MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -1-

Naêm hoïc: 2009 – 2010

(a )
Ỵ Ì
¡ £

o
z 0 bi bi
= + =
được gọi là số ảo
o
0 0 0i
= +
vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z =
a + bi
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z' a ' b'i
= +
với
a,b,a ',b'
Ỵ
¡

a a'
z z'
b b'
=
ì

o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b
)
Ỵ
¡

4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z' a ' b'i
= +
với
a,b,a ',b'
Ỵ
¡

(
)
(
)
z.z' aa' bb' ab' a 'b i
= - + +

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
= -

o '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
o z là số thực zz =Û ; z là số ảo zz -=Û
6. Môđun của số phức z = a + bi

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -3-

o Thương của z’ chia cho z (z
0)
¹
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
-

o Với z .'
'
,0 wzzw

; b.
3 3
z ( 1 i) (2i)
= - + - ; c.
( )
2
z 1 i
1 i
= + +
-

Giải.
a.
z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i
= + - + = + - = -

Phần thực a = 14; Phần ảo b =
7
-
; môđun
z 7 5
=
b.
3 3
z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i
= - + - = + - - = +
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun
z 2 26
=
c.

2
– (1 – i)
2

f.
(
)
(
)
+ - -
2 2
3 i 3 i

g. (2 + i)
3
– (3 – i)
3

h.
+ - -
+ - -
2 3
3 2
(1 2i) (1 i)
(3 2i) (2 i)

i.
( )
2
4 5

3
iii +

m.
- -
-
+
3 2
1
i i
i i

n.
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3

o.
+ +
+
- -
3 2i 1 i
1 i 3 2i


ai
bia +

i. (2 – i)
4

j.
i
2
3
2
1
1
-

n. (2 + 3i)
2

o. (2 – 3i)
3

p.
i
i
+
+
1
24

q.


k.
i
i
i
6
3
45
34
+
+
+-
l.
(
)
(
)
i
ii
+
-
+
2
21
32

m. (3 – 2i)(2 – 3i)

r.
(3 4i)(1 2i)

(1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2
é ù
+ = + = = = = - = -
ë û

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.
a.
2 3 2009
1
i i i i
+ + + + +
b.
100
(1 )
i-

c.
2008 2008
(1 ) (1 )
+ + -
i i

Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết
2x yi 3 2i x yi 2 4i
+ - + = - + +

Giải.
2x 3 x 2 x 4
2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i

z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i
+ = - - Û + + = + - - Û + + = - + -

2 2 2 2
x (y 1) (x 2) (y 3)
x 2y 3 0
Û + + = - + - Û + - =

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
x 2y 3 0
+ - =

b.
2 2 2 2
z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1
+ £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ Û + + £

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -5-

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn
2 2
(x 3) y 1
+ + £

2
=- zz
f. 0
2
=+ zz
g. 2
z i z
+ = -

h. z = 1
i. z = iz 43+-
j. 10)_2( =- iz và '.zz = 25
k. z
£
1
l. z =1 và phần ảo của z =1
m.
(
)
243 = iz

n. 1
4
=
÷
ø
ư
ç
è
ỉ

o
z 0
=
có một căn bậc hai là 0
o
z a
=
là số thực dương có 2 căn bậc 2 là
a
±
o
z a
=
là số thực âm có 2 căn bậc hai là
a .i
±
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
2 2
2
x y a
w z
2xy b
ì
- =
= Û
í
=
ỵ
(a, b, x, y
)

2A
- ± D
=
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -6-

o 0
=
D
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = -
3. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước,
A 0
¹
).
Tính
2
B 4AC

; b.
3 4i
-
(NC)
Giải.
a. Hai căn bậc hai của
4
-
là
4 .i 2i
± - = ±

b. Gọi
w x yi
= +
là căn bậc hai của
3 4i
-
, ta có:
2
2 2 4 2
2 2
2
x 2
x 1 ( ) x 2
x y 3 x 3x 4 0
y 1
x y 3
x 2
x 4

=
ê
ë
ë
Û Û Û Û Û
í í í í í
ê
= -
= -
= - = -
ì
ỵ
ï ï ï ï
ê
= -
ỵ ỵ
í
= -
ï ï
=
ỵ
ê
ỵ
ỵ
ë
loại

Vậy
3 4i
-

a.
(3 2i)z 4 5i 7 3i
- + + = -
; b.
z
2 3i 5 2i
4 3i
+ - = -
-

Giải.
a.
3 8i 25 18
(3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i
3 2i 13 13
-
- + + = - Û - = - Û = = -
-

b.
z z
2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i
4 3i 4 3i
+ - = - Û = + Û = + - = -
- -

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
i


b. 2iz + 1 – i = 0
c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i
d. ( iz –1 )( z + 3i )(
z
– 2 + 3i) =
0
e. ( 2 i)
z
– 4 = 0
f.
(
)
4 5i z 2 i
- = +

g.
( ) ( )
2
3 2i z i 3i
- + =

s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
i.
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i


