TRUNG TAM GIA Sệ ẹặNH CAO CHAT LệễẽNG
SẹT: 0978421673-TP HUE
HM S
LY THA
-HM S
M V
HM S
LOGARIT
Chng II-GT 12
Hueỏ, 2012
* Phõn lo
i v phng phỏp gii bi tp
* Cỏc bi t
p
c sp xp t c bn n
nõng cao
* H
t
h
ng bi tp phong phỳ v
a dng
* Cỏc bi toỏn luyn thi i hc
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
1
M
9
DẠNG 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 10
D
ẠNG 3: So sánh các số
10
D
ẠNG 4: Làm quen với giải phương trình, bất phương trình lũy thừa
11
BÀI 3. LÔGARIT 12
D
ẠNG 1: Tính toán về logarit
15
D
ẠNG 2: So sánh
hai s
ố logarit
17
D
ẠNG 3: Tìm( Giải ph
ương trình)
18
D
ẠNG 4: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
19
BÀI 4: HÀM S
Ố MŨ
– HÀM S
Ố LOGARIT
20
D
BÀI T
ẬP PH
ƯƠNG TRÌNH LOGARIT
46
BÀI 6. B
ẤT PH
ƯƠNG TRÌNH MŨ
– LOGARIT 52
BÀI T
ẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
54
BÀI T
ẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
56
H
Ệ PHƯƠNG TRINHG MŨ VÀ LÔGARIT
60
Đ
Ề THI ĐẠI HỌC
CÁC NĂM G
ẦN ĐÂY 2009
-2011 69
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
2
thì
0
1
1;
n
n
a a
a
Trong bi
ểu thức
m
a
, a đư
ợc gọi là
cơ s
ố
, s
ố nguyên m là
s
ố mũ
Chú ý:
n
b a
không có ngh
ĩa.
2. Tính ch
ất của lũy thừa:
Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
a b m
Chú ý:
Khi xét lu
ỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
Khi xét lu
ỹ thừa với số mũ không
nguyên thì c
ơ s
ố a phải dương.
3. Đ
ịnh nghĩa và tính chất của căn thức
Căn b
ậc
n c
ủa
a là s
ố
b sao cho
n
b a
.
V
ới
a, b
0, m, n
N*, p, q
Z ta có:
m
n mn
a a
( 0)
n m
p q
p q
Neáu thì a a a
n m
; Đ
ặc biệt
mn
m
n
a a
N
ếu
n là s
ố nguyên dương lẻ và
a < b thì
n n
a b
.
N
ếu
n là s
ố nguyên dương chẵn và
0 < a < b thì
n n
ức lãi kép
G
ọi
A là s
ố tiền gửi,
r là lãi su
ất mỗi kì,
N là s
ố kì.
S
ố tiền thu được (cả
v
ốn lẫn lãi) là:
(1 )
N
C A r
PHÂN LO
ẠI VÀ PH
ƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:
D
ẠNG 1: Tính lũy thừa với số mũ nguyên
Baøi 1. Th
ực hiện các phép tính sau:
a)
3 2
3
7 2 7
1 . . 7 .
8 7 14
d)
3 3
6
4
2
3
125 . 16 . 2
25 5
D
Bài 2. Rút g
ọn biểu thức sau:
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
4
ực hiện các phép
tính:
a)
2
3
3
2
4 8A
b)
2
3
5
2
32B
h)
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
4 10 25 2 5H
Baøi 2. Đơn gi
ản các biểu thức sau:
a)
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
c)
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
. .a b a a b b
d)
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
. .a b a b a b
Baøi 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a)
4
2
3
, 0x x x
b)
5
3
, , 0
b a
a b
0 3
3 2 2
2 .2 5 .5 0,01 .10
10 :10 0,25 10 0,01
A
b)
4
3
5
4
3
4. 64. 2
32
B
c)
5 5 5
2
3
5
b)
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2 2 1
.
1
2 1
a a a
a
a a a
Bài 3. Đơn gi
ản các biểu thức sau:
a)
3 3
6 6
a b
a b
d)
3 3
2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
3
6
6 6
2
a x ax a x
a x a ax x
x
a x
e)
3
4 4
3 3
4 4
1 1
1 1
x x x
x x
x x
g)
3 3
2 2
1
6 6 6
3 3 3 3
2 2 2 2
3
.
