Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt

1
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh
()
xAy =

()
0xA ≥

tgxy
=

π+
π
≠ k
2
x

()
()
xBlogy
xA
=

()
()

x
x
e
a
y

)0a(x >∀

()
n2
xAy =

()
()
+
∈
≥
Zn
0xA

⎢
⎣
⎡
=
xarccos
xarcsin
y

1x1
≤

)
xB
xAy =
(
)
0xA >
(
)(
() ()
⎢
⎣
⎡
±
=
xgxf
xgxf
y

)

gf
DDD ∩=

II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT
()
()
bxf
axf
2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT:

()
[]
()
()()
2222
2
dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT *
đònh. xác xA làm xa, aaxA *
++≤+≥+
∀∀≥+III. HÀM HP g
o
f

[]
() ()
[]
()
{}
()
(){}
⎢
⎣
⎡

chẵnf:Dx xfxf
∈∀±≠−⇒
⎥
⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh
0
0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x
0
), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử
số và mẫu số trong
()
()
xg
x
f
lim
0
xx→
với các chú ý:
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x
0
). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer.
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.


đó) t
ư
ï th
ư
ù theo 0 (dạng xgxflim
0x
∞
×
→

2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh
∞
∞

•
PP
1
: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh.
•
PP
2
: Dùng các đònh lý giới hạn tương đương:
()
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛


Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là:
1/ Sử dụng lượng liên hợp.
2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận:
()
x
a2
b
xa~cbxax
2
ε++++ trong đó: a > 0 và
()
0xlim
x
=ε
∞→
3/ Sử dụng các hằng đẳng thức.
4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng.
4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác
• TH
1
: Khi (x tính bằng radian)
0x →

()
()
()
() ()
()
(

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác.

()()
(
)
(
)
llh llh
1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu+←⎯→− + ←⎯→−

• TH
2
: Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian)
0
xx →
* Đặt:
⎩
⎨
⎧
→⇒→
+=
⇔−=
0txx
txx
xxt
0
0
0
* Khi:
0't,xx'txx

0
xx
xxxx
0x

6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối:
(
)
(
)
() ()
00
00
xx xx
xx xx
lim f x L lim f x L
lim f x 0 lim f x 0
→→
→→
⎧
=
⇒=
⎪
⎨
=
⇒=
⎪
⎩

7. Hàm liên tục: *

(
)
(
)
() ( )
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
−+
→
→
→→
trái tục liên :xfxflim
phảitụcliên:x
f
x
f
lim
xfxflimxflim
0
xx
0
xx
0

1cosx 1
lim
2
x0
2
x
=
→
=
→
=
→
=
→
=
→
−
=
→

x
lim a
x
x
lim a 0
x
x
lim e
x
a1

→+∞
=
→−∞
+
=
→+∞
<
<
=+∞
→−∞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

lim log x

>
=−∞
+
→
+
=
→+∞
−
=
+
→
=−∞
→+∞
<
<
=+∞
−
→
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

xx
f
lim
x
y
limx'f
00
xxxx
0
00
Δ
−Δ
+
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ

hay:
()
() ( )
()
(
)
(
)
()
() ( )
⎢

xx
0
xx
xfxf
limx'f trái ĐH
xx
xfxf
limx'f phảiĐH
xx
xfxf
limx'f
0
0
0
0
0

⇒ f có đạo hàm tại x
0
⇔
(
)
(
)
−+
=
00
x'fx'f
. Nếu
(

∈=
→
(2)
B
3
: So sánh (1) và (2); nếu
() ( )
bx
f
x
f
lim
0
xx
0
==
→
, hàm f liên tục tại x = x
0
.
() ( )
() ( )
() () ( )
00
xxxx
00
xx
00
xx
x tại tục liên f thì xfxflimxflim

2
: f là hàm sơ cấp xác đònh tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
(2) PP
3
: ⇒ f liên tục tại x
0ylim
0x
=Δ
→Δ
0
.
(3) PP
4
: f khả đạo hàm tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các đònh nghóa:
ĐN
1
: f liên tục trong
()
(
)
b;axmọitại tục liên

: Tính
()
(
)
R bnếu và b
xx
xfxf
lim
x
y
lim
0
0
xx0x
0
∈=
−
−
=
Δ
Δ
→→Δ

B
2
: Tồn tại f’(x
0
)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn:
*
() ( )

