74

Chương 3
KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA
TOÁN TỬ KIRCHHOFF – CARRIER
3.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc
dạng

),,,,,())((
2
0 txxxxtt
uuutxfuuBbu =+−,0 ),1,0( Ttx <<=Ω∈
(3.1.1)

,0),1(),0( == tutu
(3.1.2)

),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t

tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi như đã được trình bày trong phần mở
đầu. Đầu tiên, chúng tôi kết hợp bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với một dãy quy nạp
tuyến tính bò chận trong một không gian hàm thích hợp. Sự tồn tại nghiệm đòa
phương được chứng minh bằng phương pháp compact thông dụng. Trường hợp
,1
0
=
b
0≡B
và điều kiện biên Dirichlet thuần nhất thay bởi điều kiện biên hỗn
hợp thuần nhất, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả trong [9]. Tuy nhiên,
kết quả ở trong chương nầy cũng không dùng đến giả thiết
),),0[(
30
IRC
t
f
×∞×Ω∈
∂
∂
tức là không sử dụng đến điều kiện 75

).),0[(
31
IRCf ×∞×Ω∈
Nếu
),(

(3.1.2), (3.1.3) có một khai triển tiệm cận đến cấp hai theo
ε
khi
ε
đủ bé. Kết
quả của chương này đã được công bố trong [D1].
3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Chúng tôi thành lập các giả thiết sau

)(
1
H

,
~
,
~
1
01
21
00
HuHHu ∈∩∈)(
2
H

,0
0


)(
//
4
H

).),0[(,,,
30
IRC
u
f
u
f
u
f
x
f
tx
×∞×Ω∈
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

Cho
,0,0 >> TM

~~
/
0
/
011
2
sBBMKBMKK
Ms
≤≤
===
(3.2.4)
Với mỗi
0>M
và
,0>T
ta đặt

),(),;,0(:);,0({),(
21
0
21
0
Tttt
QLvHTLvHHTLvTMW ∈∈∩∈=
∞∞},,,
)();,0();,0(
21

×Ω=

Bây giờ ta sẽ xây dựng dãy quy nạp
}{
m
u
theo lược đồ như sau. Ta chọn số hạng
đầu
.
~
00
uu =
Giả sử rằng

).,(
11
TMWu
m
∈
−
(3.2.7)
Ta liên kết bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau:
Tìm
),(
1
TMWu
m
∈
thỏa mãn bài toán


∇=
(3.2.10)

)).(),(),(,,()(
111
tutututxftF
mmmm −−−
∇=
&
(3.2.11)
Khi đó ta có đònh lý sau:
Đònh lý 3.1. G
iả sử
)()(
41
HH
−
đúng
.
Khi đó tồn tại các hằng số dương
TM,
và
một dãy quy nạp tuyến tính
),(}{
1
TMWu
m
⊂
đònh nghóa bởi
(3.2.8) – (3.2.11).

∩∈
(3.2.12)
Đặt

,)()(
1
)()(
∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m
wtctu
(3.2.13)
trong đó
)(
)(
tc
k
mj
thỏa mãn hệ phương trình

,),(),())((),(
)(
0

uuuu ==
&
(3.2.15)
với

, trong
~~
21
000
HHuu
k
∩→
mạnh, (3.2.16)

, trong
~~
1
11
Huu
k
→
mạnh. (3.2.17)
Ta giả sử rằng
1
−
m
u
thỏa mãn (3.2.7). Khi đó hệ (3.2.14), (3.2.15) có duy nhất
nghiệm
)(

)(
)(
tc
k
mj
&
sau đó lấy tổng theo
j
ta có

.)(),()())((
2
1
)(
2
1
)(
2
)(
0
2
)(
〉〈=∇++ tutFtu
dt
d
tBbtu
dt
d
k
mm

)(
2
1
)(
2
)(
0
2
)(
〉∇〈∇=
Δ++∇
tutF
tu
dt
d
tBbtu
dt
d
k
mm
k
mm
k
m
&
&
(3.2.19)
Đặt

,)()()()(

k
m
∇++=
&
(3.2.21)

.)())(()()(
2
)(
0
2
)()(
tutBbtutq
k
mm
k
m
k
m
Δ++∇=
&
(3.2.22)
Tích phân (3.2.18), (3.2.19) theo
,
t
ta suy ra rằng 78


m
t
k
mm
t
k
mm
t
k
m
k
mm
k
m
k
m
k
m
dssu
dssusFdssusF
dssususBqptS
&&
&&
(3.2.23)
Tiếp theo ta sẽ đánh giá các tích phân ở vế phải của (3.2.23).
•
Tích phân thứ nhất
:

.)(

K
dssususB
(3.2.24)
•
Tích phân thứ hai
:
Từ (3.2.1) và (3.2.7) ta có

.)(2
)()(2)(),(2
0
)(
0
0
)(
0
)(
∫
∫∫
≤
≤〉〈
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm

+≤
∇∇≤〉∇〈∇
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dssqMK
dssusFdssusF
&&
(3.2.27)
•
Tích phân thứ tư
:
Phương trình (3.2.14) có thể viết lại như sau

,),(),())((),(
)(
0
)(
〉〈=〉Δ〈+−〉〈
jmj
k
mmj
k
m

k
mm
k
m
&&&&&&
+Δ+≤

Ta thu được sau khi lấy tích phân t

.)(2)())((2)(
0
2
0
2
)(2
0
0
2
)(
∫∫∫
+Δ+≤
t
m
t
k
mm
t
k
m
dssFdssusBbdssu

21
∫
+++≤
t
(k)
m
(k)
m
(k)
m
(k)
m
dssSTMCTMCqp(t)S
(3.2.31)
với

),31(43),(
22
1
2
01
MTKTKTMC ++=
(3.2.32)

.
~
)
~
(21)(
0

2
1
2
1
)()(
kkk
kk
k
m
k
m
uuuBb
uuqp
Δ+∇∇++
∇+=+
(3.2.34)
Dựa vào (3.2.7), (3.2.10), (3.2.16), (3.2.17) và (3.2.34) ta suy ra tồn tại một hằng
số
,0>M
độc lập với
k
và
,m
sao cho

,
2
)0()0(
2
)()(

T

sao cho 80 ,)),(
2
(
2
1
2
2
MeTMC
M
TC
≤+
(3.2.37)
và

.1)
~
(2)
1
1(
]
~
)

k
m
t
k
m
MTC
k
m
≤≤≤+≤
∫
−
(3.2.39)
Sử dụng bổ đề Gronwall ta suy ra từ (3.2.39)

,0 ,)(
2
)()(
2)(
22
TtMeeMtS
tMCMTC
k
m
≤≤≤≤
−
(3.2.40)
nghóa là
.
)(k
m

k
m
∩→
∞
yếu*, (3.2.42)

),;,0( trong
1
0
)(
HTLuu
m
k
m
∞
→
&&
yếu*, (3.2.43)

),( trong
2)(
Tm
k
m
QLuu
&&&&
→
yếu, (3.2.44)

).,( TMWu

Giả sử
)()(
41
HH −
được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số
,0
>
M
0>
T
thỏa
(3.2.35), (3.2.37), (3.2.38)
sao cho bài toán
(3.1.1) – (3.1.3)
có
duy nhất nghiệm yếu
),(
1
TMWu
∈
.
81 Mặt khác, dãy quy nạp
}{
m

∞∞
&&
với mọi
.m

(3.2.47)
với
T
k
xác đònh bởi
(3.2.38)
và
C
là hằng số chỉ phụ thuộc vào
10
,, uuT
và
.
T
k

Chứng minh.
a/ Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết ta để ý rằng
)(
1
TW
là không gian Banach với chuẩn (xem [19]).

.

⎩
⎪
⎨
⎧
==
∈〉−〈=
〉Δ〈−−〉∇〈∇++〉〈
+
++
.0)0()0(
,,),()(
),())()((),())((),(
1
01
110
mm
mm
mmmmmm
vv
HwwtFtF
wtutBtBwtvtBbwtv
&
&&
mọi với
(3.2.49)
Thay
m
vw
&
=

mmm
dssvsFsF
dssvsvsBsB
dssvsBtp
&
&
(3.2.50)
ở đây

.)())(()()(
2
10
2
tvtBbtvtp
mmmm
∇++=
+
&
(3.2.51)
Mặt khác, từ (3.2.2), (3.2.4), (3.2.7) ta rút ra

,
~
2)(
2
1
/
MKtB
m
≤

)()(
~
4
)(
~
2)()(
0
111
0
1
2
1
0
2
2
1
2
0
2
∫
∫
∫
−−
−
+∇+
∇+
∇≤∇+
t
mmm
t

t
mm
t
m
dssvbsv
b
MK
dssvMKi
&
(3.2.56)
,))()((
~
2
~
2)()(
~
4)(
0
2
0
2
2
1
2
)(
1
2
1
0
1

)(
1
∫
∫
∇++
≤+∇
−−−
t
mm
m
t
mmm
dssvbsvK
vTKdssvtvsvKiii
TW
&
&&
(3.2.58)
Từ (3.2.55) – (3.2.58) ta được

.))()((])
1
1(
~
[2
)
~
(2)()(
0
2

p dụng bổ đề Gronwall ta có

,)
~
(2)()(
])
1
1(
~
[2
2
)(
11
2
1
2
0
2
1
0
2
1
1
K
b
MKt
TW
mmm
evKMKTtvbtv
++