Biờn son: GV HUNH C KHNH DAẽNG 1. PHệễNG TRèNH Cễ BAN
Phng trỡnh m c bn cú dng:
x
a m
=
, trong ủú
a 0, a 1
>
v m l s ủó cho.
Nu
m 0

, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
vụ nghim.
Nu
m 0
>
, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
cú nghim duy nht
a
x log m.
=

+
+ +
Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =

2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
+ =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + =

4)
(

+

3)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+
+ = +
4)
2
x
x
log 16 log 7 2
=

5)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49


=


6)
( )
( )
2
8 8
4


=

11)
(
)
(
)
x x 2 x 1 x 1 x 1
3 10 6 4.10 5 10 6
+ +
+ = CHUYEN ẹE 1.
PHệễNG TRèNH

MUế LOGARIT
Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO
Phng phỏp ủa v cựng c s
S dng cụng thc:

a a= =

x 3 2 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 .2 2
x
+ +
+
+ = +

2)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = 4)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+
+ = +

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +

6)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
Bi 3. Gii phng trỡnh sau:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4

+ =
7)
( )
5
1
2log x 1 log x log x
2
=

3)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
8)
(
)
2
9 3 3
2log x log x.log 2x 1 1
= +

4)
( )
2
5
5

2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

HD:
(
)
(
)
2 2 2
x x x x 2x x x 2x
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
+ − −
− − + = ⇔ − − =

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân
tích thành
(
)
(
)
2
2
2 1 . 2 4
x x x−
− −
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
x x x

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích
(
)
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
 
− + − =
 
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng qt: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích.
Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x
+ = +
. DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đó đặt ẩn số
phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

a.b 1
=
. Khi đó đặt
x x
1
t a , t 0 b
t
= > ⇒ =
, ta được
phương trình:
2
1 3 2
t t 0
α α α
+ + =
.
● Phương trình
2x x 2x
1 2 3
a (ab) b 0
α α α
+ + =
. Chia hai vế cho
2x
a
hoặc
2x
b
ta được
2x x

3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
+ +
− − =

3)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 14
− + + =

= >
thì
k k
a x
1
log x t ; log a , 0 x 1.
t
= = < ≠
.
● Nếu ñặt
b
log x
t a=
thì
b
log a
t x=
. Vì
b b
log c log a
a c
=
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x 1 x

2
x 25
log 125x .log x 1
=
6)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
x x
log 6.5 25.20 x log25
+ = + 3)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=

2)
2 2

= , khi ñó ta có:
(
)
2
t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x
+ − + − = ⇒ = − = −
.
Thay vào (*) ta tìm ñược x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi
∆
là số chính phương.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
2 2
x 2 x 2
9 x 3 3 2x 2 0
+ − − + =

Bài 2. Giải phương trình:
2x 3x 1 x 3
4 2 2 16 0
+ +
+ + − =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(
)

ng trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0
+ + − + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

2)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.
Bài 1. Giải phương trình:
2 2 2

− + − =

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
log x log x
2
2 2 x 2 2 1 x
+ + − = +

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4.

ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Ví dụ : Giải phương trình:
x
x 1 x x 1 1 x
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
− − −
+ =
+ + + +

HD: Viết phương trình dưới dạng
x 1 1 x x 1 1 x
8 1 18

2x x
2 2 6 6
− + =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

Bài 2. Giải phương trình:
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =


. Với
;d ac e bc
α β
= + = +
.
Cách giải:
- ðiều kiện có nghĩa của phương trình:
0 1
0
s
dx e
< ≠


+ ≠


- ðặt
( )
s
ay b log dx e
+ = +
khi ñó phương trình ñã cho trở thành:
( )
( ) (1)
( )
(2)
ax b
ax b ax b
ay b ay b

+
= +
là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y)
⇔
x = y,
khi ñó (2)
ax b
s dx e
+
⇔ = +
(4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4).
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
x 1
7
7 6log 6x 5 1
−
= − +

HD: ðặt
(
)
7
y 1 log 6x 5
− = −
. Khi ñó chuyển thành hệ
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
(
)

(
)
t 1
f t 7 6t
−
= +
suy ra
x y
=
, Khi
ñ
ó
x 1
7 6x 5 0
−
− + =
.
Xét hàm s
ố

(
)
x 1
g x 7 6x 5
−
= − +
. Nh
ẩ
m nghi
ệ

2
2 2 2
3log x 1 4log x 13log x 5
+ = − + −

Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)
2
lgx 1 lg x 4lgx 5
+ = + +
3)
(
)
x
6
6 3log 5x 1 2x 1
= − + +

