BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THÚY

ỨNG DỤNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:  TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015
1 


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới 
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền 
thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác 
giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ tác giả 
vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày 
tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy 
 
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường  ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp 
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. 
 

 
 

 
Nguyễn Thị Thúy

2 


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự 
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. 
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà 
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn. 
 
Hà Nội, 15 tháng 6  năm 2015 
                                                 
 
 

Tác giả 
 
 
 
 
Nguyễn Thị Thúy

3 



3.2. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3……….….       91 

Kết luận.………………………………………………………………………………   100 
Tài liệu tham khảo.…………………………………………………………….…   101 
 

4 


Mở đầu
 

1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên 

việc  ứng  dụng  của  nó  trong  khoa  học  và  trong  thực  tiễn  ngày  càng  sâu  rộng. 
Phương  trình  sai  phân  là  một  lĩnh  vực  được  nhiều  nhà  khoa  học  quan  tâm, 
nghiên  cứu.  Các  kết  quả  nghiên  cứu  của  phương  trình  sai  phân  được  áp  dụng 
trong một  số  lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ 
động lực rời rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông.  
Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng 
dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ 
thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi 
của tôi được tốt hơn.  
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên 
cứu đề tài:  
‘Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân giải một số bài toán ở
trường phổ thông’
Do điều  kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề 
không thể được như mong muốn. 

6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn 
còn bao gồm 3 chương. 
CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân. 
CHƯƠNG II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông. 
Chương  III.  Ứng dụng của phương trình sai phân giải một  số  bài toán ở 
phổ thông. 
 

7. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình 

sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông. 
Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học 
sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh. 

6 


CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình
sai phân.
1.1 Dãy số
1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì
a) Dãy số 
Một hàm số  x  xác định trên tập các số tự nhiên   được gọi là dãy số. Đối với 
dãy số người ta thường viết  xn thay cho kiểu viết thông thường của hàm số  
x(n), n    

b) Một số dãy cơ bản 
Dãy số tự nhiên ký hiệu là    có dạng      0, 1, 2, ..., n, ...    

......
n

 n f ( x)     n 1 f ( x)    Cnk f ( x  hk ).(1) k 1 là sai phân cấp n
k 0

của hàm số y  f ( x)
Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu xn  xn 1  xn là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm
số x ( n)  xn với n  * hoặc n   hoặc n         
Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1
của xn , và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp
k  1 của hàm số đó.

Như vậy,  
Sai phân cấp 2 của hàm  xn  là:  2 xn  (xn )  xn 1  xn  
                                                

 xn      2 –  xn     1 –    xn     1 –  xn 
 xn  2 –  2 xn 1   xn

            

Sai phân cấp 3 của hàm  xn  là:  3 xn  ( 2 xn )   2 xn 1   2 xn  
                              

                                    

  xn    3 –  2 xn      2   xn     1 –   ( xn      2   2 xn   1   xn )
 xn    3­   3xn    2   3xn     1 –  xn



                     

 k xn   (1)i .Cki .xn  k i ,    
i 0

Ta chứng minh   a   đúng với  k  1 , tức là 
k

k

 k     1 xn    k xn   1   k xn   (1)i Cki xn  1    k   –  i –  (1)i Cki xn     k   – i   
i 0

i 0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số  i  là  i  1 , sau đó thay  i  bằng  i , ta được 
k

k |1

k 1
i

i 1

 (1) x

n  k   –  i


i 1

k

  (1)i (Cki  Cki 1 ) xn   k     1  –  i  +x n  k 1 +(­1) k 1  xn
i 1

k 1

   (1)i (Cki 1 ) xn   k     1  – i  +  xn   k     1  +  1

k     1

xn

  

i 1

k 1

  (1)iCki 1 xn   k     1  –  i  +x n k 1 +(­1) k 1  xn
i 1

k 1

  (1)iCki 1 xn   k     1  –  i  
i 0

Vậy   a   đúng với  k  1  

k

i 1

k

 a xn   b yn

Tính chất 3. Sai phân của đa thức bậc  n  là đa thức bậc  n  1 ,  
                      tức là  degP  x   n  thì  deg P  x   n  1
Chứng minh
Giả sử  degP  x   n  ta có  P  x   an x n  an1 x n1  ......  a1 x  a0 (an  0)  
Khi đó  
P  x   P( x  h)  P ( x)
 an ( x  h) n  an1 ( x  h) n 1  ......  a1 ( x  h)  a0  (an x n  an 1 x n 1  ......  a1 x  a0 )
 an (( x  h) n  x n )  an 1 (( x  h) n 1  x n 1 )  ......  a1h
n

 an   Cnk x n k h k  x n   an 1 (( x  h) n 1  x n1 )  ......  a1h
 k 0

n

 an  Cnk x n k h k  an1 (( x  h) n 1  x n 1 )  ......  a1h
k 1

 
Vì  Ch1an h  0  nên  deg P  x   n  1
Tổng quát. Sai phân cấp  k  của đa thức bậc  m  là: 
1. Đa thức bậc  m  k , nếu  k  m  


