Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
1

ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC
DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

Tài liệu này gồm nhiều phần ñược sưu tầm trên Internet, với sự chia sẻ của các thầy cô
giáo dạy Toán THPT.
chỉ Tập hợp chúng lại ñể bạn ñọc dễ dàng ôn tập.
Tuy nhiên do một số Tác giả không ñể lại tên trong Tài liệu của mình nên chúng tôi không thể kể
hết. Xin gửi lời cảm ơn tới các thầy Trần Mạnh Tùng (THPT Lương Thế Vinh), Phan Phú Quốc
(THPT Phan Châu Trinh), và các thầy cô khác ñã chia sẻ những Tài liệu của mình.

*****

Giới Hạn Hàm Số

Bài 1 : ðịnh nghĩa Và Một Số ðịnh Lý
1.Giới hạn tại một ñiểm :
Ví dụ: Cho hàm số f(x) =
3 2
5 4
x
x
−
+
và dãy số (
n
x
) biết
2 1

x
) (
0
( ; ), ,
∈ ≠ ∀ ∈
n n
x a b x x n N
) sao
cho lim
n
x
=
0
x
thì lim f(
n
x
) = L .
Ta viết :
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
b) Giới hạn vô cực
:
ð.n :
0


0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ).
lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ).
lim ( )
( )
lim (lim ( ) 0).
( ) lim ( )
→ → → → →
→
→
→ →
→
± = ± =
= ≠
x x x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
f x g x f x g x f x g x f x g x
f x
f x
g x
g x g x
0

=
→
lim
. Với C là hằng số .
•

nn
ax
ax =
→
lim

Bài 1
: Tính các giới hạn sau :
a) )3(lim
2
+
→
x
x
, b) )523(lim
34
1
+−+
→
xxx
x
, c)
6
3

x - x x -
8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1) 2x -1 - x
a) lim b) lim c) lim
3x + x + 2 (3x + 2)
27x + x - 3
x
→ ∞ →+∞ → ∞
−Bài 2 : Giới Hạn Một Bên
1
.ðịnh nghĩa
:
a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (
0
x
; b) .
0
0 0n n
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L x b x f x L
+
→
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =

b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a;
0

→
)(lim .
3. Một số kết quả :
2 2 1
0 0 0
1 1 1
lim (k Z) , lim , lim
k k k
x x x
x x x
= − −
+
→ → →
= +∞ ∈ = +∞ = −∞Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau

2 2
6 3
6 2 3 2 6
1
5 9
+ - + -
x 1 x x x 1
| |
1.lim x - 1 2. lim 3. lim 4. lim
x x x x x
x
x x x

2
2 2
5 1 2 1 5
4 3 1 6 8 6 5 5
1
1
6 5
5
5 6
- - -
x x x x x
. lim 2. lim 3. lim 4. lim 5. lim
| |
x x x x x x x x
x
x x
x
x x x x
− −
→ → → → →
+ − − − + − + −
−
− +
−
− + −

2. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2
2
4 5




>
−
+
≤++
1,
7
1,52
2
x
x
mx
xxx

Tìm m ñể hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn ñó .

Bài 3 : Khử Các Dạng Vô ðịnh Các dạng vô ñịnh :
Khi tính giới hạn của hàm số ta gặp các giới hạn sau : ∞×∞−∞
∞
∞
0,,,
0
0
gọi là dạng vô ñịnh . Khi
ñó ta không sử dụng ñược các ñịnh lý về giới hạn và cũng không biết giới hạn này là bao nhiêu .ðể

→
=
)(
)(
lim
1
1
xg
xf
ax→
, sau ñó tính bình thường .
Bài Tập

Bài 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
4
lim
2
2
−
−
→
x
x
x
b)
8
4
lim

2
2
2
1
+−
+−
→
xx
xx
x

Bài 2 : Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x
xx
x
2
42
lim
2
3
2
+
+−
−→
b)
6
293
lim

1
23
lim
2
1
−
−+
→
x
x
x
b)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
c)
1
26
lim
2
3
2
−

