PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

2.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
3.
ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =

− + + ≤
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
8.
*ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1

1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
1
≥−++− xxx
14.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
15.
*ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
16.
Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =


− =

21.
ĐH-D-2006 Giải PT
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
22.
Tham khảo 2006 Giải PT
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =
23.
***Tham khảo 2006 Giải HPT
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
27.
Tham khảo-2005 Giải
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
29.
ĐH-A-2004 Giải HPT:

31.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
32.
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất
( )
1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x
 
= ∈
 
2
3






−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
38.
Tham khảo 2003 Giải BPT
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
+ +
+ ≥ − +
39.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1):
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog

3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
44.
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog

9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
48.
Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
49.
ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −

212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2

= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
2.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+

, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t
+ =
1
2
t
t
=

x
x
=


⇔

=

3
Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4.
ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+

+
< ⇔

 ÷
+
+
 

>

+


2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x
x
x
x x
x


3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x

− +
>


x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >


⇔

< ∨ − ≤ ≤ +


( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6.
ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3


⇔

−

≤

+

2
3
4
(4 3)
9
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+




3
3
4
x
⇔ < ≤
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1
x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x⇔ = − ∨ =
8.
*ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2


+ + = −

2
4
3
11 30 0
t
t t

>

⇔


+ + =

Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x
4
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2

2 2
2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5
1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11.
Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =

−
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x

2
2
2
1
≥−++− xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
Đưa về
( )
2
2 2
1 1 1
log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
x x x− − − + − ≥
( )
2
2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )

x
− +
⇔ ≥
−
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x
x

< ∨ >




≤ <


1 1
3 2
x⇔ ≤ <
5
14.
Tham khảo 2007. Giải BPT:

2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
     
+ − − =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
2
3
x
t
 
=
 ÷
 
, t>0 ta có:
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
2
1
3
t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16.

1 log 2logx x
⇔ + =
2
2x x
⇔ =
2x
⇔ =
17.
ĐH-B-2006 Giải BPT:
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
HD: Biến đổi BPT
( )
x
x 2
5 5
4 144
log log 5.2 5
16
−
 
+
< +
 ÷
 


( 1)(3 )
log 0
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
( 1)(3 )
1
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
2
4 0x x⇔ − − =
1 17 1 17
2 2
x x
− +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
x
+
=
19.

x y
e e x y
y x a

− = + − +

− =

HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
x a x
e e x a x
y x a
+

− − + + + + =

= +

6
Xét hàm số
( ) ln(1 ) ln(1 ), 1
x a x
f x e e x a x x
+
= − − + + + + > −
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )
x a
a

và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
21.
ĐH-D-2006 Giải PT:
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
HD: Đặt
2
2
2
2
x x
x x
u
v
+
−

=



=

3 3
log 3 1 1+log 3 1 6
 
⇔ − − =
 
( )
( )
x
3
(1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = −
2
6 0t t⇔ + − =
2 3t t⇔ = ∨ = −
( ) ( )
3 3
log 3 1 2 log 3 1 3
x x
⇔ − = ∨ − = −
1
3 1 9 3 1
27
x x
⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28

 Xét x
2
−12xy+20y
2
=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0
Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu của hàm số trên các khoảng
( )
1;0 ,(0; )− +∞
làm cho
PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
Hệ đã cho thành
1, 0
10 2
y y
x y x y
x y
> − ≠


= ∨ =


=

vô nghiệm
 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
7

1 2 1
3 9 3

− + − =


− =


HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương
x y
log ( x) log y

− + − =


− =

 3 3
1 2 1
3 1
x y
x
log
y

− + − =

⇔



1 2 1
Xét
x x− + − =1 2 1
(1≤1≤2) ta có
x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1
x x⇔ − − =1 2 0
x x
⇔ = ∨ =
1 2
Nghiệm của hệ là
1 2
1 2
x x
y y
= =
 
∨
 
= =
 
26.
***ĐH-D-2005 CMR:
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +

Suy ra
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
27.
Tham khảo-2005 Giải:
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
HD: Đặt
2
2

2 4 32
x
x
⇒ + ≥
Tương tự với y,z ta có:
8
x y z
x y z
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷
 ÷
 
3 3 3
2 4 2 4 2 4 3 2 2 2
x y z
+ +
≥ =
3
3
3 3 2 3 3
(vì x+y+z=0)
29.
ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2


⇔

+ =

4 4
2 2
1
25
y , y x
y
log
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

4
2 2
0
1
25


+ =

2 2
0
4
3
25
y , y x
x
y
x
> >



⇔ =



=

2
0
4
3
9
y , y x y , y x
y y
x x

π
 
+ − <
 
 
HD:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 
(
)
(
)
log x x x
log x x x

+ − >

⇔



2 2
x x x⇔ − > −
2
2 2
x x
x x x x x x
− < − ≥
 
⇔ ∨
 
− ≥ − > − +
 
2 2 2
2 0 2 0
2 0 2 4 4
x
x
x x
x x
≤
> 

⇔ ∨
 
≤ ∨ ≥
+ − >


2
2

log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
2 2
1 3
log log
2 2
2 2
log 2. log 2
x x
x
 
⇔ ≥
 ÷
 
2 2
1 3
1 log log
2 2
x x
⇔ + ≥
2
1 log x
⇔ ≥
0 2x
⇔ < ≤
32.