2)
3
3
2 3
log x 2 3 3log x 2
+ = −
4)
3
3
x 1 3 2x 1
+ = −



3)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =
18)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =

4)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
+ + − =
19)
(
)
(
)
x x
x

− + =
22)
(
)
x 2 5
1 2log 5 log x 2
+
+ = +

8)
x x 1 x x
4 4 3.2
+ +
− =
23)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =

9)
x x
9 8.3 7 0
− + =
24)
(
)

5
log x log 3
2
+ =

12)
3 3 3x x x
25 9 15 0
− + =
27)
8
2
3log xlog x
2x 2x 5 0
−
+ − =

13)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
28)
2 2
log x log 5
5 2.x 15
+ =

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
14)

log x log ( x 2)
= +
.
ðặ
t
t
7
t log x x 7
= ⇒ =
.
Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
(
)
t
t
t t t
3
7 1
t log 7 2 3 7 2 1 2.
3 3
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 
 
 

2 6
log x 3 log x
+ =
.
ðặt
6
t log x
= , phương trình tương ñương
t
t t t t
3
6 3 2 3 1
2
 
+ = ⇔ + =
 
 
.
●Dạng 3.
(
)
b
log x c
a x
+
=
. (ðiều kiện:
b a c
= +
)

Ví dụ 2. Giải phương trình:
(
)
3
log x 5
2 x 4.
+
= +

ðặt
t x 4
= +
. Phương trình trở thành:
(
)
3
log t 1
2 t
+
=
.

Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 5. PHệễNG PHAP LOGARIT HOA



=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=

+ + +

Bi 2.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
4x 1 3x 2
2 1
5 7
+ +

=


= >


Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
(
)
2
x
log x 4x 4 3
+ =
3)
(
)
x
log x 6 3
+ =

2)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2

log x 1 log x 1
=
4)
x
x lg(1 2 ) xlg5 lg6
+ + = +

Bi 3.
Bi t

p rốn luy

n. Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
x 1 2x 1
4.9 3 2
+
=
2)
x x
3 2
2 3
=

3)
2

3 .2 6
+
=
.Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)
● Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao
cho f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x


2 2
log x log x
x 2.3 3 2.3 3 x
+ = ⇔ = −
, v
ế
trái là hàm
đồ
ng bi
ế
n, v
ế
ph
ả
i là hàm
ngh
ị
ch bi
ế
n nên ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
x 1
=
.

α
.
Khi
đ
ó:
6 5 3 2
α α α α
− = −
. Xét hàm s
ố

( ) ( )
f t t 1 t
α
α
= + −
, với
t 0
>
. Ta nhận thấy
(
)
(
)
f 5 f 2
=
nên theo định lý lagrange tồn tại
(
)
c 2;5

x 1 x x 2
2 x 1 2 x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
(
)
t
f t 2 t
= +
là hàm đồng biến trên R (???). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
(
)
(
)
2 2
f x 1 f x x x 1 x x x 1
− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
x x
3 2 3x 2
+ = +
.
HD: Dễ dàng ta tìm được nghiệm:
x 0
=
và
x 1
=

−



= −

−

có ñúng hai nghiệm thỏa mãn
x 0, y 0.
> >

HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra
x y
=
khi ñó xét hàm số
( )
x
2
x
f x 2007
x 1
e= + −
−
.
●
N
ế
u
x 1

x 2
=
thì
(
)
f 2 0
<

ñể
suy ra
ñ
i
ề
u ph
ả
i
ch
ứ
ng minh.
Ví dụ 6:
Cho
a b 0
≥ >
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
b a
a b

( )
x
x
1
ln 2
2
f x
x
 
+
 
 
=
v
ớ
i
x 0
>
,
Suy ra
(
)
f’ x 0
<
v
ớ
i m
ọ
i
x 0

x x
4 3 1
− =

2)
(
)
2 3
log 1 x log x
+ =
8)
(
)
6
log x
2 6
log x 3 log x
+ =

3)
2 2 2
log 9 log x log 3
2
x x .3 x= −
9)
(
)
x 2 x 2
3.25 3x 10 5 3 x 0
− −

+ + + = + + − + − +

Bài 2. Giải các phương trình sau:
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
1)
x
x
2
2 1 3
= +
4)
(
)
x x
25 2 3 x 5 2x 7 0
− − + − =