0
xx
x'f
xx
xfxf
lim
0
)
: đạo hàm bên trái điểm x
0
.
Ghi chú: Nếu x
0
là điểm thông thường của tập xác đònh, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x
0
).
3. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa:
()
Dx;Rx'f
x
y
lim
0x
∈∀∈=
Δ
Δ
→Δ
ta làm ba bước cơ bản:
B
1

'v
v
1
v
'v.uv'.u
v
u
'v.uv'.u'v.u
'v'u'vu
số) hằng:(c 'u.c'u.c
−=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±=±

⎩
⎨
⎧
=→
→
−
−
yfxy
DDf:f
1
1
Ta có:
x
y
y
x
'y
1
'x
'x
1
'y =⇔=1) Đònh nghóa:
(
)
(
)()
xd.x'

=
±

3) Hàm hợp:
[
]
()
()
[
]
() ()
[
]
() () ()
xux
xxx
x
o
'u.'y'y
uf.'u'yufufy
=⇒
=
⇒
=
=

4) Hàm logarit:
(
)
[

1n1n −−

sinx cosx
C 0 cosx -sinx
x 1 tgx
xtg1
xcos
1
2
2
+=

(
)
u;x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
u2
'u
;
x2
1

e
x
e


log
a
x
alnx
1 5. Đạo hàm cấp cao:
Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y
(n)
= f
(n)
(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau:
• Tính y’, y”, y’” để dự đoán công thức của: y
(n)
= f
(n)
(x) (1)
• Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y
1k ≥∀
(k)
= f
(k)
(x) (2)
• Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh:
y
(k+1)
= f
(k+1)

0
.
• Nhưng một hàm f liên tục tại x
0
thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x
0
.
• Một hàm f không liên tục tại x
0
thì không có đạo hàm tại điểm x
0
.
• Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có:
) f là hàm hằng trên D
()
)1(Dx;0x'f
∈
∀
=
⇔

) f đồng biến trên D
()
)2(Dx;0x'f
∈
∀
≥
⇔

) f nghòch biến trên D

y
α
f'(x )=0
x0 ( ; )
0,1
∀∈αβ
x
0
β
a
b
(h.3)
A
0
C
D
x
B
x
0
a
b
f(b)
0
(C) : y = f(x
)
y
x
x
0

• Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: .
()
b;ax
0
∈
• Nếu:
[]
()()
[]
f liên tục trên a;b
fafb 0
f đơn điệu nghiệm cách trên a;b
<
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(
)
[]
phương trình f x 0
có nghiệm duy nhất x a;b
0
=
⇒
∈
⎧
⎨
⎩

≠
∀
<
.
) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
(
)
(
)
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;x
f
x
f
≠
∀
>
.
* Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x

A
B
0
f'(x )=0
0
(h.10)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
xÝ nghóa hình học: tiếp tuyến với đồ thò (C) : y = f(x) tại điểm cực trò thì song song trục hoành.
Hệ quả: Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn.
* Đònh lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x
0
) và f’(x
0
) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x
0
thì đủ để f đạt một cực trò tại x
0
.
• Khi f’(x
0
) = 0 và khi f’(x) đi qua x
0

0
; thì M vẫn là điểm uốn.

y
a
x
0 b
A
I
B
0
f"(x )=0
0
(h.10)
f"(x )>0
0
f"(x )<0
0
(C):y=f(x)
x
• f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương.
• f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương.
* Đònh lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trò)
Nếu f’(x
0
) = 0 trong V(x
0
) đồng thời f”(x
0
) # 0 thì hàm f có cực trò tại x

xfxf
Dtrênngặt tăng
f
1
∩∈∀=⇔
⎩
⎨
⎧
=
−

• Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (đònh lý) L’ Hospitale như sau:
()
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
()
()
xg
xf
lim
x"g
x"f

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
0
vừa khử.
)
đều có thể biến đổi về dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
0
để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale.
) Dạng
()(
∞−∞∞×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞

⎞

⎜
⎝
⎛
+
2

x

x

f

2

1

2

x

f

x

f

2


21
2
xfx
f
21
+
[
]
()
[]
() ()
()
f liên tục trên a;b
fx fx fx
xx x
n
n12
12
f" 0 trên a;b f
nn
x;x; x a;b
n
12
+++
+++
<⇒ ≥
∈