( ) ( 1)ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1
( ) ln ln( 1)
1
f x x x
x x
′
= − + + +
+

2
2 2
1
( ) 0
( 1)
x x
f x
x x
− − −
′′
= <
+
Suy ra f’(x) nghịch biến trên R
+
Mà:
1 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x

y
x
 
= ∈
 
2
3
x 1;e
HD:
ln x
y f (x)
x
 
= = ∈
 
2
3
x 1;e

ln x( ln x)
f (x)
x
−
′
=
2
2

f (x) x x e
′

>
−
−+
−
x
x
x
HD:
1
2 2 3
0
2
x
x
x
−
+ −
>
−
 x<1 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − <



suy ra x>2 thỏa BPT
 Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35.
Tham khảo 2004 Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +

Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
HD:
2
( ) sin
2
x
x
y f x e x= = − +

( ) cos
x
f x e x x
′
= − +

( ) sin 1 0
x
f x e x

f x
→+∞
= +∞
 Và
2
lim 1
2
x
x
x
e
→−∞
 
− + = +∞
 ÷
 
⇒
( )
lim
x
f x
→−∞
= +∞
 Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
36.
*Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
HD: Đưa về
3



⇔ =


−

>


3
0, 1
log
1 0 1
x x
t x
t t
> ≠


⇔ =


− < < ∨ >

3 3
0, 1
1 log 0 log 1
x x
x x

x x−
− =
2 1 1x x x⇔ = − ⇔ = −
(y=−1)
 Thay y=1−x vào PT thứ hai
1
2 2 3 0
x
x
−
+ − =
Hàm số
1
( ) 2 2 3
x
f x x
−
= + −
đồng biến trên R và f(1)=0
nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
 Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0)
38.
Tham khảo 2003 Giải BPT
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
+ +
+ ≥ − +
HD: Đặt t=2
x

⇔ < ≤
 t<1 ta được
30 1 1t t
+ ≥ +
2
1
1 1
1
30 1 2 1
30
t
t
t
t t t
< −

− ≤ <


⇔ ∨
− 
≥
+ ≥ + +



2
1 1
1
1

t t
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
 Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có
0 4t
< ≤
0 2 4 2
x
x⇔ < ≤ ⇔ ≤
39.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) :
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
HD:
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
( )
2

− =
2
2
4
2 3
2
x x
x x
−
−
⇔ − =
2
2
2
3 4 0
x x
t
t t
−


=
⇔

− − =


2
2 4
x x−

⇔

− =


2
5
4 5 0
x
t
t t

=

⇔

− − =


5
5
x
t
t

=
⇔

=



⇔

+ − =


2
3
log 1
2
t x
t

= +

⇔

=


2
3
log 3x
⇔ =
3
log 3x⇔ = ±
3
3x
±
⇔ =

3
1 3x≤ ≤
khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với
1 2t≤ ≤
 Khảo sát hàm số ta được
0 2m
≤ ≤
43.
Tham khảo 2002 Giải PT:
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
HD: Với ĐK
1 1
0, ,
3
3
x x x> ≠ ≠
 Đưa về dạng
3 3
3 3
8log 3log
3 2log 1 log
x x
x x

1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog
HD: Xét BPT ta có
( )
3
2
2 2
1 1
log log 1 1
2 3
x x+ − ≤
 Giải xong được
1 2x− ≤ ≤
 Xét BPT
3
1 3 0x x k− − − <
3
( ) 1 3k f x x x⇔ > = − −
 Xét
1 1x− ≤ ≤
,
( )

x x
x x
x x
 
< < >
 
 
⇔ − > ∨ − >
 
 
− ≥ − ≤
 
 
( )
3
1
0 1
9 72 1
log 9 72
9 72 3
x
x
x x
x
x
x
>

< <


− − ≤

1
0 1
3 8 3 9
6 2 3 9
x x
x
x
x
>
< <



⇔ ∨
 
≤ − ∨ ≥
≤ ≤




( )
3
log 6 2 2x⇔ < ≤
45.
Tham khảo 2002 Giải HPT
4 2
4 3 0

x y
≥ ≥


⇔ = −


=

2
1, 1
4 3
x y
x y
x y

≥ ≥

⇔ = −


=

2
1, 1
4 3
4 3 0
x y
x y
y y

( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
2
1
2
3
9 3( 2) 2 1 0
x
t
t a t a
−


=
⇔


− + + + =

Với −1≤x≤1 ta có
1
3
3

− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1
3
f t t t
′
= ⇔ = ∨ =
x
-∞
1/3 2/3 1
+∞
f’(t) + 0
− −
0 +
f(t) 0
+∞
-∞
4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
47.
Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1

3
x x
x
x
x
> ≠


⇔

− =

+

0, 1
4
1
3
x x
x
x
x
> ≠


⇔

− =

+

0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
+ − = − − =
 
3 2 3 3x x⇔ = − + ∨ =
48.
ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

y y
y

= −

⇔

+
=

+
3 2
2 5 4
2
x
x
y y
y

= −

⇔

=


3 2
2
5 4 0
x

=
⇔

= ∨ =

0 2
1 4
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 
49.
Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =


y y y x y
> ≠ > ≠


⇔ + − − =


+ − − =

2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0
x x y y
x x y
y y x
> ≠ > ≠


⇔ − − =


− − =

2 2
2 2
0, 1, 0, 1
2( ) 3( ) 5( ) 0
4( ) 3( ) 5( ) 0

x x y y x x y y
x y y x
x x x x
 
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
 
⇔ = ∨ = − −
 
 
− = + + =
 
2
2
x
y
=

⇔

=

50.
Tham khảo 2002 Giải BPT:
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1

⇔ ≥
2x
⇔ ≥
14