2)
3 x 2
2 x 8x 14
−
= − + −
5)
x 3 x
8 x.2 2 x 0
−
− + − =

3)
2

3)
( )
x x
9 2 x 2 .3 2x 5 0
+ − + − =

4)
(
)
( )
2
x log x x 6 4 log x 2
+ − − = + +

5)
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16
+ + + + + =DẠNG 7. MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC

Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
x x x x

x
2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 0
cos 2 y 1 0
⇔ − + − + − + + − + + − =
 
⇔ − + + − + + − =
 

− + + − =

⇔

+ − =



Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
y
sinx 1+sinx
4 2 cos xy 2 0
− + =

( )
y
y
2
2
2 1
2 cos xy 0
cos xy 1

≥

 
⇒ − ≥

 
≤



Do đó
( ) ( )
2
y
sinx 2
2 cos xy 2 cos xy 0
 
 
− + − ≥
 
 

2
2
y 0
2 1
2 y 0.
cos x.0 1
cos xy 1

=

=
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
=





Thay vào (1) ta ñược
x k
π
=
.
Bài 3. Giải phương trình:
( )
2x 1 3 2x
2

− +
(1)
Mặt khác
2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x
2 2 2 2 .2 2 2 8
+ − + − + + −
+ ≥ = =

(2)
Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
3 3
log x x 1 log x 2x x
+ + − = −
.
HD:

ð
i
ề
u ki
ệ
n

 
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥
 
 

●
( )
2
1 x 1 1
− − + ≤

Vậy phương trình
( )
3
2
1
log x 1 1
x
x 1
1 x 1 1

 
+ + =
 

 
⇔ ⇔ =


− − + =

 
.

HD: ð
i
ề
u ki
ệ
n
x 2
>
.

●

(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2
− + ≥ ⇒ − + ≥●
V
ớ
i
x 2
>
ta có
1 1

HD: ðiều kiện
2 x 2
− ≤ ≤
.
Phương trình
(
)
(
)
( )
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0 *
⇔ − − + − =

Ta có
3
x 2
2
x 2 x.2 2.2 2.2 4
≤ ⇒ ≤ < =
. Do
ñ
ó
( )
2
* x 1 2 2 x 0
⇔ − + − =
.
Bài 7. Giải phương trình:
2 3 4 2 2

x 3 xlog x 3log 3 log 32 5 xlog x 5 0
≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − <

Khi ñó
( )
(
)
2
* 6 x 1 x 0
x
⇔ + − + − =
.
Bài 8. Giải phương trình:
2 2
sin x cos x x x
3 3 2 2 2
−
+ = + +
.
HD: Phương trình
2 2
x -x
2 2
sin x 1 sin x
2 2
3 3 2 2 2
−
⇔ + = + +
2
2 sin x
0 sin x 1 1 3 3
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
. Do ñó
VT 0 VP
≤ ≤
.
Bài 9. Giải phương trình:
3 2
2log cot x log cosx
= .
HD: ðặt
3 2
2log cot x log cosx t
= =
, ta có

2 t
t 2 t
t
2 t 2 t 2
t
cos x 4
cosx 2 cos x 4
4
cot x 3 cot x 3 sin x
3
cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0

cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0
cosx 0,cot x 0

=

=


=

 
⇔ + = ⇔ = − ⇔
  
  
> >
> >


> >

π
x k2
π
3
⇔ = +
.

HD: ðiều kiện
x 0
>
.
ðặt
(
)
(
)
(
)
2 3 2
2 2
f x 3x 2x , g x log x 1 log x
= − = + −

● Ta có
(
)
(
)
(
)
2 3 2
f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1
= − ⇒ = − = ⇔ = =
. Lập bảng
biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên
(
)

+
 
= + − = = +
 
 
 
 
. Với
x 0
>
, ta có
( )
2 2
1 1
x 2 côsi log x log 2 1.
x x
 
+ ≥ => + ≥ =
 
 
Suy ra
(
)
g x 1, x 0.
≥ ∀ >

Vậ
y ph
ươ
ng trình

( )
(
)
2
x 1 x x 2
2 x 1 2 x x
− −
⇔ + − = + −
.
ðặt
2
u x 1; v x x.
= − = −
Khi ñó phương trình có dạng
u v
2 u 2 v
+ = +
.
Xét hàm số
(
)
t
f t 2 t
= +
, hàm này ñồng biến và liên tục trên
ℝ
.
Vậy phương trình
(
)

c
(
)
0 0 0 0 0 0 0
x x x x x x x
2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *
+ = ⇔ − = −
Xét hàm s
ố