−+++
→

Vấn ñề 2: Khử Dạng Vô ðịnh
∞
∞

Phương pháp : Giả sử
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
có dạng
∞
∞
. Ta khử dạng này như sau :
• Chia cả tử và mẫu cho x
k
là số hạng có số mũ lớn nhất của tử và mẫu.
Bài tập
Bài 4 : Tính các giới hạn sau :
a)
2
4
32
lim
3
+

x
x
x
d)
2
4
7
1032
lim
2
2
+
+
++
∞→
x
x
xx
x

e)
2
4
)53)(32(
lim
3
2
+
+
++


Bài Tập

Bài 5 : Tính các giới hạn sau
a)
)1(lim
2
xx
x
−+
+∞→
, b)
)1(lim
2
xx
x
−+
−∞→
, c)
)4(lim
2
xxx
x
−−
∞→
d) )
1
2
1
1

2
1
(lim
32
1
−
−
−
+
→
x
x
x
x
Vấn ñề 4: Giới Hạn Hàm Số Lượng Giác
Phương pháp : Sử dụng ñịnh lý sau :
• ðịnh lý : 1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
• Hệ quả: Nếu 0)(lim =

x
x
x
5
sin
2sin
lim
0→
d)
2
0
2cos1
lim
x
x
x
−
→

e)
22
2
1
)1(
)1(sin
)1(lim
−
−
+
→

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Các dạng vô ñịnh:
1. Giới hạn của hàm số dạng:
(
)
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
 
 
 

o
Nếu f(x) , g(x) là các hàm ña thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)
2
.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng:
(
)
( )
lim
x
f x
g x
→∞

. Ta biến ñổi về dạng:
∞
 
 
∞
 

4. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
 
− ∞ ∞
 

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
5

o ðưa về dạng:
(
)
(
)
( ) ( )
lim
x
f x g x
f x g x

)
(
)
( )
2
2 2 2
2 1
3 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = − = − =
− −
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
3.

(
)
(
)
(
)
( )( )( )

(
)
( )
(
)
( )
3 3
3 3 3 3 3 3.3 3
6 1
lim lim
12 2
3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
x x
x x x
x x x
→ →
− + + +
= = = = =
− + + + + + +

4.

2
3
3 1
lim
3
x
x x
x

−

− +

= −∞

−


5.

(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )( )
2 2
3 2
2
3 2
1 1 1
1 2 1 2 1
2 1
lim lim lim
4 5 2 1 2
1 2
x x x

x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
− +
= = = =
+
+
+

7.

1
lim 1 0
x
x
+
→
− =

8.

2
2
2

 
+
= = = − + = −
 
 
 
.
10.
Cho hàm số :
( )
(
)
( )
2
3 x 1
x+a
x>1
x
x x
f x

− + ≤

=



. Tìm a ñể hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và
tìm giới hạn ñó.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

 
= = +
 

Vậy
(
)
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a
→
 
= ⇔ + = ⇔ =
 

11.

(
)
(
)
( )
2
3
2
2 2 2
2 2 4
8
lim lim lim 2 4 12

lim lim lim
1
2 1
2 1 2
2
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
→∞ →∞ →∞
+ −
+ −
+ −
= = =
+
+
+
. Dạng
∞
 
 
∞
 
.
13.


 2
3
3
1 1
2 3
6
lim 6
1
1
1
x
x x
x
→∞
 
− +
 
 
= = =
+

14.

(
)
(
)

3 3
1 1
x x x
x
x
x x
x x x x x x
x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+
= = = =
+ + + + + +
+ + +
. Dạng
(
)
∞ − ∞Bài Tập Tính ðạo Hàm

Bài 1: Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của hàm số: y =
2x 1
−
tại x
0
= 5

7

• Ta có:
y
x
∆
∆
=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi ñó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
=
(
)
(
)
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3

=
+
liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có ñạo hàm tại ñiểm ñó.
HD: Chú ý ñịnh nghĩa:
x
=
x
,neáu x 0
-x ,neáu x<0
≥




