Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
Chơng I - Véc tơ
I. Véc tơ:

Véctơ là một đoạn thẳng có:
+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.
+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)
Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là

; độ dài của

kí hiệu
là

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi
tên nh:


Véctơ không:

là véctơ có:
+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
+ Độ dài bằng 0.
+ Hớng bất kì.

Hai véctơ

gọi là cùng phơng: kí hiệu


bằng nhau: kí hiệu




=
=
-./, Hai véctơ

đối nhau: kí hiệu




=
=
0123
Góc của hai véctơ

là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt
cùng hớng với hai tia AB; CD.
+ Khi

không cùng hớng thì

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có:
=+
(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên
tiếp)
9:.FG,@A,BHH!E
=+
(với ABCD là hình bình hành)
Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của
AB ta luôn có:
( )
II


IJ +=
KLM
- Giao hoán:
+=+
- Kết hợp:
( ) ( )
++=++
- Cộng với không:
=+
- Cộng với véctơ đối:
E@ =+
9NO
E@ +=
Với
+==
A,B.CD
Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có:

DED@ +=+
+)
DDE@D +=+

+)

cùng phơng
E@ =
%KR=/3
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
1
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải










=
<
>
=



I1III =++
! Cho hình bình hành ABCD tâm I.
66 ==

a. Chứng minh rằng:
J =+
b. Tính

theo

.
!% Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
TUTU ++=++
!( Cho tam giác ABC. I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. CM:
JJJ =++
!* Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Gọi G là trọng tâm của G và
G'. Chứng minh rằng:
V11VVV =++
!- Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh rằng:
IW% =+++
!0 Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng
tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
6 =++
b)
161 =
!X Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong
tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng:

*
(

*

I =
Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng
thức véctơ
*Ph ơng pháp chung:
+ Biến đổi đẳng thức đ cho về dạng: ã
6I =

trong đó O và

đ biết.ã
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng
một véctơ bằng véctơ

. Khi đó ngọn của véctơ này chính
là điểm M.
*Bài tập áp dụng:
! Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết:
II =
! Cho hai điểm A, B và một véc tơ

. Xác định điểm M
biết:
II =+
! Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N
là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.

b.
WW =+
!0 Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả m n:ã
I ++=
!X Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả m n:ã
6 666 =+++
! Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh
I(I%I +=
không phụ thuộc vị trí của điểm M.
! Cho tứ giác ABCD. Chứng minh chỉ có một điểm M thoả
m n hệ thức: ã
I I(II =++
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
*Ph ơng pháp chung:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng
minh:
EZ@ =
. Để chứng minh đợc điều này ta có thể
áp dụng một trong hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung
gian.
*Bài tập áp dụng:
! Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai
điểm sao cho:
U U ==
a. Chứng minh:
U +=+
b. Tính véctơ:
U Y +++=

b. CMR: J là trung điểm của BI.
!% Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả m n:ã
JJ =
;
\\ =+
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
!( Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả m n:ã
99WII ===+
Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
!* Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J thoả m n:ã
\\\\ \\ =+=+
Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD.
!- Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn
ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. CMR: O, G, H
thẳng hàng.
!0 Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho:
II =
,
WW =
,
99 =+
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau
*Ph ơng pháp chung:
Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong
hai hớng:
Cách 1: Chứng minh
VII =
Cách 2: Chứng minh
V6I6I =

với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng
tròn tâm C, bán kính bằng

.
- Nếu
I =
thì
+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu
Z
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
và cùng hớng

nếu
+
Z
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
và ngợc hớng

nếu

Z
*Bài tập áp dụng:
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả
m n:ã
a.
II


III +=++
b.


MB
=
0
r
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= 1
! Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt
là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA
+

MB


MC
=
0
r
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA
3


c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR:
AJ.ABAD.AC =
phần 2. Hệ toạ độ đề các vuông góc
I. Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:
! Biểu diễn véc tơ
]58, +=
biết a)
E(@,
b)
E%@,
! Xác định toạ độ của véc tơ
,
biết: a)
](, =
b)
, =
c)
]-, =
! Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ

biết
a)
+=
;
E@
;
E%@
b)
( =
;

! Biểu diễn véc tơ

theo các véc tơ

biết:
a)
E(@E@E%@
b)
E@E(@E%@

!% Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H y biểu ã
diễn véc tơ

theo các véc tơ

;

III. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức
véc tơ, độ dài:
! Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho
U =
b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5
c. Tìm tập hợp điểm M biết:
IIIEII@ =+
! Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ
độ:
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA
1


!* Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ
của:
a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp
c. Điểm M biết
II =
!- Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ
điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
!0 Cho điểm A(3;1)
a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và
điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC.
!X Cho M(1-2t; 1-3t). H y tìm điểm M sao cho ã

I

I
58 +
nhỏ
nhất.
IV. Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng
hàng:
! Cho A(0;4); B(3;2).
a. Chứng minh
##
biết C(-6-3t;8+2t)
b. A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi ABD.
! Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ:
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
5

.
!- Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)
a. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.
!0 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ
P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)
!X Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P
tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)
! Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng
khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)
! Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho
A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất
c.

6

6

+
nhỏ nhất.
Bài tập tự luyện:
! Viết tọa độ của các vectơ sau:
a
r
=

= 3
i
r
;
e
r
= 4
j
r
.
! Viết dới dạng
u
r
= x
i
r
+ y
j
r
, biết rằng:
u
r
= (1; 3) ;
u
r
= (4; 1) ;
u
r
= (0; 1) ;
u

r
c/
w
r
= 4
a
r

2
1
b
r
!% Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ

AB
,

AC
,

BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho:

CM
= 2

AB
3

!0 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H y tìm trên ã
trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M.
!X Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ã ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
! Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G
của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC.
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
6
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
CHƯƠNG III , Tích vô hớng
I. Lí thuyết:

( )
#4= =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
44
4
4
0#X#4=
X##4=
X##4=
<<<

( )
JJJJJ +
! Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.
a. Tính

từ đó suy ra:
++
b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ
dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi
AG và BC.
! Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý
trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC.
Tính:
a.
I III +
b.
WW
c.
W6
!% Cho ba véc tơ

thoả m n điều kiệnã
===
và
=++
. Tính:
++=
!( Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH
a. Tính các tích vô hớng


là đờng kính của đờng tròn tâm O, bán kính R.
A là điểm cố định và OA=d. Giả sử AM cắt (O) tại N.
a. Chứng minh rằng tích vô hớng

II
có giá trị không phụ
thuộc M.
b. CMR:
WI
có giá trị không phụ thuộc M.
! Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây
thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng:

UU =+
! Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a.


%

II =
b.




II +=+
! Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng:


=++
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
( ) ( )
IIII =++
b.

III =+
với BC=a.
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
I =

b. I

_I

`

_

a
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
8