Ý nghóa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thò (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song
song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thò.
Hệ quả: (Đònh lý Rolle)
[]
() ()
()
()
()
giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt
12
f liên tục trên a;b và f a f b
nếu có của f x 0 phải có
f có đạo hàm trên a;b
ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0
0
=
⇒=
=
⎧
⎫
⎪
⎪
⎬⎨
⎪
⎪
⎭
⎩

CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU

() ( )
⎢
⎣
⎡
∈∀≤
>⇒<∈∀
⇔
biếnnghòch số Hàm :b;ax,0x'f
x
f
x
f
xx:b;ax,x
ba; trên giảm f
212121f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3
Nếu min
()
0x'f ≥
Nếu max
()
0x'f ≤
f luôn tăng:
(
)
0x'f ≥
f luôn giảm:
(

∞α∈∀≤ ;x,0'y
a = 0
11
mnhận :0b'ymm >=⇒=

11
mnhận :0b'ymm <=⇒
=

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 8
a > 0
?m
a2
b
=⇒α≤−

Không xảy ra
a < 0 Không xảy ra
?m
a2
b
=⇒α≤− 2. Hàm bậc 3:
cbx2ax3'ydcxbxaxy
223

⎧
≤Δ
<
0
0a

()
+∞α∈∀≤ ;x,0'y
⎩
⎨
⎧
>Δ
>
0
0a

[
)
+−+
+
∞
α
∞−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx

]
[
]
(
)
α
β
α
β
α∞α− ;hoặc; và ;- hoặc;∞
Tăng
0'y ≥
(
]
(
]
α∞α∞− ;- hoặc;
(
)
[]
βα
β
α
; hoặc;
(
]
+−+
∞
+
α∞−

≤

Giảm
0'y
≤

(
]
(
]
α∞α∞− ;- hoặc;
(
)
[]
βα
β
α
; hoặc;
(
]
−+−
∞
+
α∞−
00'y
xx;x
21

⎩
⎨

xg
'bx'a
cbxax
y
2
+
=
+
++
=

Cách 1: Giải như phần II.2
Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này.
f tăng hoặc
(
+∞α;
)
α≥x f giảm
(
)
+
∞
α
; hoặc α≥x
()
(
)(
() ()
)
() ()

⎝
⎛
+∞−⇒≤⇔
+∞α∈∀≤
+
∞
α
∈
∀
≤
0g
a2
b
0a
xg CĐ
xg
0x'g
a2
b
x
gxg max
;
a2
b
trong giảm xg0xg max
;x,0xgthì;x,0'y

+
()
()

x
gxg min
;
a2
b
trong tăng xg0xg min
;x,0xg thì ;x,0'y
xg

III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT:
1. Bất đẳng thức:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 9
() () ( )
() ()
() () ()
() () ()
fx 0 hoặc fx 0,x a;b
fx tăng thì x 0 fx f0
f ' x f x tăng hoặc giảm
fx giảm thì x 0 fx f0
≤≥∀∈
≥⇒ ≥
⇒⇒
≤⇒ ≤
⎡
⎢
⎣


2. Phương trình có nghiệm duy nhất:
• Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất.
) Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
) Chứng minh x
0
là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm).
• Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất.
) Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghòch biến).

CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. CỰC TRỊ:
()
(
)
()
()
() ( )
()
()
f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-)
0
f đạt cực trò tại x f ' x 0
00
f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( )

t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trò
0
f' x 0 Vô nghiệm
a0
f ' x 0 không đổi dấu
0
f' x 0 Nghiệm kép
f' x 0 f' x 0
00
f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x
00
f" x 0 f" x
00
≠
⇔= ⇔ ⇒
Δ>
=
≠
⇔= ⇔ ⇔
Δ≤
=
==
⇔⇒ ⇔
<
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎨

+
=⇔ + + − = ≠
⇔Δ >
⇔Δ <
⎛
⎜
⎝
()
()
0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ.
y' 0 y' 0;x x
2 điểm cực trò cùng 1 phía đối với Ox
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT cùng dấu
đồ thò cắt Ox tại 2 điểm phâ
y.y 0
max
min
<⇒
=Δ> ≠
⇔⇔
>
⎞
⎟
⎠
⎧
⎨
⎩
()
()

⎩
⎧
⎧
⎨⎨
⎩
⎩
()
b'
tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0
a'
−>
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 10 III. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG:
1. Dạng 1:
()
42 2
y ax bx c y' 2x 2ax b
2x 0
y' 0
2
2ax b 0 (1)