Cho x
0
= 0 một số gia
∆
x
∆
y = f(x
0
+
∆
x) –f(x
0
) = f(
∆

x
+
∆ →
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim
x x 1
+
∆ →
∆
∆ ∆ +
=
( )
x 0
1
lim
x 1
+
∆ →
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,


− ≥




không có ñạo hàm tại x
0
= 0, nhưng liên
tục tại ñó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
= 2

x 0
lim f (x)
−
∆ →
=1; f(0) = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=
x 0
lim f (x)
−
∆ →
= f(0) = 1
⇒
hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥


−


−
= 0; f(0) = cos0 = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
→
≠
x 0
lim f (x)
−
→

⇒
hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián ñoạn tại x
0
= 0)
Bài 7: Tính ñạo hàm các hàm số sau:
1. y = (
2
x
-3x+3)(
2
x
+2x-1); ðs: y’ = 4x
3
-3x
2

 
+
( )
2
3x x 1 '
x
 
+ −
 
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 
 
=
2 1
3x
x
2 x
 
 
+
 
 

y =
(
)
(
)
3
2
3
x 2 1 x 3x
+ + +
5.

y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); ðs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6.

y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x

+ −

10.

y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; ðs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )
− +

11.

y = cos
2
1 x
1 x
 
−
 
 
+
 
; ðs:

sin x cos x
−
+
; ðs:
2
2
(sin x cos x)
+

15.

y =
2
sin 3x
sin x.cos x

518) y = f(x) =
x
1 cos x
−
; y’ =
( )
2
1 cos x x sin x
1 cos x
− −
−

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
9

4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1
cos x

527) y = f(x) = cosx
3
1
cos x
3
− ; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1

 
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
   
+ + +
   
   

672) y = f(x) = 3cos
2
x –cos
3
x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos 2x
; y’ =
2
2sin 2x
cos 2x

+ +
; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +

694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x
18 24
− ; y’ = sin
5
3xcos
3
3x
705) y = f(x) = cosx.
(
)
2
1 sin x
+ ; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x
−

713) y = f(x) =
2
1
1 sin x
+
; y’ =
( )
3
2
sin 2x
2 1 sin x
−
+

721) y = f(x) = sin
2
x.sinx
2
; y’ =2sinx(xsinx.cosx
2
+cosx.sinx
2
)
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
10

722) y = f(x) =
2cos x
cos 2x
; y’ =

x)(cosx)’+(cos
2
x)’
= 6sinxcos
2
x-3sin
3
x-2cosxsinx =sinx(6cos
2
x-3sin
2
x-2cosx)
Bài 3.
Cho hàm số : y =
2
x
x x 1
+ +

Tìm TXð và tính ñạo hàm của hàm số ? TXð: D = R
y’ =
2
2
2
2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1
+
+ + −

+(cos
2
x)
3
+3sin
2
xcos
2
x= (sin
2
x+cos
2
x)(sin
4
x-sin
2
xcos
2
x+cos
4
x) +3sin
2
xcos
2
x
= [(sin
2
x)
2
+[(cos

x
= 1
⇒
y’ = 0 (ñpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin
5
x.(sinx)’ +6cos
5
x.(cosx)’+3[(sin
2
x)’.cos
2
x+sin
2
x(cos
2
x)’]
= 6sin
5
x.cosx -6cos
5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos
2
x+sin
2
x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos

+
 
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 
 
-2sin
2
x.
Bài 5:
Cho hàm số y = f(x) = 2cos
2
(4x-1)

2
2
x x 1
+ + ; (1+
2
x
)y"+xy'-4y = 0
Bài 7:
Cho hàm số
y= f(x) = 2x
2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ ñó tính f’(0) và f”(
π
). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài 8:
Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2
−
cos
2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
11

Bài 9:
Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+

60
x
− +
4
64.3
x
== 3
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 
 

f’(x) = 0
⇔
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 
 
= 0
⇔
x
4

sin
y x
=
có TXð:
D
=
¡
;
TGT:
[
]
1;1
−
;
Tuần hoàn với chu kì:
2
T
π
=
là hàm số lẻ
* Hàm số
cos
y x
=
có TXð:
D
=
¡
;
TGT:

Tuần hoàn với chu kì: T
π
=
; là hàm số lẻ

* Hàm số
cos
y x
=
có TXð:
{
}
\ ;
D k k
π
= ∈
¡ ¢
;
TGT:
¡
;
Tuần hoàn với chu kì: T
π
=
; là hàm số lẻ
Giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt:

(
)
0 0

120
3
o
π

(
)
3
135
4
o
π

(
5
150
6
o
π

(
)
180
o
π

sin
α

0

1
2

0
1
2
−

2
2
−

3
2
−

-1
tan
α

0
1
3

1
3



3

Góc

Hàm
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
12

2. Các hằng ñẳng thức lượng giác cơ bản

2 2
sin cos 1
α α
+ =

tan .cot 1
α α
=2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

2
2
1

α
) = sin
α
cos(
π
-
α
) = - cos
α

tan(
π
-
α
) = - tan
α
cot(
π
-
α
) = - cot
α

c. Cung phụ nhau

sin cos
2
π
α α
 

 

d. Cung hơn kém
π
ππ
π(
)
sin sin
π α α
+ = −

(
)
cos cos
π α α
+ = −(
)
tan tan
π α α
+ =

(
)
cot cot

α α
 
+ = −
 
 

cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 
 

3. Công thức cộng

(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
+ = −(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
− = +


1 tan
x
x
x
=
−

5. Công thức hạ bậc

2
1 cos 2
sin
2
x
x
−
=

2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=

6. Công thức nhân ba

3

( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
x y x y x y
= − + +
 
 ( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
x y x y x y
= − − +
 
 ( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
x y x y x y
= − + +
 
 

8. Công thức biến ñổi tổng thành tích

cos cos
x y
x y
x y
−
− =sin sin 2sin .cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =

(
)
sin
cot t
sin sin
x y
x co y
x y
−
+ =sin sin 2cos .sin
2 2
x y x y

sin cos .sin .cos
a x b x a b x a b x
α α
− = + − = − + +

ðặc biệt:

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
   
   sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
− = − = − +
   
   

Mở rộng:

2
cot tan

α
=
ta có:

2
2
sin
1
t
t
α
=
+

2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+

2
2
tan
1

2
x k k
π
π
≠ + ∈
¢

- Hàm số:
cot
y x
=
xác ñịnh với mọi ,x k k
π
≠ ∈
¢

Ví dụ: Tìm TXð của hàm số:
1
sin
4
y
x
π
=
 
−
 
 

Lời giải:

+
=
−

Lời giải:
Hàm số xác ñịnh khi: ,
cot 1
4
x k
x k
k
x
x k
π
π
π
π
≠

≠


⇔ ∈
 
≠
≠ +



¢

x
y
x
=
−

4)
cot 2
y x
=
5)
2
1
cos
1
y
x
=
−
6)
cos 1
y x
= +

2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
(
)
y f x
=
:

lẻ
( ) ( )
x D x D
f x
∀ ∈ ⇒ − ∈


⇔

= −


(D lµ tËp ®èi xøng)
f -x

* Phương pháp giải:

Bước 1:
Tìm TXð D của hàm số


Nếu D không là tập ñối xứng thì ta kết luận ngay hàm số
(
)
y f x
=
không chẵn, không
lẻ.



thì hàm số
(
)
y f x
=
là hàm lẻ.


Nếu
(
)
(
)
f x f x
− ≠ ±
thì hàm số
(
)
y f x
=
là hàm không chẵn, không lẻ.
Lưu ý tính chất:
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
15

*
(
)
:sin sin
x x x

x k k x x
π
∀ ∈ ∈ − = −
¡ ¢Ví dụ:
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
sin 3
y x
=

Lời giải:
TXð:
D
=
¡
là tập ñối xứng
x x
∀ ∈ ⇒ − ∈
¡ ¡

Ta có:
(
)
(
)
(
)
(

= −

3. Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lượng giác:
* Phương pháp giải:
Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến ñổi biểu thức của hàm số ñã cho
về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:
1) Hàm số
sin , cos
y x y x
= =
có chu kì
2
T
π
=

