Ngày 3/ 7/ 2007
Ôn tập hè 2007
(Lớp 8 lên 9)
bài 1: Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của
nó
A- Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử
I- Kiến thức cần nhớ:
Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.
- Phơng pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).
- Phơng pháp nhẩm nghiệm của đa thức.
II- Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. 36 12x + x
2
b/. xy + xz + 3y + 3z
c/. x
2
16 4xy + 4y
2
d/. x
2
5x 14 (ĐS: 7; 2)
Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Ta tách hạng tử bx thành b
1

c/. 2x
2
6x + 4 (ĐS: 4; 2)
d/. x
2
- x 2004. 2005 (ĐS: 2004; 2005)
e/. 5x
2
+ 6xy + y
2
(ĐS: 3y; 2y)
* áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là
một trong các ớc của hạng tử tự do).
Bớc 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:
F(x) = (x a) P(x)
Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x a .
Bớc 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc, sau đó viết kết quả cho
hợp lý.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x
3
x
2
4
Giải:
Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0
Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x)

x 2
Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thơng khi chia F(x) cho x 2

6
x
6
+ x
5
+1 = = (x
2
+ x + 1)(x
5
+x
4
x
3
1) = =
= (x + 1)
2
(x 1)(x
3
+ x
2
+ x 1)
b/. x
11
+ x + 1 = x
11
x
2
+ x
2
+ x + 1 = x

+ 11n
2
+ 6n

24 với mọi n

N
Giải:
Phân tích thành nhân tử A = n(n
3
+ 6n
2
+11n + 6)
Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n
3
+ 6n
2
+11n + 6 thành nhân tử
A = n(n + 1)( n
2
+5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)
Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;
n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4

A

8
Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A


+ + 1)
M N
= 21M + 56 N
Mà 21M

7 ; 56N

7

A

7
Cách 2: Dùng đồng d:
Ta đã biết :
56 0(mod 7)
55 1(mod 7)
1 1(mod 7)






Mặt khác
22 55
22 1(mod 7)
22 55 0(mod 7)
55 1(mod 7)



= (a + b)
3
- 3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta đợc :
A = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
3abc
= [ ( a + b)
3
+ c
3
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [ (a + b)
2
(a + b)c + c
2
- 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c

A chia hết cho a + b + c
II Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức:
Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:

( 2)( 3)( 4) 3
( 2)( 1)( 4) 1
x x x x
x x x x



Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:
A =
3 2
3 2
3 3x x x
x x


Giải:
B =
2
2
( 3) ( 3)
( 1)
x x x
x x


2
( 3)( 1)( 1)
( 1)
x x x
x x


A

24
Bài 7 : cho a+b+c = 0 chứng minh a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Giải:
Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0

a
3
+b
3
+c
3
3abc = 0

a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Bài 8: Rút gọn các phân thức:


8 1
( 1)
x
x x


)
III Giải phơng trình, bất phơng trình:
Bài 9: (Bài 1 - đề thi cấp 3 năm 2007)
1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1
2/. Giải phơng trình: x
2
3x + 2 = 0
Bài 10: Giải phơng trình: (x
2
1)(x
2
+ 4x + 3) = 192
Giải:
Biến đổi phơng trình đã cho đợc: (x 1)(x + 1)
2
(x + 3) = 192

(x + 1)
2
(x 1) (x + 3) = 192

(x
2

4x + 2x 8 < 0

(x 2)(x + 2) < 0
Lập bảng xét dấu:
x - 2 4
x + 2 - 0 + +
x - 4 - - 0 +
(x+2)(x- 4) + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phơng trình là: - 2 < x < 4 .
Bài tập về nhà:
Làm bài 80 88(42, 43) ÔTĐ8.
Ngày tháng năm 2007
Bài 2 :
Luyện tập về phép chia đa thức
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Cánh chia các đa thức bằng các phơng pháp khác nhau.
- Nội dung và cách vận dụng định lý Bơdu.
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính
bỏ túi.
- HS: + Ôn tập về phép chia các đa thức.
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
GV kiểm tra việc làm bài 80 88(42, 43)
ÔTĐ8 của HS. Chữa bài.
Nêu cách chia hai đa thức đã sắp xếp theo
lũy thừa giảm dần của biến?