⎢
⎢
⎣

2. Dạng 2:
()
()
432 2
yaxbxcdy'x4ax3bxc
x0
y' 0
2
4ax 3bx c 0 (2)
0
f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép
*
g0 0
mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0
=+++⇒= ++
=
=⇔
++=
Δ≤
⇔⇔
=
=≠
⎡
⎢
⎣
⎡

==α≠α
⎡
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣

Chú ý:
()
[]
1) f có cực trò mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x
12
2) f có cực trò mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x
1212
3) f có cực trò trong ; y' 0 thỏa x x
12
4) f đạt CĐ tại x , , đạt
α⇔ = α< <
α⇔ <α< < ≤α
αβ ⇔ = α< < <β
∈αβ
[]
CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x
01
∈αβ⇔ = α≤ ≤β≤
2
2
01
3
010
202
2
02
3
020m

Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố đònh.
2/ Thực hiện phép chia đa thức f
m
(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
() ()

quả hệtrình phương
0
khôngbằng
000
xxgxfy
β
+
α+
γ
==

m
00000
2
gx f'x 3ax 2bx c 0 (II)
0000
2
với: b -3ac 0; m D
m
==+++
==++=
>∀∈
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

2/ Thực hiện phép chia f
m
(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
()( )()

quả hệtrình phương
0

); thì nó thỏa hệ:
()
()
()
()
()
()
()
()
ux
0
yI
0
vx
u' x
0
yx
0
v' x
ux
0
0II
phương trình hệ quả
vx
0
=
⇒= =α+
′
=
⎧

) là điểm uốn của (C
m
); thì nó thỏa hệ:
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=+++==
=
0dxcxbxaxgy
xfy
101
2
01
3
010
"
0
0m0

Với g(x
0
)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt.
2/ Thực hiện phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra:
(
)

quả hệtrình phương

B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) cố đònh thì ta luôn xác đònh được bộ ba (a;b;c) duy nhất trong hệ trục
Oxy.
Khi (P) chỉ đi qua hai điểm A, B hoặc chỉ đi qua duy nhất điểm A, thì ta sẽ nhận được các Parabola lưu động của họ Parabola và
chúng tạo thành chùm (như chùm đường thẳng, chùm đường tròn trong mp (Oxy) đó).

y
A
B
(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b

2
A

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 12
y
A
B
(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A

(
)
(
)
β+−−λ=
λ
2
AA
xxxxy:P

•
Tập hợp các Parabola (P
λ
) đi qua nhiều nhất hai điểm cố đònh A và B gọi là chùm Parabol (P
λ
); với là tham số đặc
trưng của chùm.
0≠λ
•
Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của
chùm (Pλ) lúc đó.
•
Phương trình của chùm (P
λ
) đi qua hai điểm đế A, B và nhận
(
)
qxy:ABd
+
α

) Khi đường đế nằm ngang:
(
0hayyy
BA
)
=
α
= , ta có trường hợp (P
λ
) có đường đế bằng
()
β
=
=
A
yy:d
(vuông góc với các trục đối xứng của (P
λ
)).
()
(
)
(
)
)1(yxxxxy:P
ABA
+
−
−
λ

2
A
+−λ=⇒
λ

•
Chùm Parabola:
()
(
)
(
)
()


đế đường cho
trưng đặc Phần
qua điP mà đònh cố điểm
lượng số cho trưng đặc Phần
BA
xxxxxy:P
β
+
α
+
−
−
λ
=
λ

) Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (1).
) Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (2).
) Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3).
B
B
3
: Đưa các giá trò cụ thể của giả thiết vào phương trình của (P
λ
), ta sẽ xác đònh được
0
λ
=
λ
bằng các phương trình đặc trưng.
Lấy x
0
thay vào các phương trình (P
λ
) ta có ngay ycbt.