1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân 
1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1.1. Định nghĩa
a) Định nghĩa 1
Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính
giữa các giá trị của hàm xn tại các thời điểm khác nhau:
Lh xn  a0 xn  k  a1 xn  k 1  ....  ak xk  f n                                           (1.1) 

Trong đó
+ Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác động lên hàm xn , xác định trên lưới có
bước lưới h .
+ a0 , a1 ,....., ak (a0  0, ak  0) là các hằng số hoặc các hàm số của n , được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân.
+ f n là một hàm số của n được gọi là vế phải.
+ xn là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
 

Phương trình (1.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc  k , vì để 

tính được tất cả các giá trị  xn , ta phải cho trước  k  giá trị liên tiếp của  xn  theo 
công thức truy hồi. 
b) Định nghĩa 2
 Nếu f n  0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất.

11 


 Nếu f n  0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không


12 


xn của (1.2) có dạng x n  c1 xn1  c2 xn 2  ....  ck xnk , trong đó c1 , c2 , ....., ck là các

hằng số tùy ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của  Lh  ta có 
k

k

i

i

Lh x n  Lh  ci xni   ci Lh xni 0 . ( Vì giả thiết  xn1 , xn 2 , ..., xnk  là nghiệm của  1.2   

Vậy  x n  c1 xn1  c2 xn 2  ....  ck xnk  là nghiệm của  1.2   
Giả sử  x0 , x1 ,..., xk 1  là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng có thể xác 
định duy nhất các hằng số  c1 , c2 , ...., ck để  x 0  x0 , x 1  x1 , ......, x k 1  xk 1 . Điều đó 
có nghĩa là hệ  
c1 x01  c2 x02  ................  ck x0 k  x0
c x  c x  ................  c x  x
 1 11 2 12
k 1k
1
  

........................................................


1.2   và nghiệm  x  của   1.1  phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của  1.3
*
n

13 


TH1: Nếu (1.3) có  k  nghiệm thực khác nhau là  1 , 2 , ...., k  thì nghiệm tổng 
n

quát  x n  của (1.2) có dạng  x n  c11n  c22n  .....  ck kn   ci in  trong đó 
i 1

ci ( i  1, ..., k )   là các hằng số tùy ý. 
Chứng minh:
k
Ta có  Lh x n   c i Lh in  0  vì  Lh in  in (a0 k  a1 k 1  .....  a k )  0 .  
i 1

Theo (2.3)Ta lại có  
1
1 ...... 1
1
2 ...... k
      
...... ..... ...... ....






i

 

i  j 1

trong đó   i ,  ij   là các hằng số tùy ý. 
TH3: Nếu (1.3) có nghiệm phức  i  a  bi  r (cos  isin )  trong đó  
b
r  i  a 2  b 2 ,  acgumen , (tan   ) , thì (1.3) cũng có nghiệm liên hợp 
a
phức   j  a  bi  r (cos  isin ) . Khi đó ta có 
n

 jn  r n (cosn  i sin n ),  j  r n (cosn  i sin n )  là các nghiệm của (1.2).  
Ta lấy  
n
1
x1nj  ( jn   j )  r n cosn
2
  
n
1 n
2
n
xnj  ( j   j )  r sinn
2i
Làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Khi đó theo định lí 2 ta được  

k
x n   Ci in  r n [( A1  A2 n  ....  As n s 1 )cosn  ( B1  B2 n  ....  Bs n s 1 )sinn ]  
i  j 1

trong đó  Ci , A1 , A2 , ..., As , B1 , B2 , ..., Bs  là các hằng số tùy ý. 
b) Nghiệm riêng xn*
Để tìm nghiệm riêng  xn*  của phương trình tuyến tính không thuần nhất  
Lh xn  a0 xn  k  a1 xn  k 1  ....  ak xk  f n  

Ta có thể xét các trường hợp đặc biệt có thể tìm nghiệm riêng  xn*
TH1: f n là đa thức bậc  m  của  n ;  f n  Pm (n), m     
+ Nếu các nghiệm  1 , 2 , ...., k  là các nghiệm khác  1  của phương trình đặc 
trưng, thì 
  xn*  Qm (n), m  .
Qm (n) là đa thức cùng bậc  m  với  f n . 