Giải.
a.
2
7z 3z 2 0
+ + =

2
b 4ac 47 0
D = - = - <

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- + D
- +
= = = - +
2
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- - D
- -
= = = - -
b.
2

a. 01.3
2
=+- xx
b. 02.32.23
2
=+- xx
c.
2
3 2 0
x x
- + =

d.
2
3 2 0
+ + =
x x

e.
2
1 0
+ + =
x x

f. z
4
–8 = 0
g. x
3
– 1 = 0

2
+ 7 = 0
r. x
2
– 3x + 3 = 0
s. x
2
–5x +7=0

t. x
2
–4x + 11 = 0
u. z
2
– 3z + 11 = 0
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -8-

2. Giải phương trình sau trên trường số phức
a. z
4
– 5z
2
– 6 = 0

z
2
+ z + 1 = 0
h. z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0
i.
4 3 7
2
z i
z i
z i
- -
= -
-

j.
3 2
1 1 1
0
2 2 2
z z z
+ + - =


D ¹
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b 3 4i 1 2i
x 2 3i
2a 2
- + d + + +
= = = +

2
b 3 4i (1 2i)
x 1 i
2a 2
- - d + - +
= = = +

b.
2
z 2iz 2i 1 0
- + - =

2 2
' b' ac 2i (1 i) 0
D = - = - = - ¹

Gọi
'
d
là một căn bậc hai của
'

+ i)(z
2
– 2iz - 1) = 0
c.
(
)
2
1 2 0
+ + - - =
x i x i

d. 2z
2
– iz + 1 = 0
e. z
2
+ (-2 + i)z – 2i = 0
f. z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g. z
2
+ ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
h.
(
)
2
2 8 14 23 0
x i x i
- + + - =

8 1 63 16 0
- - + - =
z i z i

n.
(
)
4 2
24 1 308 144 0
- - + - =
z i z i

o. ( 1 – i)x
2
– 2x – (11 + 3i) = 0
p. ( 1 + i)x
2
– 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -9-

i.
(
)

+-=+
=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21

c.
2 2
1 2
1 2
5 2
4
ì
+ = +
í
+ = -
ỵ
z z i
z z i

d.
2 2
4 0
2

¡
o
2 2
r a b
= +
là môđun của z
o
j
là một acgumen của z thỏa
a
cos
r
b
sin
r
ì
j =
ï
ï
í
ï
j =
ï
ỵ

2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z =
r(cos
isin ) , z' r'(cos ' isin ')
j + j = j + j
thì :

2 2
r i
j j
+ và
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
j j j j
p p
- + = + + +
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a.
z 2 2i
= -
; b.
z 1 3.i
= - -
Giải.
a.
z 2 2i
= -

o Mô đun
2 2
r a b 2 2
= + =
MATHVN.COM
–


é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

b.
z 1 3.i
= - -
o Mô đun
2 2
r a b 2
= + =

o Gọi
j
là một acgumen của z ta có
1
cos
2
2
3
3
sin
2
ì
j = -
ï

cos
p
p
i-
e.
8
cos.
8
sin
p
p
i
f. )1)(3.1( ii +-
g.
1 3
1
-
+
i
i

2. Thực hiện phép tính
a. 5 )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6

2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+

3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a. 31 i-
b. 1 + i
c. )1)(31( ii +-
d.
i
i
+
-
1
31

e. )3.(.2 ii -
f.

a.
(
)
6
10
(1 i) 3 i
- +

( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 cos isin 32 0 i 32i
4 4 2 2
é ù
ỉ p p ư é p p ù
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
- = - + - = - + - = - = -
ê ú
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷
ê ú
è ø è ø è ø è ø
è ø ë û
ë û

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com

9
(1 i)
3 i
+
+

( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 . cos isin 32 i 32i
4 4 2 2
é p p ù p p
ỉ ư ỉ ư
+ = + = + = =
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

( )
9
9
9
3 3
3 i 2 cos isin 2 cos isin 512i
6 6 2 2
é p p ù p p
ỉ ư ỉ ư
+ = + = + = -

ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
i
i

d.
12
2
3
2
1
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ i
e.
2010
i 1
i
+

p p

h.
280
3
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+-
+
i
i

i.
(
)
25
1 i+
j.
(
)
( )
49
50
3
1

z 2 cos isin
3 3
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

Hai căn bậc hai của z là
1
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2
ỉ ư
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + - = - = - = -
ç ÷
ç ÷ ç ÷
ê ú
ç ÷
è ø è ø
ë û
è ø
và
2
1 3 1 3 2 6

ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com
www.mathvn.com -12-

Hai căn bậc hai của z là
4
1
7 7
w 2 cos isin
24 24
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û
và

4 4

+ i
i

g. i3411+-
h.
( )
i-1
2
2

i.
4
sin
4
cos
p
p
i-
j.
3
sin
3
cos
p
p
i-
k.
4 6 5
i
+