VI. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ:
1. Nằm cùng phía với trục hoành
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
⇔
0y.y
0'y

0y;0x
0'y
'y
21
22
11

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=<
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<>
><
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y

⎢
⎣
⎡
α==++
=++
⎩
⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có
0'y
0y
2
2

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
≤Δ
⇔
=++
a2
b
x

⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm
0'y
0y
0yy
minmax

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
≤Δ
0yy
0'y
0'y
minmax

⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ

()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

minmax
21

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
α<<
>α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]:
•
f liên tục trên [a;b] có M[GTLN] và m[GTNN] của f trên [a;b]
()
[]
b;axMxfm ∈∀≤≤⇔
•

∈
∈
=
=
⇒⇔∃

2. Dùng MGT tìm max, min: .
Mym
0
≤≤
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky.
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 14 Chú ý 2:

1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trò
(
)
b;ax
0
∈
.
min
max
y
00'y

0

()
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx
0II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN
[
]
β
α
; :
•
a>0 hoành độ đỉnh
a2
b
x
0
−=

) Nếu
[]

∈αβ = = α β

) Nếu
[]
() ()
x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1:
()
(
)
(
)
(
)
GTLN fx max fx và GTNN fx min fx
xD xD xD xD
ff f
==
∈∈ ∈ ∈
f

()
()
()
fx m;x D
đn
min f x m

⎪
←⎯→
⎨
⎪
⎩
y
A
B
a
b
0
x
xfminy
bxa
CT
≤
≤
=
xfmaxaf
bxa
≤
≤
=
f(b) 2. Phương pháp 2:
B
B
1

xf miny các;bf;afminm
x
f
maxy các;b
f
;a
f
maxM
bxa
0
bxa
bxa
0
bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==
=
=

Ghi chú: Khi viết , ta có tập giá trò của hàm f là: f(D
()
Mxfm ≤≤
f
) = [m;M]

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 15

)
(
)
000
f x 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x ,
′′ ′′
=∞
0
+∞

Dấu hiệu 2:
()
()
()
()
fx 0 fx 0
00
hoặc
fx 0 fx 0
00
′′ ′′
==
′′
≥≤
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
⎩⎩


⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≠

I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
(
)
()
()
()
() ()
xa;b:fx0
2
00
i
f x không đổi dấu khi x đi qua x
0
I x ;f x : là điểm uốn của C : y f x
00
′

0

giá trò mở rộng f x
0
4
i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc
0
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
Ix,fx : là
00
′′
∃∈ =∞
′′
′
=∞
′
′′
⇒
⎡
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
⎩
⎢
⎧
⎢

()
[]
()
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
∞=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→

()
xQ
xP
y
=
:
TCĐ: x = x
0
TCN TCX TC cong là Parabola
Tìm nghiệm x
0
của Q(x) =
0
Bậc P(x)
≤ Bậc Q(x)
Bậc P(x) > Bậc Q(x) 1 bậc Bậc P(x) > Bậc Q(x) 2 bậc
2. Hàm hữu tỷ:
()
()
'bx'a
'a
'b
P
'a
'abb'a
x
'a
a
xQ
xP

P
lim
2
x
−
+=⇒=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→ 3. Hàm vô tỷ (hàm căn thức): y = f(x)
• Nếu
() () ()
b
2
f x ax bx c a x x . Với lim x 0
x
2a
=++=++ε ε=
→∞
b
Nhánh trái : y - a x
b

ε++++=++++=

p
Nhánh trái : y ax b- x
p
2
TCX : y ax b x
2
p
Nhánh phải : y ax b x
2
=+ +
⇒=+++=
=+++
⎡
⎛⎞
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎢
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣

4. Đặc biệt:
() () () ()
()

≠++==

•
Tam thức bậc hai có dạng:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2
≠++==

Gọi
2a
b-
xđặt 0, khi;ac4b
1,2
2
Δ±
=≥Δ−=Δ
, ta có f(x
1
) = f(x
2
) = 0 thì x
1
, x
2
là hai nghiệm của tam thức bậc hai (cũng là
hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax
2

⎧
==
−=+=

)
()
a
x-x :đề Mệnh
21
Δ
=⇒

) Hệ quả (Đònh lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
()
⇒
()
(
)
04P-S :Với0PSxxxf
22
≥=+−=

) Nếu
21
x0x0
a
c
P <<⇔<=
(hai nghiệm trái dấu)
Ta có hai trường hợp nhỏ:

<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<−=
>=
(hai nghiệm đều âm)
) Nếu
21
xx0
0
a
b
S
0
a
c
P
<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

x
S
−=
; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì
a2
b
x:d
−=
là trục đối xứng của (P).
•
Dấu tam thức bậc hai:
Viết tam thức dưới dạng:
()
(
)
0aac4abx4xa4xaf4
22
≠++=