2) Hàm số
tan , cot
y x y x
= =
có chu kì
T
π
=
.
3) Hàm số
(
)
(
)

=

5) Hàm số
1
f
có chu kì
1
T
, hàm số
2
f
có chu kì
2
T
thì hàm số
1 2
f f f
= +
có chu kì
(
)
1 2
,
T BCNN T T
=

Ví dụ:
Tìm chu kì của hàm số
3 1
cos 2

Phương pháp:
Dựa vào TGT của các hàm số lượng giác

Chú ý:
* Hàm số
sin , cos
y x y x
= =
có TGT là:
[
]
1;1
−

* Hàm số
tan , cot
y x y x
= =
có TGT là:
¡

Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3 1 cos
y x
= − −
Lời giải:
Ta có
1 cos 1 0 1 cos 2 0 1 cos 2 0 1 cos 2
x x x x

 
= + −
 
 

3)
2
cos 2cos2
y x x
= + 3)
2cos 1
y x
= +
5)
2 sin
y x
= −
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản* Dạng 1:
sin
x a
=

(
)
1
a

= ⇔ ∈

= − +

¢

Tổng quát:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
sin sin ;
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
π
π π
= +
= ⇔ ∈

= − +


¢
)
cos cos 2 ;
f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = ± + ∈
¢* Dạng 3:

tan
x a
=

;
2
x k k
π
π
 
≠ + ∈
 
 
¢
nghiệm tổng quát: ;
x k k
α π
= + ∈
¢


x k k
π
≠ ∈
¢
nghiệm tổng quát: ;
x k k
α π
= + ∈
¢

ðặc biệt: cot cot ;
x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
¢

Tổng quát:
(
)
(
)
(
)
(
)
cot cot ;
f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = + ∈
¢

4
3
x
π
 
− =
 
 
6)
cos 3 sin
x x
=
Lời giải
1) Ta có
2 2
1
3 6
cos2 cos 2 cos ,
2 3
2 2
3 6
x k x k
x x k
x k x k
π π
π π
π
π π
π π
 


= ⇔ = − ⇔
 
 
 

= − − +
 

 


Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
172
10 5
,
2
2
k
x
k
x k
π π
π
π

= +

π
π π π
π π
π
3

− = + +

   
⇔ − = + + ⇔

   
3
   

− = − − +



2
,
2
6 3
x k
k
k
x
π π
π π
= +

 
⇔ ⇔ ∈
  
≠

 
≠
≠


¢

Ta có:

tan 3 cot tan 3 tan 3 ,
2 2 8 4
k
x x x x x x k x k
π π π π
π
 
= ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = + ∈
 
 
¢

Ta thấy nghiệm trên thoả mãn ñiều kiện. Vậy phương trình có một họ nghiệm.
5) ðiều kiện:
sin 0 ,
4 4 4

π
= ⇔ = = ⇔ = + ∈
¢

Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập tương tự: giải các phương trình sau:
1)
2 cos2 1 0
x
− =
2)
sin cos3
x x
=
3)
cos sin 3 0
3 4
x x
π π
   
+ + + =
   
   

4)
tan 2 cot
4
x x
π
 


* Cách giải:
Bước 1: ðặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình;
Bước 2: ðặt ñiều kiện với ẩn phụ t;
Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn ñiều kiện);
Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ⇒ nghiệm x

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
18

Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
1)
2
2cos 5cos 3 0
x x
− + =
2)
2
1 5sin 2cos 0
x x
− + =

3)
2
3 cot 4cot 3 0
x x
− + =
4)
2
3


= >

(lo¹i)

Vậy t = 1 ⇒ cos 1 2 ,x x k k
π
= ⇔ = ∈
¢

Phương trình có một họ nghiệm
2) Ta có:

(
)
2 2 2
1 5sin 2cos 0 1 5sin 2 1 sin 0 2sin 5sin 3 0
x x x x x x
− + = ⇔ − + − = ⇔ + − =sin 3
2
1
6
sin ,
1
5
2
sin

