Búóc tim theo
phúóng pháp
phói hOp
Bao hám trung binh vá phép bién Bói
Laplaxó trung vói nghiém giái tich
(1.3).
Thát
váy, dat
^
(x) -
(p(x)
-
xu (x-xo)
(1.4)
Khi
dó
lim
tp
(x)
=
lim
^
(.x)

1.6)
Thé
(1,4),
(1.5)
,
(1.6) váo bái
toan
(1.1) (1.2) ta dUdc:
14
áH>
(x)
ex + Bí(>
(x)
~ |i
dx
2
^•
á
H>
(x)
dx
+ QS(x-xo)
(1.7)
lim
M>
(x)
=:
o
(1
-

dat (1.9),(1.10) váo (1.7) ta dudc:
2
m
cxs<í>
(s)+
Bíí?
(s)
= |i
s
^
(s) +
Qe
f
1
.1
X
)
•Qe
-=> ¥>
(s)
M
s
-ü( s
- B
Mau
so d vé phai eua (1.12) có các nghiém lá
(1.12)
si^
S2:
1 2

,
í
a exp
<
-
\
2
B
(X
+
-
VI
4^1
(X
2vi
1
J
.
,
X
í
Xo
(1.14)
b exp
< +
N
B
Oí
ot
H

4M
2u
X í
e dx
exp-
(X
•^
Vt
4vi 2vi
B
ex
a
~—
+ +
^
u 4vi 2vi
-s
-s
XoV
+
J
exp^
+s
B
Oí
— +
—
0(
si
VI

B
OC
4
VI
4vi
2p
exp
OC
a
si VI 4n 2vi
Xo
;
(Vi
s -
o( s
-B )
(1-15)
so sánh (1.15) vói
(1,12)
ta có:
[[
Vi
<
b
+
+ s
^i
VI
4vi 2vi
exp

Q
<
^ 4uB + «
exp
<
-
a
-i
Vi 4Vi
2
X<
Q
a
=
—
exp
^i4viB
+
a
2vi
(X
X.
vj
Vi
4vi
(1.17)
17
Thay (1.17) váo (1.14) ta
dUde:
j.

TÚ
(1.18)
vá (1.4) ta có nghiém cüa bái
toan
(1.1),
(1.2)
lá
Q
ot o;
4Bu+o!
— exp
-i u
4vi 2vt
X > Xo
(x-Xo)>+ X
(1.19)
'P(X)=:
r r
Q
exp
J4Bvi \, ^4Bvi-Hx
B tx
+
1
^
Vi 4vi
2vi
(Xo-x)
X < Xo
ta

vói
oác
gia thiet
oc,
B
, vi , Q
lá các
háng
so da biet.
'P(x)
van
giá thiet lá hám giói
nói-
5"(^->^o)
-
í)irác.
Nghiém giái tich
cüa
(2.1),
(2.2) có dang [3].
Q
exp
<
-
44Bvi+<x^
B
tx
—
+ —
(X-Xo)I

i) Do thi nghiém (2.3) cüa bái
toan
(2.1),
(2.2) lá
hám khóng trdn tai
x=xo.
Nén tai dó khóng ton
ta.i
dao hám
Gateaux, nhUng van có
ád-o
hám trung binh.
ii) Bái
toan
(2.1),
(2.2) lá
tnJÓng
hdP
dác
biét cüa
bái
toan
(1.1),
(1.2) khi
X =0
vá chinh lá bái
toan
(1.7),
(1.3).
Váy ta có ménh dé sau:

X-»-±iií
(3.2)
Vói các gia thiet B
, vi , Q
lá các hang so,
'P(x)
- giói nói
Nghiém cüa bái
toan
(3.1),
(3.2) có dang
[3]:
Q
r i
\
B
exp
(í>(x) =
2^7?
<
(x-Xo)
^
Vi
[ "1
Do thi nghiém (3.3) lá:
B
í
)
(Xo-x)
M

(3.2)
dUde
tim báng
phUdng pháp phói hdP vá nghiém giái tich (3.3) lá
"crüng
nhau.
Bái toán
(3.1),
(3.2)
duoc
xét khi mó tá sU
khuyech tan
vá
dieh chuyén eüa
thUc
thé vói van toe cüa khóng khi bang
khóng.
- 20 -
CHUONG
III.
CÁC
BÁI
TOÁN BIÉN CÓ
HÍ
SO KHONG TRON
Trong chUdng náy, dánh trinh báy các bal toán bién có
hé só khóng trdn da
duOc
các
tac