() ( )
() ( ) ()
4ac-b với ;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
2
2
2
2
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔


Tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x) trái
dấu a
•

[]
{}
0;x;x
21
φ
≠

()
xx
12
||
Cùng Trái Cùng
2
f x ax bx c dấu 0 dấu 0 dấu
aa
||
a
−
∞+
=++
∞


aa
|
−
∞==−
=++
+∞

0<Δ

•
Không tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x)
trái dấu a
•

[]
φ=
21
x;x
⇒ Sự trái dấu bò biến mất
()
x
Cùng
2
f x ax bx c dấu
a
−

S
x
1
x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

Δ < 0
y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S

a4
Δ
−

max
min
()
a2
b
x khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈

()
a2
b
x khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈


β
<α
β
α với ; .
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 19
Chẳng hạn:
2121
xx hayxx <β<<
α
β<<α<
•
Từ đònh lý đảo ở trên ta có sự so sánh một số thực α với hai nghiệm x
1
, x
2
của tam thức
()
(
)
0acbxaxxf
2
≠++=

như sau:
) TH1: (không cần xét dấu Δ, vì luôn luôn có Δ > 0).
()
21

/
/
/
(hình 1)

2
x
x
2
S
2
1
+
=

) TH4:
() ()
2 hìnhxem
0
2
S
xx0af
0
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

Tam thức có ít nhất ba thực nghiệm
()
cbxaxxf
2
++=
0cba
=
=
=
⇔

•
Hai tiếp tuyến phát xuất từ một điểm bất kỳ M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola đều vuông góc với nhau và đồng thời
đoạn nối các tiếp điểm T
1
T
2
luôn luôn đi qua tiêu điểm F của (P).
(P)
(d)
M
T
1
(t )
1
(t )
2
T
2


⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
a3
b
f;
a3
b
I

•
Xét . Ta được bảng tổng kết.
ac3b
2
'y
−=Δ
′
=Δ
′



0
0a
<Δ
′
<

∞−
∞+
−
′
∞
+
∞
−
y
y
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0
0a

∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
b
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21
<
=
′
<Δ
′
>


<Δ
′
<

∞−
∞+
−+−
∞
+
∞−
CĐ
CT
y
00'y
xxx
21

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

Chú ý: Xem thêm phần 7 CHỦ ĐỀà 3
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thò (C) ở trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trò) là:

() ()

2
0
3
000

•
Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x
0
) : f(x
0
), ta có:
()( )()
(
)
00 0 000 000 0
y f x Ax B g x x y x vì g x 0==+ +α+β⇔=α+β =

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 21
• Vậy, là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của (C). Điểm uốn của (C) là
()
β+α= xy:d
(
)
dI∈ hay A, I, B
thẳng hàng.
•
Do đó tọa độ các điểm cực trò và điểm uốn là:

B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CĐA
CĐAI

3. Quỹ tích của cực trò, điểm uốn hàm bậc ba
Từ các tọa độ A, B, I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó.
) Khử tham số m.
) Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trò tham số
m
Dm ∈
∀
.
) Quỹ tích của A, B hay I là
()
β
+
α= xy:d
4. Đònh tham số để hàm bậc ba cắt trục hoành trong các trường hợp
TH
1
: (C) tiếp xúc Ox thì hệ sau có nghiệm:
⎪
⎩

⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH
3
: (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt:
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=β+αβ+α=
>−=Δ
′
⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH
4
: Luôn cắt Ox tại ít nhất một điểm hay phương trình:
(
)
0a0dcxbxax

2
g
TH
6
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm dương:
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
>
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<

CĐ
x
3

y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CT
x
3TH
7
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm âm:

00f
0yy
0a
CĐ
CTCĐ
CT
CTCĐ
y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3

y
(C)
0
x
x

⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g

1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CĐ
y
CT
x
3TH
9
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm âm:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

CĐ
CTCĐ
g

y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

y
y
0
x
x
1

mà AB = BC.
{ }
C;B;AOxC =∩
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∃>−=Δ
⇔
OxI uốnđiểm:0
a3
b
f
CT;CĐ:0ac3b'
2
g