2
a b ab a b
a b a
a ab b a b
D
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. So sánh hai s
ố
m, n n
ếu:
a)
3,2 3,2
m n
b)
2 2
m n
c)
1 1
9 9
m n
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
6
3 1
2 1 2 1a a
c)
0,2
2
1
a
a
d)
1 1
3 2
1 1a a
e)
3
2
4
2 2a a
f)
2 2
1 2 :
b b
A a b
a a
không ph
ụ thuộc vào giá
tr
ị của b.
Hư
ớng dẫn:
1
A
a
Bài 2. Cho
2
2 1 1 2
3
không ph
ụ thuộc vào giá
tr
ị của a và b.
Hư
ớng dẫn:
1C
Bài 4. Cho r
ằng
1 1 1
1
x y z
và
3 3 3
ax by cz
a) Hãy xác
định
2 2 2
A ax by cz
b) Ch
ứng minh rằng
3
3 3 3
A B a b c
Tập xác
định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của
- V
ới
nguyên dương th
ì tập x
ác đ
ịnh là R
- V
ới
nguyên âm ho
ặc bằng 0, tập xác định là
\ 0
- V
ới
không nguyên thì t
ập xác định là
0;
II. Đ
ạo hàm của hàm số lũy thừa:
1 1
' . ' .; . 'x x u u u
ập khảo sát:
0;
2. S
ự biến thiên:
1
' 0, 0y x x
Gi
ới hạn đặc biệt:
0
lim 0; lim
x
x
y y
Ti
ệm cận: Không có
1. T
ập khảo sát:
0;
2. S
ự biến thiên:
1
' 0, 0y x x
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
8
3. B
ảng
bi
ến thiên:
x
0
'y
+
y
0
4. Đ
ồ thị: Hình (với
0
)
3. B
ảng biến thiên:
x
0
'y
-
y
0
4. Đ
Phương pháp: Ta c
ần nắm các tính chất sau:
Cho hàm s
ố
,y u u u x
T
ập xác định của hàm số lũy thừa phụ t
hu
ộc vào giá trị của
- V
ới
nguyên dương th
ì tập xác định là R
- V
ới
nguyên âm ho
ặc bằng 0 thì hàm xác định
0u x
- V
ới
không nguyên thì hàm xác
định
có đ
ạo hàm khi
( ) 0u x
, nên khi tính đ
ạo hàm
2
4 7y x x
thì ta có th
ể viết
1
2 2
2
4 7 4 7y x x x x
Nhưng n
ếu đề bài yêu cầu tìm tập xác định của
2
4 7y x x
thì
y
xác
đ
ịnh khi và chỉ khi
2
4 7 0x x
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm t
ập xác định của hàm số sau:
3
5 1
2 2
4
8 3
) ' ;
2 4 3 1
1
) ' 2 5 2 2 ; ) ' 5 4 2 2 4
4
x
a y
x x
b y x x x c y x x x
Bài 3. Tính đ
ạo hàm của các hàm số sau:
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
10
a)
2
cot 1y x
f)
3
3
1 2
1 2
x
y
x
g)
3
3
sin
4
x
y
h)
11
5
9
9 6y x
i)
2
4
ẽ đồ thị
trên cùng m
ột hệ trục tọa độ:
1
4
4
vaøy x y x
Bài 3. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
4
3
) ; )a y x b y x
Bài 4.
a) Hãy v
ẽ đồ th
ị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa
độ
5 5
vaøy x y x
b) Từ câu a, hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
5
5
vaøy x y x
b)
2 6
vaø
4 4
c)
2 3 3 2
5 vaø 5
d)
300 200
5 vaø 8
e)
0,3
3
0,001 vaø 100
f)
2
2
4 vaø 0,125
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
l)
2 2
3 2
vaø
5 2
m)
5 10
2 3
vaø
2 2
D
ẠNG 4: Làm q
uen v
ới giải phương trình, bất phương trình lũy thừa
Bài 1. Gi
ải các ph
ương tr
ình sau:
a)
5
4 1024
2
5 6
3
1
2
x x
Bài 2. Gi
ải các phương trình sau:
a)
2 8
1 0,25
.32
0,125
8
x
x
b)
1
5 2 8
2 5 125
f)
2 8 27
.