( ) ( )
0
0
x
x
F t t t 1
= − + . Khi
ñ
ó (*)
(
)
(
)
F 2009 F 2010
⇔ = .
Vì F(t) liên t
ụ
c trên
[
]

0
x 1
0
x 1
0
0
x 0
F 2010 F 2009
F' c x . c c 1 0
x 1
2010 2009
−
−
=
−

 
= ⇔ − + = ⇔

 
=
−


Th
ử
l
ạ
i
0 0

+ =
. ðặt
u
3
u log x x 3
= ⇒ =
. Phương trình
u u u
4 2 2.3
⇔ + =
.
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số
(
)
y f x
= liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n
[
]
;
a b
và có
ñạ
o hàm trên kho
ả

−
=
−
.
Bài 13.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
= − +
− +
.
HD: ðặt
(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra
2
v u x 3x 2.

. Do ñó phương trình
(
)
(
)
f u f v
⇔ = suy ra
u v
=
hay
v u 0
− =
tức là
2
x 3x 2 0 x 1, x 2
− + = ⇔ = =
. Vậy phương trình có nghiệm
x 1, x 2
= =
.
Lưu ý: Với phương trình dạng
( )
log , 0, 0, 1
a
u
v u u v a
v
= − > > >
ta thường biến ñổi
log log log log

α
+ − ≤
với
[
]
0, 0,1
t
α
> ∈
Từ phương trình suy ra:
[
]
sinx, cos x 0,1
∈ . Suy ra
π
x k2
π; k2π
2
 
∈ +
 
 

Theo Becnuli:
(
)
cosx
2 1 2 cos x 1
+ − ≤


với
π
x k2
π; k2π
2
 
∈ +
 
 
.
Do ñó
cosx sinx
2 2 3
+ ≤
. Dấu
'' ''
=
xảy ra khi và chi khi
sinx 1
cosx 0
=


=

hoặc
sinx 0
cosx 1
=



Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với giải phương trình và sử dụng
các cơng thức sau
HÀM SỐ MŨ
●
0 a 1

)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(
đồ
ng bi
ế
n)
HÀM SỐ LOGARIT
●

(
)
a
log f x
có ngh
ĩ
a
( )
0 a 1

f x 0

f x g x
log f x log g x
0 a 1

=

= ⇔

< ≠



●

0 a 1
< <(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x

(
đồ
ng bi
ế
n)
Tổng qt ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0

>


> ⇔ > >


 
− − >

 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

x 2x
1
3
3



Li gii:
- iu kin:
x 0

hoặc
x 2

.
- Khi đó bất phơng trình tơng đơng với
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1



(1)




+



- Kết hợp với điều kiện ta đợc
x 1 2
+
.

Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >

Li gii:
- Bất phơng trình trên tơng đơng với
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1
1 3
x






< < < <






< <




+ < + <


<





+ >




+ >

< >








3
5
3
x
2

<



>


Lu ý:
Với bất
phng trỡnh

3 x 6
+

Li gii:
- iu kin:
x 0
>

- Ta sử dụng phép biến đổi
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
. Khi đó bất phơng trình tơng đơng
với
3 3 3
log x log x log x
x x 6 x 3
+
.
- Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đợc:
(
)

+
 
>
 
+
 

Lời giải:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
2
2
1 2x 1 2x x
log 0 1 0
x 1 x 0
1 x 1 x 1 x
x 0
1 2x 1 2x 1 x 1
log 1 2 0
1 x 1 x 1 x

+ +
 
> > >

 
< − ∨ >

  
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >

log log 0
x 4
 
+
<
 
+
 

2)
(
)
2
3x x
log 3 x 1
−
− >

3) (
)
(
)
(
)
(
)
2

x
x x
3
2. 4
2.3 2
2
1 1
3 2
3
1
2
+
 
−
 
−
 
≤ ⇔ ≤
−
 
−
 
 

- §Ỉt
( )
x
3
t , 0 t 1
2

< ≤ .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình:
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
 
 
− + <
 
 
 
 

Lời giải:
- ðiều kiện
x 0
>
.
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] [ ]


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- §Ỉt
(
)
2
t log x
= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