+ Nếu các nghiệm    bội  s  thì  
xn*  n sQm (n), m    

TH2: f n  Pm (n). n , m  N , trong đó  Pm (n) là đa thức bậc  m  của  n  
+ Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực khác     
thì  xn* có dạng
                                    xn*  Qm (n). n           ( Qm (n)  cùng bậc với  f n ) 
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm      bội  s  thì  
                                   xn*  n s  n .Qm (n).  ( Qm (n) là đa thức của  n  cùng bậc với  f n ) 
TH3: f n   cos nx   sin nx,( ,  ) là các hằng số. Trong trường hợp này 
nghiệm riêng có dạng 
  xn*  A cos nx  B sin nx.   
15 


còn  xn*  là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không 
thuần nhất. 
c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)
16 


+ Nếu  f n  là đa thức bậc  m  của  n :  f n  Pm (n), m   : 
           1)    1 thì  xn*  tìm được dưới dạng đa thức cùng bậc  a, b, q .  
                            xn*  Qm (n) ,  Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
           2)    1  thì  
                           xn*  nQm (n) ,  Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
+ Nếu  f n   n (  0,   0)  thì tìm  xn*  dưới dạng 
  

  1)  xn*  c n ,  nếu       

 

  2)  xn*  cn n ,  nếu      

Mở rộng
Nếu  f n  Pm (n)  n (   0)  thì tìm  xn*  dưới dạng 
       1)  xn*  Qm (n)  n , nếu     , ( Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
       2)  xn*  Qm (n)n n , nếu     , ( Qm (n)  là đa thức bậc  m  của  n . 
Nếu  f n   cos nx   sin nx, ( 2   2  0, x  k , k  Z ) . Tìm  xn*  dưới dạng   
xn*  A cos nx  B sin nx.   

Nếu  f n  f n1  f n 2  ...  f ns ,  trong trường hợp này nghiệm riêng  xnk* ứng với 

Lấy tổng hai vế theo  k  từ  0  đến  n  1 , ta được 
 

Cn   Co ­ 

1 n 1 f k
   
b k 0  k

1 n1 f 

Vậy                          xn*  CO   kk  . n  
b k 0  


1.3.1.4. Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai
a) Định nghĩa. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng
axn  2   bxn 1   cxn   f n , a  0,  c  0

hay

xn  2     pxn 1   qxn   f n   ,

(1.5)

q  0,

+ f n là một hàm của n , gọi là vế phải.
+ xn là ẩn.
+ Nếu a,  b,  c,  p,  q là các hằng số thì (1.5) gọi là phương trình sai phân

TH2: Nếu (1.7) có nghiệm thực kép  1  2    thì 
x n  ( A  Bn) n   trong đó  A,  B  là các hằng số bất kỳ.  

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức        x  iy  r (cos +sin )  thì 
x n  r n ( A cos n  B sin n )  

           (với   i 2 =  1, r    x 2  y 2 ,   arctg

y
 )   
x

Chứng minh:
TH1: Do

1

1

1 2

 2  1  0 ,  nên   1n  và  2n  là 2 nghiệm độc lập tuyến tính  

của (1.6)   nên   x n  A1n  B2n  
TH2:  1  2    là số thực, nên  un   n là một nghiệm của (1.6). Ta tìm 
nghiệm thứ hai của (1.6) là  vn  dưới dạng:  vn   yn  n . Thay  vn  vào (1.6), ta 
được 
 

                               a. yn  2 n  2  byn 1 n 1  cyn  n   0  


Nên ta được  
                           

 
yn  2 2 –  2 yn 1 2   yn  2   0
 yn  2   yn   2 yn 1

  

 vậy  yn  là cấp số cộng tuỳ ý. Để đơn giản, ta lấy  yn  n (n  )  và được 
vn  nn  

   Vì  
 

vn
 n  cont   nên  un , vn  độc lập tuyến tính và 
un

 

x n  ( A  Bn) n     (với  A,  B  là các hằng số tuỳ ý) 

TH3: Nếu (1.7) có nghiệm phức     r (cos +sin )  thì   n   sẽ là nghiệm (1.6).  
  Ta có       n  r n (cos +sin  ) n   
Theo công thức Moivre ta được    n  r n (cosn +sin n ) .
Nếu   n  là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng là nghiệm, nên ta được 2  
nghiệm   un  cos , vn  sin  .  
v


 A  1 
  
                  
 B    1  
Vậy phương trình có nghiệm  x n  1  (9)n  
Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân 
 xn  2   8 xn 1 –  16 xn
 
  
x

 1,
 
x

 16.
 0
1

 
Lời giải:

 Ta có phương trình đặc trưng   2  8  16  0 có ngiệm kép    4                                    
Do đó                           x n   (A    Bn) 4n   
Với giả thiết ban đầu đễ dàng tìm được  A  1, B  3  
Vậy phương trình có nghiệm  x n  (1  3n).4n  
Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân 
 xn  2   xn 1   xn


  isin
2
3
3
3
3

 x n  Acos

n
n
  Bsin
                                                              
3
3

 x0   1    A,
A 1

  

           
Theo giả thiết ta có    

1 1
3
B

0
x


+ Nếu (1.7) có nghiệm đơn    1 , thì  xn  nQk (n)   
+ Nếu (1.7) có nghiệm kép    1 , thì  xn  n 2Qk (n)  
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng  xn  của phương trình sai phân 
 

xn  2     4 xn 1   5 xn   12n     8   

Lời giải:  
Phương trình đặc trưng   2  4  5  0 có nghiệm    1  và    5 . 
 Do vậy   

xn   n    an     b  .   

Thay vào phương trình sai phân, ta được  

 n  2   a  n  2    b   4  n  1  a  n  1  b  – 5n  an+ b   2n   8  
Cho  n  1  ta có  b   5    a  b   4  2a – 3b  2  
Cho  n  0  ta có   2  2a  b   4  a  b   8  4a  3b  4  
2a – 3b  2
Giải hệ  
 ta đựơc  a  1,  b  0  
4
a

3
b

4


n
2

thay  xn  vào phương trình sai phân, ta được  
2
2
2  a  n     2  + b  n     2   c   5[a  n     1 b  n  1  c  +2  an 2  bn  c 

  

2

   n –  2n     3

Đồng nhất hệ thức ta được  a  1,  b  c  0  
Vậy                 xn   n 2  và  xn  x n  xn*  A.22   B

1
 n2  
n
2

1
Với   xo  1   A +B,  x1  3   2 A   B  1  A  1,  B  0   
2

Vậy   xn   22   n 2.   
TH2:   f n   pk (n)  n ,  trong đó  pk (n)  là đa thức bậc  k  của  n . 
+ Nếu phương trình đặc trưng (1.7) không có nghiệm       thì tìm  
 

tìm  xn  dưới dạng 

 

 

xn   Tk (n)cos  n     Rk (n) sin n   

     ( trong đó  Tk (n)  và  RK  n   là các đa thức bậc  k  của  n ) 
Nếu     cos  isin  là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm  xn  dưới 
dạng 

 

                                       xn  nTk (n)cos n  nRk (n) sin n    
    ( trong đó  Tk (n)  và  Rk (n)  là các đa thức bậc  k  của  n ) 
Ví dụ 1.  Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân 
                               xn  2

 3n 1  2 xn   n – 2  cos

n
n
 3  n  1 sin .                                
2
2

Lời giải:  
Phương trình đặc trưng   2    3   2    0   có nghiệm    1  và    2 , nên 
xn   an  b  cos

An  2un 2  Bn  2vn  2  pn ( An 1un1  Bn1vn 1 )  qn ( Anun  Bn vn ) (*)   

Ta có 
An  2un 2  pn An 1un 1  qn Anun  un 2 ( An  2  An 1 )  un  2 An 1  pn An 1un 1  qn . Anun
 un  2 A  An 1 ( pnun 1  qnun )  pn An 1un 1  qn . Anun  
 un  2 An 1  qnun An

( vì  un  2  pnun 1  qnun  theo giả thiết  un  là nghiệm của (1.9) 
Theo công thức sai phân của tích 
anbn  bn 1an  an bn    

ta có  (un 1An )  un 2  2 An  un1An   
và  
un  2 An1  qnun An  un  2 (An 1  An )  un 2 An  qnun An
 un 2  2 An  un  2 An  qnun An
  (un 1An1 )  un 1An  un  2 An  qnun An

  

  (un 1An1 )  An (un 2  un 1 )  qnun An

tương tự đố với  vn  ta có  
Bn  2 vn 2  pn Bn 1vn 1  qn Bn vn   (vn 1Bn 1 )  vn1Bn  qn vn Bn  

Thay vào (*) ta có 
 (un 1An )  (vn1Bn )  (un 1An  vn 1Bn )  qnun An  qn vn Bn  f n   

hay   (un 1An )  vn 1Bn )  (un 1An  vn 1Bn )  qn (un An  vn Bn )  f n  
un 1An  vn 1Bn  0
Suy ra  