9 27 64
x x
Bài 3. Gi
ải các phương trình sau:
a)
2
2 2 20
x x
b)
1
3 3 12
x x
c)
1
5 5 30
x x
d)
1 1
ương trình sau:
a)
0,1 100
x
b)
3
1
0,04
5
x
c)
100
0,3
9
x
d)
2
7 . 49 343
x
e)
2
1 1
9
64
x
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
12
BÀI 3. LÔGARIT
I.Khái ni
ệm logarit
1. Đ
ịnh nghĩa:
Cho 2 s
ố a, b dương với a khác 1. Số
th
ỏa mãn đẳnng thức
a b
đư
ợc gọi là
logarit cơ s
b)
e)
log ( 1) 2
3
x
f)
log 4
3
2 4x
g)
log ) 4(2
1
2
x
h)
log 1
3 4
1
5
2
x
k)
log 5) 0(4
2
a b
a
a
Ví d
ụ 2:
Tính
a)
log 3
2
4
b)
log 4
3
3
c)
log 3
2
2
d)
2
log 4
e)
3
1
log
1
1
log 3
log 2
6 8
9 4
II.Quy t
ắc tính logarit
:
1. Logarit c
ủa một tích
: a > 0; b
1
> 0; b
2
> 0, a
1
log . log log
1 2 1 2
6 b b b b
a a a
Logarit c
ủa một tích bằng tổng các logarit
Ví d
ụ 3:
Tính:
a)
2
> 0, a
1
2
1
log log log
1 2
7
b
b b
a a a
b
Logarit c
ủa một th
ương bằng hiệu các logarit
log log ,
1
8 0 1, 0b
a a
a b
b
14
e)
log 10 log 7 log 14
5 5 5
.
3. Logarit c
ủa một lũy thừa
: a > 0; b> 0, a
1
log log9 b b
a a
Logarit c
ủa một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số
log log
1
10
n
b
a a
b
n
Ví d
Cho a > 0; b > 0. c>0, a
1
, c
1
log
log
log
11
b
c
b
a
a
c
log
log
1
12 b
a
a
b
b
1
1
log log13 b b
ố 10
log
10
b
thư
ờng viết là
logb hay lgb
2. Logarit t
ự nhiên:
là logarit cơ s
ố e
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
15
log b
e
thư
ờng viết là
lnb
Chú ý:
log
log
log
b
b
ị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10
2)
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
3)
1 3 2
4
log (log 4.log 3)
Bài 2: Tính.
1)
20 20
log(2 3) log(2 3)
2)
3log( 2 1) log(5 2 7)
3)
1
ln lne
e
log 8
f)
9 8
log 2 log 27
27 4
g)
3 4
1/3
7
1
log .log
log
a a
a
a a
a
h)
3 8 6
log 6.log 9.log 2
i)
3 81
2log 2 4log 5
9
k)
3 9 9
log 5 log 36 4 log 7
81 27 3
l)
5 7
3
6
log 3.log 36
q)
0 0 0
lg(tan1 ) lg(tan2 ) lg(tan89 )
r)
8 4 2 2 3 4
log log (log 16) .log log (log 64)
Bài 4: Lôgarit theo cơ s
ố 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu
các lôgarit.