(
Chú ý: ta có thể không cần ñặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ
này)
3) ðiều kiện: sin 0 ,x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈
¢

ðặt
cot
x t
=
, khi ñó phương trình trở thành:

2
3 cot 3
6
3 4 3 0 ,
1 1
cot
3 3
3
t x x k
t t k
t x
x k
π
π
π
π

2 2
2
3
4 tan 2 0 3 1 tan 4 tan 2 0 3tan 4 tan 1 0
cos
x x x x x
x
− − = ⇔ + − − = ⇔ − + =tan 1
tan tan
4
,
4
1
1
tan
tan tan
(tan )
3
3
x
x k
x
k
x
x
x k
π

cos2 sin 2cos 1 0
x x x
+ + + =
2)
cos2 5sin 2 0
x x
+ + =

Bài 2: (Các phương trình ñưa về phương trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phương trình
1)
cos cos 2 1 sin sin 2
x x x x
= +
2)
4sin cos cos 2 1
x x x
= −

3)
sin 7 sin3 cos5
x x x
− =
4)
2 2
cos sin sin 3 cos 4
x x x x
− = +
5)
2
3

x x
− − =

11)
cos3 cos2 cos sin3 sin 2 sin
x x x x x x
+ + = + +
3. Phương trình bậc nhất ñối với sin x và cos x:

* Dạng phương trình:
sin cos ( , , 0)
a x b x c a b c
+ = ≠
(*)
* Cách giải:
Cách 1:
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b
+
ta ñược phương trình:

2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b




=

+


Khi ñó phương trình (**) trở thành:
2 2
sin cos cos sin
c
x x
a b
α α
+ =
+( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
là phương trình lượng giác cơ bản ñã biết cách giải!
Chú ý: ðiều kiện ñề phương trình có nghiệm là:

( )
2
2 2 2
1 3 2
a b
+ = + =
. Chia hai vế của phương trình cho 2 ta ñược phương trình:
1 3 1 1
sin cos sin cos cos sin sin sin
2 2 2 3 3 2 3 6
x x x x x
π π π π
 
+ = ⇔ + = ⇔ + =
 
 2
2
3 6
6
,
2 2
3 6
2
x k
x k
k
x k x k


Có:
( )
2
2 2 2
12 5 169 13
a b
+ = − + = =
. Chia hai vế phương trình cho 13 ta ñược phương trình :

12 5
sin cos 1
13 13
x x
− + =

Vì
2 2
12 5
1
13 13
   
− + =
   
   
. ðặt
12 5
cos ; sin
13 13
α α

x x
+ =
4)
3 sin 3 cos3 2
x x+ =

4. Phương trình thuần nhất ñối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình:
2 2
sin sin cos .cos 0
a x b x x c x
+ + =
(*)
* Cách giải:

Cách 1:
Bước 1: Nhận xét
cos 0
x
=
hay ,
2
x k k
π
π
= + ∈
¢
không là nghiệm của phương trình;
Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho
2

)
2 2
sin sin cos cos 0
a d x b x x c d x
⇔ − + + − =
.
ðây là phương trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải các phương trình:
1)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0
x x x x
− + =

2)
2 2
2sin 5sin cos cos 2
x x x x
− − = −

Lời giải
1)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0
x x x x
− + =

Nhận xét: nếu
2
cos 0

x x k
x
x k
π
π
π

=
= +



− + = ⇔ ⇔ ∈


=

= +



¢

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
21

2)
(
)


2
tan 1
4
4 tan 5tan 1 0 ,
1
1
tan
arctan
4
4
x
x k
x x k
x
x k
π
π
π

=
= +



⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈


=


+ + =

5)
2 2
2cos 3sin 2 sin 1
x x x
− + =5. Phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx

* Dạng phương trình:
(
)
sin cos sin cos
a x x b x x c
+ + =

* Cách giải:
ðặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= + = +
 
 
; ñiều kiện:
2

π π
   
+ = ⇔ + =
   
   
ñã biết cách giải
Ví dụ: Giải phương trình :
(
)
3 sin cos 4sin cos 3 0
x x x x
+ + + =

