MỤC LỤC
1
LỜI NÓI ĐẦU
Ta đã được biết nhiều về hình học xạ ảnh. Về mặt tập hợp, không gian xạ
ảnh là tập tất cả các đường thẳng của không gian affine cùng đi qua một điểm
và một tập hợp như vậy được gọi là bó đường thẳng. Vậy không gian tất cả
các mặt phẳng cùng đi qua một điểm; hay tổng quát hơn là tập tất cả các p-
phẳng (p
≥
2) của không gian affine cùng đi qua một điểm là không gian gì?
Không gian tổng quát này chính là không gian Grassmann hay đa tạp
Grassmann. Đa tạp Grassmann này có các tính chất gì liên quan đến hình học
nói chung, hình học đại số nói riêng?
Với mong muốn hiểu biết tốt hơn vấn đề vừa nêu nên dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài:
“ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ”
Luận văn được chia làm hai chương
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên
quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của
một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên
quan
CHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT
HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạp
Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính chất
hình học đại số của nó. Đây là một trong những nội dung chính của đề tài.
Nhiều kết quả của chương này là đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo,
2
nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách

văn
tốt
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn sự quan các bạn cùng khóa học, gia đình đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Chân thành cảm
ơn!
Đồng Tháp, ngày 31 tháng 08 năm 2013
Tác giả
Huỳnh Đình Bảo Huy
4
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan
chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của một
nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan.
1.1 ĐA TẠP KHẢ VI
Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa,
ví dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết.
1.1.1 Định nghĩa
• Giả sử
M
là
2
T
không gian. Nếu
U
mở trong
M

p x x x
ϕ
=
. Khi đó
( )
1 2
, , ,
n
x x x

được gọi là tọa độ của p đối với
( , )U
ϕ
và
( , )U
ϕ
được gọi là hệ tọa độ địa
phương
• Giả sử
1 1
( , )U
ϕ
và
2 2
( , )U
ϕ
là 2 bản đồ của
M
sao cho
1 2

−
= → =o
,
1 1 1
2 1 1 2
( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − −
=o o
và
1
2 1
ϕ ϕ
−
o
được gọi là công thức đổi tọa độ từ
1 1
( , )U
ϕ
sang
2 2
( , )U
ϕ
đối với các điểm
Wp ∈
. Ta quy ước là nếu
1 2
U U∩ = ∅
thì
1 1

:U U
ϕ
→
;
(
)
2
1 ;y y y− a
Khi đó
1 1
( , )U
ϕ
là một bản đồ của
1
S
Chứng minh:
*
1
ϕ
là song ánh
Giả sử
(
)
2
1 ;A a a−
và
(
)
2
1

X y
ϕ
=
. Vậy
1
ϕ
là
toàn ánh
*
1
ϕ
là liên tục: điều này hiển nhiên vì
1
ϕ
là phép chiếu.
*
1
1
ϕ
−
là liên tục
Ta có
1 *
1 1
:U U
ϕ
−
→
1
S
.
Ví dụ 2: Trong
2
¡
ta lấy
( )
{ }
1 2 2
; / 1M S x y x y
= = + =
Đặt
( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
2 2
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ > = − ∈ − = −
6
và
*
2 2 2
:U U
ϕ
→

2 2
;U
ϕ
là bản đồ của
1
S
+ Ta chứng minh
( )
1 1
;U
ϕ
và
( )
2 2
;U
ϕ
là phù hợp.
Thật vậy
( )
{ }
1
1 2
W ; / 0, 0U U x y S x y= ∩ = ∈ > >

( )
1 1
W (W) 0;1
ϕ
= =
,

−

1
f
−
là hàm số khả vi vì
( )
1
: (0;1) 0;1f
−
→

2
1x x
−
a
Vậy
( )
1 1
;U
ϕ
và
( )
2 2
;U
ϕ
là phù hợp
1.1.2 Định nghĩa
7
• Giả sử Giả sử

i i
U
ϕ
và
( )
;
j j
U
ϕ
là phù hợp, với mọi
i j≠
thì ta nói
A
là một Atlat của
M
• Hai Atlat
( )
{ }
( )
{ }
; , ;
i i j j
i I
j J
A U B V
ϕ ϕ
∈
∈
= =
được gọi là phù hợp nếu

được gọi là một cấu trúc khả vi trên
M
• Một
2
T
- không gian
M
có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n-
chiều.
Nhận xét:
• Atlat cực đại
A
gọi là cấu trúc khả vi thì
1
i j
ϕ ϕ
−
o
là vi phôi với mọi i, j
• Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một Atlat với số bản đồ
ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó.
Ví dụ 1: Lấy
( )
{ }
1 2 2
; / 1M S x y x y
= = + =
. Ta đã chứng minh được
( )
1 1