TH

a
b
xxx
321
133221
321

6. Dạng đặc biệt của hàm bậc 3:
Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có một nghiệm x
0
= α
() ( ) ( )
⎢
⎣
⎡
=ϕ++αα+α++=
α=
⇔
0baxbaxxg
x
2
) Có 3 nghiệm đơn
()
⎩
⎨
⎧

gg

) Có đúng một nghiệm
(
)
⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
∨<Δ⇔
0
0xg
0
g
g
7. Dạng không đặc biệt của hàm bậc 3
TH
1
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (*) không tìm được nghiệm đặc biệt thì (*) có nghiệm kép:
(
0a ≠
)

<

Nếu giả thiết ở đònh lý Bolzano Cauchy cho thêm f đơn điệu thì x
0
= c là nghiệm duy nhất của f(x)=0.
TH
3
: Đồ thò (C): y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có:
()
0a ≠
) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé, lớn khi a > 0, a < 0 so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với (C).
) Qua mọi (điểm uốn của (C)) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với (C).
()
Iy;x
00
≡
) Xét điểm tùy ý qua M kẻ đúng được hai tiếp tuyến với (C).
()(
Cy;xM
00
∈III. HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3)
1. Dạng 1: Hàm bậc bốn
()

x,x
thì hàm số có ba cực trò.
•
Tiếp tuyến với đồ thò tại hai tiếp điểm:
) B
1
: Gọi (t): y = αx + β là dạng tiếp tuyến không thẳng đứng của:
(C): y = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Phương trình hoành độ giao điểm của (t) và (C) là:

(
)
(
)
432 432
ax bx cx dx e x ax bx cx d x e 0 1++++=α+β⇔+++−α++β=

) B
2
: Áp đặt (t) tiếp xúc (C) tại hai tiếp điểm T
1
(x
1
;y

00
;
β
=
β
α=α
và hoành độ tiếp điểm x = x
1
; x = x
2
.
Kết luận:
()
β
+α= xy:t
0
là tiếp tuyến cần tìm.
(d)
y
0
x
(C)
AB
CD
•
Đồ thò hàm bậc bốn và trục đối xứng song song Oy:
Xét đồ thò
()

cdxcxbxaxy:C

•
Sự biến thiên: Xét đạo hàm y’ = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 24
) Nếu chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trò, đồ thò không có điểm
uốn.
0'y0ab =⇒≥
) Nếu có ba nghiệm, hàm số có ba cực trò, lúc này đồ thò có hai điểm uốn. Đồ thò nhận một trong
bốn dạng sau:
0'y0ab =⇒<

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
>
0ab
0a

y

>
<
0ab
0a•
Bài toán đồ thò
() { }
CDBCAB:D;C;B;AOxC
=
=
=
∩
hay phương trình:
()
(
)
0a * 0dbxax
24
≠=++
có 4
nghiệm tạo thành cấp số cộng.
Đặt: . Lúc đó:
x;0xt
2
∀≥=
()
()
⎩

dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==

() () ()
0bcad0c kiệnđiều
dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==

•

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−∪
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

−
∧
≠

•

bc-adD của dấu là dấu có :
c
d
xc
bcad
'y
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=

Giao điểm của hai tiệm cận đứng
()
c
d
x:d

c
a
||
c
a
y
||'y
c
d
x
∞−
∞+
++
∞+−∞−

y
0
x
(C)
a
b
−
d
b
()
c
a
y:d
2
=

d
b
()
c
a
y:d
2
=
()
c
d
x:d
1
=

y
(t)
I
A
S
Δ
d
1
d
2
B
M (tùy ý)
x
(C)


c
d
x:dMH
21
=⊥−=⊥
theo thứ tự đó. Xác đònh các giao điểm:
(
)() ()
(
)
;Bdt;Adt
21
=
∩=
∩
(nếu
có), thì:
•
AB luôn nhận M làm trung điểm.
•
Diện tích tam giác: SΔAIB = const.
•
Tích số MH.MK = const.
•
Diện tích tứ giác IHKM = const.
•
Đường thẳng tùy ý (Δ): y = αx + β có phương trình hoành độ giao điểm với (C) là:
⎟
⎠
⎞

d
g0bdxadcxcxg
2

•
M, N ở hai nhánh phân biệt thì các hoành độ x
M
= x
1
; x
N
= x
2
nằm về hai phía của tiệm cận đứng.
()
1
dd
d : x ag 0
cc
⎛⎞
=− ⇔ − <
⎜⎟
⎝⎠

•

()
00
c
d

cbxax
cx'b
xP
xfy:C
2
2
+
++
=
+
==