1)
2
3
5
3
a b
2)
0,2
10
6
5
a
b
1 log 5
2
5
4 2
16 42
3)
1
log 4
log 9 log 6
7 7
5
2
72 49 5
Bài 6. Tính giá tr
ị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
2
log 14 a
. Tính
49
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5
15
3) log
5
12 4) log
5
30
Bài 8:
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
17
1) Bi
ết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
5
theo a và b
D
ẠNG 2: So sánh hai số logarit
PHƯƠNG PHÁP:
Khi
1a
thì
log log
a a
b c b c
Khi
0 1a
thì
log log
a a
b c b c
Khi
1a
thì
log 0 1
a
b b
Khi
0 1a
thì
log 0 1
a
b b
e)
13 17
log 150 log 290vaø
f)
6
6
1
log
log 3
2
2 vaø 3
g)
7 11
log 10 log 13vaø
h)
2 3
log 3 log 4vaø
i)
9 10
log 10 log 11vaø
HD: d) Ch
ứng minh:
1 1
3 2
1 1
log 4 log
80
15 2
> 0
Bài 2. So sánh các s
ố sau:
5 10 5 2
4 5
1 2 2 3
4 7 3 2
3
0,5 0,3 3 3
12 5 1
)log vaø log ; )log 2vaø log
5 12 6
2 1 1 27
)log vaø log ; )log vaø log
7 4 3 7
29
) log 9 vaø log 0,34 )log 6vaø log
5
a b
c d
d f
D
ẠNG 3: Tìm
x
( Gi
ải ph
x
3)
3
log (2. 2) 6
x
Bài 3. Tìm x bi
ết:
3
6 6 6 6
5 5 1
5
5
1 3
3 3
9
4 2
1 1 9 3
3
3
1
)log 2log 3 log 5 3log 2
2
1
)log 2log 3 log 27 3log 2
3
1
)log 2log 3 log 625 2log 7
2
ab b a
b
n n n
a b b n
n n n
Bài 2. Ch
ứng minh nếu
2 2
7 , 0, 0a b ab a b
thì
1
lg lg lg
3 2
a b
a b
Bài 3. Chứng minh
2 2
2
1
sinx cos sin x cos
2
)2 2 2 ; )2 2 2 2
x x
n
n n
k
n k n n
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
20
BÀI 4: HÀM S
Ố MŨ
– HÀM S
Ố LOGARIT
I. Hàm s
ố mũ:
1. Đ
ịnh nghĩa:
Cho
0, 1a a
Hàm s
a
u u
u a
a a
a a
Ví d
ụ:
Tính đ
ạo hàm các hàm sau:
2 2
2
4
2
1) 2) cos2 .
3) 3 4)
2
x x x
x
x x
x
y e y x e
e
y y
BBT
X
- +
y’
+
BBT
x
- +
y’
-
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
21
Y
+
0
y
+
0
f(x)=2^x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
ố logarit
cơ s
ố a
2. Đ
ạo h
àm c
ủa số logarit
:
1
log '
.ln
log '
.ln
'
x
a
x a
a
u a
u
u
1
ln '
1
3. Kh
ảo sát hàm số logarit
Chuyên đ
ề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GV: Trần
Đình C
ư. Nh
ận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao
. SĐT: 01234332133
22
log , 1y x a
a
log ,0 1y x a
a
T
ập xác định D =
0;
1
' 0, 0
.ln
y x
x a
Hàm s
ố đồng biến trên D
1
' 0, 0
x
0 +
y’
+
y
+
-
BBT
x
0 +
y’
-
y
+
-
4
2
-2
-4
-10
-5
5
10
4
2
-2
-4
-10
-5
5
( )
0 ( ) 1
log ( ) xaùc ñònh
( ) >0
u x
u x
v x
v x
( )xaùc ñònh
( )
xaùc ñònh
( )
( ) 0
u x
u x
v x
v x
BÀI T
ẬP:
Bài 1: Tìm t
ập xác
đ
ịnh của các hàm số sau.
1) y =
1
x
x
e
e
2) y =
2 1
1
x
e
3) y = ln
2 1
1
x
x
log 9 . 2y x x x
Bài 3. Tìm t
ập xác định của hàm số
:
2
7
2
log
1
x x
y
x
Bài 4. Tìm t
ập xác định của hàm số
:
1
7
log 3 9
x
y
x
D
ẠNG 2: Tính đạo hàm và giới hạn
PHƯƠNG PHÁP : Khi tính đ
ạo hàm ta cần nắm một số chú ý sau
:
Các tính ch
ất cơ
b
ản của đạo hàm và một số công thức đạo hàm lớp
11,
ở
đây ta ch
ỉ trình bày tính chất
1)
( ( ) ( ))' '( ) '( )f x g x f x g x
2)
( ( ))' '( )kf x kf x
3)
( ( ) ( ))' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x
4)
2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( )'
( )
( ( ))
f x f x g x f x g x
g x
g x
'
( )'
u
ln u
u
'
( )'
.
a
u
log u
u lna
Khi tính giới hạn ta ccaanfaps dụng các kết quả sau :
0
0 0 0
0
( )
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0
ln 1
1 sin
lim 0;lim 1;lim 1
Neáu ( ) thoûa ( ) 0, vaø lim ( ) 0 thì
ln 1 ( )
1 sin ( )
lim 0; lim 1; lim 1
Copyright: Tài liệu đại học ©