2
1 ;yy y
− −
a

( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
4 4
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ < = − − ∈ − = −
và
*
4 4 4
:U U
ϕ
→

(
)
2
; 1x x x
− −
a
Tương tự, ta cũng chứng minh được
( )

Bây giờ giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là
( )
{ }
;
i i
i I
A U
ϕ
∈
=
và N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là
( )
{ }
;
j j
j J
B V
ϕ
∈
=
.
Ký hiệu
i j
: ( ) ( )
n m
i j i i j j
f U V U V
ϕ ϕ
+
× → × ⊂

2
n
Mat(n n, R) R
× ≡
.
Xét ánh xạ
det : Mat(n n, R) R
× →

ign
ij
S
1i 2i ni
1 2 n
n
A = x detA = (-1) x x x
s
σ
σ
∈
 
→
 
∑
Ở đây phần tử (hay là biến)
ti
t
x
, t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t,
cột i

1 1
det ( ,0) det (0, ) GL(n,R)
− −
−∞ ∪ +∞ =
suy ra
GL(n,R)
là mở trong
2
n
R
.
Do đó
GL(n,R)
, đa tạp khả vi n
2
- chiều.
10
1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ
KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO
1.2.1 Định nghĩa tác động của một nhóm trên một tập hợp
Cho G là nhóm và E là tập hợp. Ta nói một phép toán trái của G trên E
hoặc nói nhóm G tác động trái trên tập hợp E nếu có ánh xạ từ G
×
E vào E;
(s, x)
a
s. x thỏa mãn 2 điều kiện sau:
• e . x = x với mọi x trong E
• (s.t).x = s.(t.x) với mọi t,s trong G và mọi x trong E
Từ định nghĩa ta suy ra s

G G S G x
ϕ
→ →
Ở đây
x
/G S
là lớp ghép trái
.
x
s S
theo nhóm con
x
S
; p là phép chiếu chính tắc
( p: s
a
s. S
x
) và
ϕ
là song ánh (
ϕ
: s. S
x

a
s.x )
11
G tác động trung thành trong E nếu
{ }

A E⊂
, tập
{ } { }
. . ; . ;G A G a a A s a s G va a A= ∈ ≡ ∈ ∈
gọi là cái bảo
hòa của A đối với G. Ký hiệu
: /E E G
π
→
là phép chiếu chính tắc, thì
1
. ( ( ))G A A
π π
−
=
và G.A = A khi và chỉ khi
.G A A⊂
.
Tập hợp thương E/G gọi là không gian các quỹ đạo.
Bây giờ giả sử G là nhóm topo và E là không gian topo. Ta nói
G tác động liên tục trên E nếu ánh xạ
( , ) s.xs x a
liên tục.
1.2.3 Ví dụ không gian quỹ đạo
Nếu H là nhóm con của nhóm G, thế thì với các phép toán ( s, x)
a
s.x và (s,x)
a
s.x.s
-1

E ( s
n

∈
A, x
n

∈
B). Theo giả thiết, tồn tại dãy con
k
n
s
∈
A
hội tụ về a
∈
A. Vì
1
( . )
k k k k
n n n n
X S S X B
−
= ∈
. Suy ra dãy
k
n
X
hội tụ
về a

liên tục.
Chứng minh:
• Là do định nghĩa topo trên E/G.
• Giả sử V mở trong E, ta cần chứng minh cái bảo hòa của V trong E là
G.V =
1
( ( ))A
π π
−
là mở trong E vì G.V =
s G
∈
∪
s.V, mà V mở trong E nên
s.V mở trong E, do đó G.V mở trong E.
• Kết luận (iii) là tính chất của topo thương.
Với x
∈
E, nếu V chạy khắp hệ cơ sở lân cận của x thì
( )V
π
lập nên hệ cơ
sở lân cận của điểm
(x)
π

∈
E/G.
1.2.4.4 Mệnh đề
Cho

U
U
V. Thế thì với mọi x
∈
E, tập
.U G xI
và
.V G xI
là hai tập mở rời nhau
có hợp bằng G.x, do đó một trong hai tập là rỗng, nghĩa là U và V là các tập
bảo hòa. Nhưng khi đó
( )U
π
và
(V)
π
là những tập mở rời nhau có hợp bằng
E/G, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy E liên thông.
1.2.5 Định nghĩa phân thớ chính
Giả sử nhóm G tác động tự do ( hay không có điểm bất động) trên tập
E. Thế thì
x E∀ ∈
ánh xạ chính tắc
.s s xa
từ
.xG G→
là song ánh
1.2.5.1 Định lý
Cho nhóm Lie G tác động tự do, khả vi trên đa tạp X (nghĩa là ánh
xạ tác động là ánh xạ khả vi). Giả sử đa tạp quỹ đạo X/G tồn tại, nghĩa là tồn