2
+ bx + 1
Q(x) = 2x
2
- 4x c
Nếu P(x) = Q(x)

a = 2; b = - 4;
c=- 1
Bài 3: Với giá trị nào của a, b thì đa thức:
F(x) = 3x
3
+ax
2
+bx + 9 chia hết cho g(x) =
x
2
9. Hãy giải bài toán bằng 2 cách khác
nhau.
HS: Ghi vào vở của mình.
HS làm bài 1:
Theo định lý Bơdu phần d trong phép chia F(x)
cho x 1 là F(1)
F(1) = 1
2005
+ 1
10
+ 1 = 3
Bài 2:
Theo định lý Bơdu thì F(x)

2
+bx + 9
= P(x).(x + 3)(x 3) (1)
Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên lần lợt
cho x = 3 và x = - 3, ta có:
90 9 3 0 1
72 9 3 0 27
a b a
a b b






III Tìm kết quả khi chia đa thức F(x)
cho nhị thức x a bằng sơ đồ Hoocne .
(Nhà toán học Anh thế kỷ 18)
Nếu đa thức bị chia là F(x) = a
0
x
3
+ a
1
x
2
+
a
2
x + a

0
b
1
= ab
0
+a
1
b
2
= ab
1
+a
2
r=
ab
2
+a
3
mọi x.

9 9 0 1
2 7 0 2 7
a a
b b









HS làm bài 4:
Chia các đa thức:
a. (x
3
5x
2
+8x 4) : (x 2)
b. (x
3
9x
2
+6x + 10) : (x + 1)
c. (x
3
7x + 6) : (x + 3)
Đáp số:
a. x
2
- 3x + 2

HS: Chữa bài tập đã ra ở tiết trớc
HS:
Nêu định nghĩa; tính chất cơ bản của phân thức.
Nêu cách rút gọn phân thức
Hoạt động 2: Luyện tập
GV cho HS củng cố lại kiến thức đã học trong
năm học bằng cách nêu những câu hỏi
I Kiến thức cần nhớ:
I Kiến thức cần nhớ:
1. ĐN: Phân thức đại số là biểu thức dạng
A
B
,
trong đó A, B là các đa thức;
B

0.
2. Hai phân thức
A C
B D

nếu A. D = B. C
3.Tính chất cơ bản của phân thức:
.
.
A A M
B B N

(M





Bài 2: a, Chứng minh:
2 2
2 2
x y x y
x y
x y




với x > y > 0
b. So sánh:
2005 2004
2005 2004
M



và
2 2
2 2
2005 2004
2005 2004
N




2
6x + 1)

A(3x 1) = (3x + 1)(3x - 1)
2

A = 9x
2
1
b. A(x
2
+ 4x +4) = (x
2
4)(x
2
+ 3x + 2) hay
A(x + 2)
2
= (x + 2)
2
(x 2)(x + 1)

A = (x 2)(x + 1) = x
2
x 2
Bài 2:
Bài 3: HS làm và đa ra đáp số nh sau:
2
2
5 (1 2 )

4 8 3 6
.
12 4 9 3
1
.
2 2
x x x
a
x x x
x
b
x x x




Bài 2: Cho
1 1 1
0
x y z

. Tính
2 2 2
yz xz xy
A
x y z

( Gợi ý: áp dụng kết quả: Cho a + b
+ c = 0 suy ra a
3

xác định khi nào?
H? Phân thức M bằng 0 khi nào?
HS đọc cách làm các bài tập về nhà .
Hoạt động 2: Luyện tập
GV cho HS ghi lại các kiến thức cần ghi nhớ:
Bài 1: Cho biểu thức:
2
3
6 1
6 3 2
4
x
A
x x
x x



a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu
thức A đợc xác định.
b. Rút gọn A.
c. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A
bằng 2.
Bài 2 (B53(26)- SBT8)
Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức
2 3 4
3 2
4 4
2
x x x


tại x = 1000 001
HS ghi:
Xét phân thức của biến x:
( )
( )
A x
M
B x

+ Phân thức xác định khi B(x)