dx dx (1.1)
H>{0)
-
H>il)
-
O
(1-2)
Trong dó p(x), q(x), f(x) lá các hám
lien
tuc
túng
khúc tren
[0,1],
p(x)?po>0 ,
q(x)?0.
Ngoái ra giá thiét
p(x),
q(x),
*Í^(X)
ton
t^ii
các dao
hám trung binh vá giói nói.
Tren
[0,1],
xét hai hé diem
lUdi
fxic},
{xit-*-i/2}
k=0,1,

k=l,n-l}
có
dan^
O
X
?
[Xlc-l,
XlcH-l]
<Jlc(x)
=/ui(x)
xé
[Xlc-l,
Xlc]
(1.4)
itJ2(x)
X
e
[Xlc,
XltH-x]
Do thi cüa
uíic(x)
có dang (hinh 7):
O
\-l ^< '^tCfl
Hinh
7-
Do
thi hám
uit(x)
X

Xét
tich
vó
hüdng:
(f(x),
g(x)
=
f
(X)g(X)dx
(1.6)
Thé thi
(
O
1
Alt-1/2
6
1
t
k-2,
1
I \
1
=
k-1
(í*Jic(x)
,^i(x)
)
Ak l/2
V.
*^

'•^Jx(x)
Báy gid ta dUng
lUOe
dó sai phán cho bai toán
(1.1),
(1.2),
nhó hé hám cd só
{wiííx),
k
=
1,
n-1}
bíhán
vó huóng hai vé cüa (1.1) vói
i^iit(x)
ta dude:
d
d<í>(x)
— p(x)
+ q(x)*P(x)
dx dx
O
í-
u)it(x)
dx
=
f
(X)(*ilí:(x)dx
(1.8)
Hai lán tich phán

PIH-VÍ^IÍ:-!
:Air_i/2
Xk-t-1
[P'(X)U^ÍX)
- q
(x)u)k(x)]íP(x)dx
(1.9)
Xk-
Trong dó
^ ^ (í
- Khóng gian nghiém cua
(1.1),
(1.2)
Véc
td
F:=
(fi,f2,
,
fn-i)
vói các thánh phán:
fi
=
Ale
Xlt-t-1
Xk-1
f
(x)wk(x)dx
(1.10)
Sau khi
hOp

'P =
f
(1.13)
Trong dó
11 h
(A
íp
)k
=
Ak
Pk-Hl
K h
^k-^-i-íPk
2Ak-+-l/2
Pk-1
(Pk-íí^k-l
2Ak-l/2
'í>k
( f )k
=
— fk
fíXk)
(1.14)
- 24
De y ráng (1.13) lá hé
phiidng
tuyén tính, ma trán A lá ma
trán dói
xúng,
xác dinh

3: Vói búóc h Bu bé thi hé
(1-^3)
có nghiém duy nhát
vá nghiém cua
(l.Í3)
hói tu ve nghiém Búng
cúa
bái toán
(1.1),
(1.2) vói cap hói tu 1/2.
Chúng minh:
S^X
ton
tei
nghiém cua (1.13) suy tú tinh xác
dinh dUdng cua ma tran A. Gia sU (1.13) co nghiem
^>
. De
chúng minh
^
hói tu vé nghiém cüa
(1.1),
(1.2) ta chi can
chúng minh tinh xáp xi vá ón dinh eua
lUde
dó sai phán (1.13)
Ta có:
u
l-xi
I

q(x)(»ik(x)(P(x)dx
-
^^ Xk-l
Akqk
^k
{%
W
Ak
f Xk-t-1
f
(x)wk(x)dx
Xk-l
fkAk
25 -
De dáng dánh giá dUdo:
7-
h
1/2
F
$ Mh
h
3/2
F
^.
Nh
>i
3/2
F
<.
Kh

sU
ón dinh cüa
lUdc
do
(1.13).
Ta có:
H Vi
(V ,
F )
j
Vi
tT.
Vi
= I (¥>
, A
'í>
)
2 Ak íí>
k
k
=
1
Ak
PkH-
k-*-l
2Ak-t-l/2
(tP
k-Kl-¥>
k)
Pk-

m>
y^
-
^
k-i)
(*P
k
-'í>
k-i)
X
k=l 2Ak-l/2
li
h h
í^
Vi
n
n-1
<P
k-1
CP k
-
^
k-i)
n-1
íí> k('P
k-^1
-^
k)
+
X

X
Vi
Vi
k
¥> j
-
9
j-i
j-1
JAJ
-1/2
si
A-t
á-1/2
k
(íí> j
-
(í>
j-i
<
I
X
'^\
21 Aj_i/2
j =
l A
j-i/2
/ ^3-1
Vi
Vi

d-1/2
n-1
\
/n-1
(tp j
-
tp
j-i)
k=l
/
\j =
l
h h
n-1
((P
á
-*P
J-1)
j=l
A
J-1/2
Aj-l/2
2
Po
li
Vi
(^
,f )