u U
∈
và ánh xạ
: ( , ) . ( )u s s u
ϕ σ
→
là một vi phôi của
U G×
lên
1
(U)
π
−
.
15
• Giả sử
{ }
( , ) X X. s G; x s.yx yℜ = ∈ × ∃ ∈ =
, tức R là đồ thị của tác động và
mọi
( , )x y R∈
, T(x,y) là phần tử duy nhất của G sao cho y = T(x,y).x . Khi đó
T là phép ngập từ
ℜ
và G
Chứng minh:
• Vì
π
là một phép ngập nên suy ra mọi điểm trong X/G tồn tại lân cận U
và

trong
( )
( )
u
T X
σ
. Hơn nữa
1
: ( )U G U
ϕ π
−
× →
cho bởi
( , ) . (u)u s s
σ
→
là song ánh nên chỉ cần chứng minh
ϕ

là phép ngập. Điều này được suy ra từ kết quả sau:
Bổ đề: Cho nhóm Lie tác động khả vi trên đa tạp khả vi X sao
cho đa tạp X/G tồn tại. Ký hiệu
: X /X G
π
→
. Nếu tồn tại
: /X G X
σ
→
lớp

( )T
σ
đơn ánh). Bây giờ chứng tỏ
ϕ
là phép ngập tại điểm có dạng
( )
0
,u e
.
Đặt
0 0
( )x u
σ
=
, vậy
1
0
( )u
π
−
là quỹ đạo G.x
0
. Khi đó ánh xạ chính tắc
0
G G.x→
là một phép ngập của G lên đa tạp con
1
0
( )u
π


1
0
( , . )u s s
−
(2)
1
0
. . ( )s s u
σ
−
x

( , )u t

. ( )t u
σ
Ở đây (3) là một vi phôi và (2) là một phép ngập tại
( )
0
,u e
. Vậy
ϕ
là phép
ngập tại
( )
0 0
,su
. Kết luận (a) của định lý được chứng minh.
• Ta giả thiết tồn tại nhát cắt lớp

a
lên
ℜ
, cũng là
C
∞
ánh xạ ; hơn nữa mọi
x X∈
, thu hẹp
của T lên
{ }
( . )x G x× ⊂ ℜ
là một vi phôi đa tạp con này lên G. Vậy T là phép
ngập từ
ℜ
vào G.
1.2.5.2 Định nghĩa:
Nếu các điều kiện ở định lý 1.2.5.1 thỏa mãn, ta nói rằng bộ ba
( , / , )X X G
π
là một phân thớ chính với nhóm cấu trúc G. Các thớ là các quỹ
đạo, chúng vi phôi với G. Trong trường hợp này để ký hiệu G – phân thớ
chính, ta dùng sơ đồ:
G X

π
X/G
Ví dụ: cho H là nhóm Lie con của nhóm Lie G, H tác động tự nhiên trên G
bởi
/H G G→

π

'
π
B=X/G v X’/G’=B’ ;
( . ) u(x). (s)u x s
ρ
=
. Do đó tồn tại
C
∞
ánh xạ
: 'v B B
→
để sơ đồ trên giao
hoán. Ta thấy nếu
ρ
là đẳng cấu nhóm Lie và v là vi phôi thì (u,v) là đẳng
cấu phân thớ, khi đó cặp
( )
,u
ρ
gọi là đẳng cấu phân thớ chính.
1.2.5.4 Phân thớ chính tầm thường:
Cho G tác động trên đa tạp
B G
×
bởi
( )
( )

a
. Với tác
động này:
18
• Đa tạp quĩ đạo tồn tại, ký hiệu là
G
X F×
• Mỗi quĩ đạo
G
Z X F∈ ×
, ký hiệu
(Z)
F
π
là phần tử của B bằng
(X)
π

với mọi
( , )x y Z∈
. Hơn nữa
( , , )
G
F
B F B
π
×
là một phân thớ có thớ vi phôi với
F. Nói cách khác, nếu U mở trong B sao cho
1

F
U
π
−
khả tầm thường
Chứng minh:
• Giả sử
'ℜ
là đồ thị của tác động nói trong mệnh đề;
( )
2 2
' X X F F X Fℜ ⊂ × × × ≡ ×
thì
'ℜ
đồng nhất với tập
( , , ( ), )r y T y y
trong
F Fℜ× ×
, tức là đồ thị của ánh xạ
( , ) ( )r y T ra
. y từ
Fℜ×
vào
F
, nên nó là đa
tạp con đóng của
F F
ℜ× ×
vậy cũng là đa tạp con đóng của
2 2