4 2 2
2
2
t 13t 36 0 4 t 9
1 1
3 log x 2
3 t 2
x

8 4
2 log x 3
2 t 3
4 x 8
− + < ⇔ < <



− < < −
− < < −
< <


− <

Lời giải:
- §Ỉt
x 5 3 2
X 5 0, Y 5 0
x− −
= > = >
.Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
2
X
4X 5Y
Y
− <
(1)
- Do
Y 0
>
nªn

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
X 5Y 0 X 5Y 5 5

− ≥


≥ ≥


⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  
− + < < <
− > −





- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ:
2 x 18
≤ <
.
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
x
1
5 1 5 1 2

ð
i
ề
u ki
ệ
n

x 0
>
.
-
§Ỉt
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
, bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
(
)
t
5
log 3 2 t
+ >t
t t
t
3 2
3 2 5 1

)
(
)
t 1 t 1
f f
> ⇔ <
,
ta ®−ỵc
4
log x 1 0 x 4.
< ⇔ < <

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
0 x 4
< <
.

Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> +
+


t 0.
>
Từ (1) ta có
(
)
(
)
f u f v u v
> >2 2
2
x x 1 2x 2x 3
x 3x 2 0
1 x 2.
+ + > +
+ <
< <

- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
1 x 2
< <
.
Lu ý:

1.
Với bất phơng trình dạng
log log
a b

đồng biến khi
0
t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< <

BAỉI TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
x
6 64
log x x log x
+

2)
x x x
2.2 3.3 6 1.
+ >

3)

x
5 x
log 0
I
5 x
2 3x 1 0
+

>




+ <

và
( )
x
5 x
log 0
II
5 x
2 3x 1 0
+

<





< <

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Giải hệ (II)
+
5 x 5
5 x 5
5 x 5 x
log 0 0 1 5 x 0
2x
x 0 x 5
5 x 5 x
0
5 x
< <

< <

+ +

< < < < <

< >

<




.

2 2x 1
0
2 1

+


. 5. MOT SO PHệễNG PHAP KHAC
Vớ d 1. Gii bt phng trỡnh:
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1

+ +

Li gii:
- Điều kiện
x 2.


- Ta có nhận xét sau:
+



=
=

=

=
=




.
- Vậy bất phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
(
)
x
x 9
log log 3 9 1

<Li gii:
- Để
(
)
x



-
Đặt
(
)
x
3 t, t 0
= >
, ta có hệ
x
3
2
t 10
t 0 3 10 x log 10
t t 9 0
>

> > >

+ >

.
Vớ d 3. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2 3 4 2 2
2 2
5x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x
+ > + + +

< =
. Vậy khi
0 x 3
<
thì
2
xlog x 5 0,
<
do đó
Biờn son: GV HUNH C KHNH
( )
2
2
0 x 3
0 x 3
5
* x 3
2x 3x 5 0
2
6 x x 1 x 0
<

<


<

>
+ + <


(
)
(
)
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0
+ >
(2)
- Từ (1) ta có
3
x 2
2
x 2 x.2 2.2 2.2 4.


< =
. Do đó (2) tơng đơng với

2
2
2 x 2
2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0



>

+ >


5x 2x 7 0
4 2 x 1 x
1 x
5









<
>
< <





- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là
x 1; 2 .

Vớ d 5. Gii bt phng trỡnh:
( ) ( )
2 2



<
<





(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > + > >


(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
> > <

-
Ta có bảng xét dấu

-
Từ đó ta có các trờng hợp sau

-
1

0
1
-

+
+

+
+ -
2
3

log
2
(x+1)
Biờn son: GV HUNH C KHNH
+ TH3: Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
bất phơng trình có nghiệm với mọi
3
1 x

+ Trong tập xác định đó nếu
log
a
u

và
log
b
v

cùng dấu thì bất phơng trình tơng đơng
với
log log .
a b
u v
<

Vớ d 6. Trong các nghiệm
(
)
x; y

của bất phơng trình
(
)
2 2
x 2y
log 2x y 1
+
+

II :
2x y x 2y

+ >

+ +


- Rõ ràng nếu
(
)
x; y
là nghiệm của bất phơng trình thì tổng
(
)
2x y
+ lớn nhất chỉ xảy ra khi
nó là nghiệm của hệ
(
)
II

( )
( )
2 2
2
2
x 2y 1
II
1 9

1
x 1; 2y
2 2

và
1
2;
2
, ta đợc
( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1 9 9 81
2 x 1 2y x 1 2y 4 .
2 8 2 16
2 2 2 2 2

+ + + =
2
y
2 2
2
1
2
2

+ =

=



+ =



=

=





- Với
1
x 2, y
2