Sở gd & đt bắc ninh Đề thi thử đại học năm 2010
TR NG THPT lơng tài 2 Môn: Toán Ngày thi: 06.4.2010
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số
2
32


=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đờng tiệm cận của
(C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đờng tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho
đờng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phơng trình






=+
24
cos2sin
2
cossin






+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3aSA =
,
ã
ã
0
30= =SAB SAC
. Tính thể

d
2
: 3x +6y 7 = 0. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đờng
thẳng đó cắt hai đờng thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đờng thẳng d
1
, d
2
.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4;
3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
02 =++ zyx
. Gọi Alà hình
chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác
định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn (C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm)
Tìm số nguyên dơng n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200
+
+ + + +
+ + + + =
k k k n n
n n n n
C C k k C n n C

Câu VIIb (1 điểm):
Giải hệ phơng trình





+=++
=+
++
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
Hết
Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo
danh:
Dáp án
Câu Nội dung Điểm
I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số
1,00
1) Hàm số có TXĐ:
{ }
2\R
0,25
2) Sự biến thiên của hàm số:

- 2
+
y - -
y
2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2;
và
( )
+;2
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại






2
3
;0
và cắt trục hoành tại điểm





,
( )
2
0
0
2x
1
)x('y


=
Phơng trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
( )
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0


+



2x22
2
xx
==
+
=
+
,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy
=


=
+
suy ra M là
trung điểm của AB.
0,25
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đờng tròn ngoại tiếp
tam giác IAB có diện tích
S =




3x2
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0,25
Dấu = xảy ra khi



=
=


=
3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2

2
cos1xsin
2
x
cosxsin
2
x
sin11
2
+=








+=+
0,25
01
2
x
cos
2
x
sin2.
2
x
cos

sin21
2
x
sinxsin
2
=






++







0,25
O
y
x
2
3/2
3/2
2
2
sin x 0



+ +

Z
0,25
II. 2 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
1 ®iÓm
§K:
( )
*
2
1
x
2
1
x
2
1
x
0)1x2(
2
1
x
01x4x4
0x
2
1
22
<⇔

−−++>−−
[ ]
01)x21(logx
2
<+−⇔
0,25




<
>
⇔










>−
<



<−
>

<



<+−
>
⇔
0x
4
1
x
1)x21(2
0x
1)x21(2
0x
0)x21(2log
0x
0)x21(2log
0x
01)x21(log
0x
01)x21(log
0x
2
2
2
2
0,25
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta cã:
2

x
I
1
1
ln1
ln
. §Æt
dx
x
1
tdt2;xln1txln1t
2
=+=⇒+=
§æi cËn:
2tex;1t1x =⇒==⇒=
0,25
( )
( )
( )
3
222
t
3
t
2dt1t2tdt2.
t
1t
I
2
1

=
. §Æt







=
=
⇒



=
=
3
x
v
x
dx
du
dxxdv
xlnu
32
0,25
e
3 3 3 3 3 3
e 2 e

MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3
1
S.MA
3
1
VVV =+=+=
0,25
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tơng ứng bằng nhau nên
chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N
là trung điểm của BC suy ra MN BC. Tơng tự ta cũng có MN SA.
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
2
2
2
2222222
=




2
1
.SA
3
1
V
3
ABC.S
===
0,25
V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 điểm
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có
zyx
9
z
1
y
1
x
1
9
xyz
3
xyz3
z
1
y
1
x

+
+
+
+
=
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
3
a 3b 1 1 1
a 3b 1.1 a 3b 2
3 3
b 3c 1 1 1
b 3c 1. 1 b 3c 2
3 3
c 3a 1 1 1
c 3a 1.1 c 3a 2
3 3
+ + +
+ = + +
+ + +
+ = + +
+ + +
+ = + +
0,25
Suy ra



+ = + = + =

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
4/1cba ===
0,25
VIa.1 Lập phơng trình đờng thẳng
1 điểm
S
A
B
C
M
N
Cách 1: d
1
có vectơ chỉ phơng
)1;2(a
1

; d
2
có vectơ chỉ phơng
)6;3(a
2
Ta có:
06.13.2a.a
21
==


A3B
B3A
0B3AB8A345cos
)1(2BA
BA2
220
2222
0,25
* Nếu A = 3B ta có đờng thẳng
05yx3:d =+
0,25
* Nếu B = -3A ta có đờng thẳng
05y3x:d =
Vậy qua P có hai đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
05yx3:d =+
05y3x:d =
0,25
Cách 2: Gọi d là đờng thẳng cần tìm, khi đó d song song với đờng phân
giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d
1
, d
2
của tam giác đã cho.
Các đờng phân giác của góc tạo bởi d
1
, d
2
có phơng trình


0,25
+) Nếu d //
2
thì d có phơng trình
0cy3x9 =++
.
Do P

d nên
05yx3:d15c0c318 =+==+
0,25
Vậy qua P có hai đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
05yx3:d =+
05y3x:d =
0,25
VIa.
2
Xác định tâm và bán kính của đờng tròn
1 điểm
Dễ thấy A ( 1; -1; 0)
* Giả sử phơng trình mặt cầu ( S) đi qua A, B, C, D là:
0,25
( )
0dcba,0dcz2by2ax2zyx
222222
>++=++++++
Vì
( )
SD,C,B,'A
nên ta có hệ:

a
021dc4b2a8
029dc4b6a8
014dc4b6a2
02db2a2
Vậy mặt cầu ( S) có phơng trình:
01225
222
=+++ zyxzyx
0,25
(S) có tâm






1;1;
2
5
I
, bán kính
2
29
R =
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đờng tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đờng thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phơng là:
( )
1;1;1n

2
5
t302t1t1t
2
5
===+++++







6
1
;
6
1
;
3
5
H
0,25
6
35
36
75
IH ==
, (C) có bán kính
6

+
+++=
(1)
* Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:
n21n2
1n2
1kk
1n2
k2
1n2
1
1n2
n2
xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2(
+
+

+++
++++=+

(2)
0,25
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1n21n2
1n2
2kk
1n2
k3
1n2
2

. Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một
đỉnh là M( 4; 3),
0,25
Giả sử phơng trình chính tắc của (E) có dạng:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm
( ) ( ) ( )
15ba0;5F;0;5F
222
21
=
0,25
( ) ( ) ( )
2bab16a9E3;4M
2222
=+
Từ (1) và (2) ta có hệ:




để AM ngắn nhất
1 điểm
Chuyển phơng trình d về dạng tham số ta đợc:





+=
=
=
3
1
32
tz
ty
tx

Gọi I là giao điểm của (d) và (P)
( )
3;1;32 + tttI
Do
( ) ( )
4;0;1105)3()1(232 ==++ IttttPI
0,25
* (d) có vectơ chỉ phơng là
)1;1;2(a
, mp( P) có vectơ pháp tuyến là
( )
1;2;1 n

( )
u;3u;u1AM
0,25
AM ngắn nhất
AM
0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM =++=

3
4
u =
. Vậy







3
16
;
3
4
;
3
7
M
0,25
VIIb Giải hệ phơng trình:
1 điểm

yxx
x
xxyx
x








=

=









=+
=


xy
x


xy
x
31
1
thay y = 1 3x vào (1) ta đợc:
2.322
1313
=+
+ xx

Đặt
13
2
+
=
x
t
Vì
1

x
nên
4
1
t
( )
( )
[ ]







=
=
11
8
logy
0x
2
và
( )
[ ]





+=
+=
)83(log2y
183log
3
1
x
2
2
0,25