.
Ngoài ra f là
C
∞
ánh xạ nên tồn tại
:
G
g X F B F× → ×
lớp
C
∞
sao cho
( , ) ( , )x y g x y=
. Ta kiểm được g là ánh xạ ngược của
( , ) ( ).b y b y
σ
a
. Từ đây ta
nhận được (ii)
1.2.6.2 Định nghĩa

G
X F×
gọi là không gian phân thớ với thớ loại F ứng với X và tác
động của G lên F
1.2.6.3 Định lý
19
Cho G – phân thớ chính
( , , )X B
π

ℜ = ℜ
nên
'
ℜ
là đa tạp con đóng vì T ngập. Từ
đây ta được
( , / , )X X H
π
là H – phân thớ .
Tiếp theo, để ý là G tác động khả vi bên trái trên G/H, nên định nghĩa
được phân thớ
( / )
G
X G H
×
tương ứng, với nền X/G. Ký hiệu:
0
: ( / ) /
G
X G H X G
π
× →
là phép chiếu . Ta xây dựng vi phôi
: ( / ) /
G
X G H X H
π
× →
sao cho sơ đồ sau giao hoán:


p,n
là tập tất cả các bộ phận gồm p vectơ độc lập tuyến tính
trong không gian vectơ n chiều R
n
. Mỗi bộ thế này còn gọi là một p- mục
tiêu. V
p,n
được gọi là đa tạp Stiefel các p – mục tiêu trong R
n
. Ta sẽ đồng
nhất mỗi p-mục tiêu như vậy với một ma trận X cấp p
×
n có
hạng bằng p (rankX = p).
21
2.2 Mệnh đề: V
p, n
= { X
∈
R
pxn
, rank X = p} là tập mở Zariski trong R
pxn
.
Chứng minh: Từ định nghĩa ta thấy, X
∉
V
p,n
khi và chỉ khi mọi định thức
con cấp p của X đều triệt tiêu. Mỗi ma trận X, có tất cả

. Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh
P
n-1
. Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệm
không gian xạ ảnh.
2.4. Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann
Trong mục này ta sẽ trình bày các cách xây sựng đa tạp Grassmann.
22
2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GL(p,R) tất cả các
ma trận thực, cấp p
×
p không suy biến trên V
p, n
cho bởi :
( , ) XT X Ta
,
( , )T GL p R
∈
,
X
∈
V
p, n
(nhân ma trận T với bên trái ma trận X). Tác động
này là giải tích và tự do, nghĩa là ánh xạ
, ,
: ( , )
p n p n
GL p R V V
ϕ

i2
, , t
ip
, x
j1
,
x
j2
…., x
jp
). Nên phép nhân hai ma trận là ánh xạ giải tích, nghĩa là tác động
trên là giải tích.
Không gian quỹ đạo của tác động này, ký hiệu bởi
, ,
/ ( , )
p n p n
G V GL p R
=
.
2.4.2 Mệnh đề: Mỗi quỹ đạo của tác động này được đồng nhất với một p-
phẳng trong không gian afin R
n
, nên không gian quỹ đạp
, ,
/ ( , )
p n p n
G V GL p R
=
cũng sẽ được gọi là đa tạp Grassmann.
23

δ
 
 
 
 
 
 
≡ ∈
 
 
 
 
 
 
 
M
Ở đây, mỗi X
i
là một vecto hàng thứ I, gồm n tọa độ của ma trận X.
2.4.4 Mệnh đề : NV
p, n
là tập đóng đại số Zariski trong không gian vecto R
p x n
gồm tất cả các ma trận chữ nhật cấp p
×
n.
Chứng minh. Vì
24

1

Nhưng mỗi điều kiện (1) và (2) đều cho bởi các đa thức nhiều biến, nên NV
p, n
là tập đóng đại số Zariski.
2.4.5 Mệnh đề: NV
p, n
là tập compact trong R
p x n
.
Chứng minh. Điều kiện (1) trong Mệnh đề 2.4.4 trên nói lên rằng mỗi X là
một phần tử của tích Đềcác p mặt cầu đơn vị trong không gian R
n – 1
. Cho nên
NV
p, n
là tập bị chặn và do đó theo Mệnh đề trên, NV
p, n
đóng nên nó compact.
Xét tác động của nhóm trực giao O(p,R) trên NV
p, n
cho bởi:

( , ) XT X Ta
,
( , )T O p R
∈
,
Nghĩa là ta có thể xem giống như thu hẹp tác động của GL(p, R) trên V
p, n
.
Từ đây ta có không gai quỹ đạo NV