Lời giải:
ðặt
sin cos 2 sin ;
4
t x x x
π
 
= + = +
 
 
ñiều kiện
2
t ≤

2
1
sin cos

1 2 sin 1 sin sin
4 4 4
2
t x x
π π π
     
= − ⇔ + = − ⇔ + = − = −
     
     

Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
222
2
4 4
,
2
2
2
4 4
x k
x k
k
x k
x k
π π
π
π

π π
   
= − ⇔ + = − ⇔ + = −
   
   1 1
arcsin 2 arcsin 2
4 4
2 2 2 2
,
1 3 1
arcsin 2 arcsin 2
4 4
2 2 2 2
x k x k
k
x k x k
π π
π π
π π
π π π
 
   
+ = − + = − + − +
 
   
   
 

− + =

* Cách giải:
ðặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= − = −
 
 
; ñiều kiện:
2
t ≤

2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇒ = − ⇒ =
Phương trình trở thành:
( )
2
2
1

sin cos 1
x x
− =

3)
(
)
3 sin cos 4sin cos 3 0
x x x x
− − + =

4)
sin cos 4sin 2 1
x x x
− + =

6)
(
)
(
)
1 cos 1 sin 2
x x
+ + =

7)
(
)
3 sin cos 2sin cos 3 0
x x x x

⊥
(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC.
Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a.
SO
⊥
(ABCD)
b.
IJ
⊥
(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA
⊥
(ABCD). Gọi H, I,
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A lên SB, SC, SD.
a.
Chứng minh rằng: CD
⊥
(SAD), BD
⊥
(SAC)
b.
Chứng minh: SC
⊥
(AHK) và ñiểm I cũng thuộc (AHK)
c.
Chứng minh: HK
⊥
(SAC), từ ñó suy ra HK

=
2
a
. Gọi H, K lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, AD.
a)
Chứng minh: SH
⊥
(ABCD)
b)
Chứng minh: AC
⊥
SK và CK
⊥
SD
7. Gọi I là 1 ñiểm bất kì nằm trong ñường tròn (O; R). CD là dây cung của ñường tròn (O) qua I.
Trên ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy ñiểm S với OS = R. Gọi E là
ñiểm ñối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng:
a)
Tam giác SDE vuông ở S
b)
SD
⊥
CE c) Tam giác SCD vuông.
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8.
Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với ñáy DBC. Vẽ các ñường cao
BE, DF của tam giác BCD; ñường cao DK của tam giác ACD
a)
Chứng minh: AB
⊥

⊥
(ABCD); (SAC)
⊥
(SBD)
b)
Một mặt phẳng (
α
) ñi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh AC
’
⊥
B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ ñối xứng với nhau qua mặt phẳng
(SAC)
11. Cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối xứng với A qua I. Dựng
ñoạn SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a)
Mặt phẳng (SAB)
⊥
(SAC)
b)
Mặt phẳng (SBC)
⊥
(SAD)
12. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2
3

Loại 3: Góc của 2 ñường thẳng:
15.
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA
vuông góc với AB và AD, SA =
2 3
3
a
. Tính góc của 2 ñường thẳng:
a)
SB và DC (30
0
)
b)
SD và BC (cos
α
=
42
14
)
16. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh a, gọi I là trung ñiểm cạnh AD.
Tính góc giữa AB và CI (cos
α
=
3
6
)
17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Tính góc giữa: AB
’ và BC’; AC’ và CD’ (60
0

7
tan
7
α
 
=
 
 

c)
SB với (SAC)

14
sin
14
α
 
=
 
 

19. Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB.
a)
Chứng minh SI
⊥
(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)

15
tan

=
 
 

20. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với ñáy. Gọi M, N
lần lượt là trung ñiểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
0

a)
Tính MN, SO

10 30
;
2 2
a a
MN SO
 
= =
 
 

b)
Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD)

2
sin
5
α
 
=

α
= 3)
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB
’A’) và mặt ñáy
(
)
tan 2 3
α
=