0, từ đó suy
ra x = .
+ Phân thức M = 0 khi
( ) 0
( ) 0
A x
B x





+ Phân thức M có giá trị dơng khi A(x); B(x)
cùng dấu.
+ Phân thức M có giá trị âm khi A(x) và B(x)
trái dấu.
HS giải TT bài 1:
a.

a. ĐS: Rút gọn đợc phân thức
3 1
x
x
(ĐK:
x

1/ 3 ; ĐS: 8/ 25 )
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để tại
đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số
nguyên:
3 2
2 3 4 1
/ ; /
3 4
x x x
a A c C
x x
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
4 1x x
A
x


GV hớng dẫn HS làm: A = 1 -

x


*HS làm bài 5 và đa ra ĐS:
GV hớng dẫn HS làm: A = 1 -
2
4 1
x
x

Đặt
1
x
= y

A = y
2
4y + 1 = (y- 2)
2
3

- 3

minA = - 3

y = 2 hay
x = 1/ 2 .
Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa.
- Làm bài tập sau:

x x
A
x x



(ĐS: Amin = 3/ 4

x = 3 )
Ngày tháng năm 2007
Bài 5 :
luyện tập các phép tính về phân thức
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Vận dụng tốt tính chất của phân thức để thực hiện các phép tính về phân thức.
- Làm thành thạo bài tập chứng minh đẳng thức.
- Làm bài tập tổng hợp liên quan đến giá trị phân thức.
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính
bỏ túi.
- HS: + Ôn tập về tính chất của phân thức, các phép tính về phân thức.
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
H? Nêu thứ tự thực hiện các phép tính về
phân thức?
H? Nêu cách chứng minh đẳng thức?
HS: làm trong ngoặc trớc, rồi đến nhân
chia, đến cộng trừ.

x
c C x
x x
x x x x
d D
x
x x x x


















Bài 2:
2 2
2 2 2 2
2
/








Bài 3: Cho a + b + c = 0 (1); abc

0 (2)
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
1
0
b c a c a b
a b c

GV gợi ý HS làm
Bài 4: B44(90)ÔT

b
c
x
x
d
x x





HS làm bài 2: Biến đổi vế trái để đợc kết quả
là vế phải.
HS làm bài tập 3: Sử dụng biểu thức (1)

a
2
=
b
2
+ c
2
+ 2bc .
Thế vào mẫu thứ nhất ta đợc 2bc
Thế vào mẫu thứ hai ta đợc 2ac
Thế vào mẫu thứ ba ta đợc 2ab.
Tiếp theo, tính tổng 3 phân thức sẽ suy ra kết
quả.
HS làm bài 5 và đa ra đáp số:
a.

bài tập
Hoạt động 2: Luyện tập
I Kiến thức cần nhớ:
H? Nêu cách giải PT bậc nhất một ẩn?
H? Nêu cách giả PT chứa ẩn ở mẫu ?
HS ghi kiến thức cần nhớ:
Cách giải các dạng PT:
1. PT bậc nhất 1 ẩn:
ax + b + 0 ( a

0)

x = - - b/ a
2. PT chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm ĐKXĐ.
H? Nêu cách giải PT tích ?
H? Nêu cách giả PT chứa ẩn ở mẫu?
II Bài tập :
Bài 1: Giải các PT sau:
+ Quy đồng, khử mẫu đa về PT bậc nhất hoặ
ctích các biểu thức bậc nhất.
3. PT tích:
A(x).B(x) = 0 (1)

( ) 0(2)
( ) 0(3)
A x
B x



Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa.
- Làm bài tập tr NCCĐ ; Bài tập tr ÔTH8.