NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài
toán tìm cực trị(đại số)
I. Kiến thức cần nhớ
A. khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức.
* Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:

( )f x m³
; tồn tại
0
x DÎ
để
0
( )f x m=
thì m được gọi là GTNN của biểu thức
f(x).
Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi
0
x x=
.
*Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có:
( )f x m£
; tồn tại
0
x DÎ
để
0
( )f x m=
thì m được gọi là GTLN của biểu thức
f(x).
Kí hiệu Max f(x) = m, đạt được khi

2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có
3
. .
3
x y z
x y z
+ +
³
hay
3
3
x y z
xyz
æ ö
+ +
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
3) Mở rộng cho n số không âm
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
ta luôn có:

÷
ç
è ø
dấu “=” xảy ra khi
2
a b
k
a b
a b k
ì
=
ï
ï
= =Û
í
ï
+ =
ï
î
vậy GTLN của a.b là
2
4
k
, đạt được khi
2
k
a b= =
b. theo BĐT côsi ta có:
2 . 2a b a b k+ =³
dấu “=” xảy ra khi

3
x
y
x
= +
.
Giải: Do x > 0 nên
12
0; 0
3
x
x
> >
, áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
12 12
2 . 4
3 3
x x
y
x x
= + =³
, dấu “=” xảy ra khi
2
12
36 6
3
x
x x
x
= = =Û Û

*Ví dụ 3: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức B =
1 1
( )( )a b
a b
+ +
.
Giải: Do a, b > 0 nên
1 1
0; 0
a b
> >
, áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta
có.
2 .a b a b+ ³
;
1 1 1 1 2
2 .
.
a b a b
a b
+ =³
suy ra
B =
1 1 2
( )( ) 2 . . 4
.
a b a b
a b
a b
+ + =³


2 . 2
xy yz xy yz
y
z x z x
+ =³
(1)
Tương tự ta có:
2 . 2
yz xz yz xz
z
x y x y
+ =³
(2)

2 . 2
xz xy xz xy
x
y z y z
+ =³
(3)
Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A
2( ) 2x y z+ + =³
Vậy Min A = 1, đạt dược khi
1
1
3
x y z
x y z
xy yz zx

, áp dụng BĐT
côsi đối với hai số dương
1 1
;
x y
ta có.
1 1 1 1 1
. ( )
2x y x y
+£
suy ra
1 1
4
4
.
xy
x y
£ Þ ³
áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương
;x y
ta được.
A =
2 . 2. 4 4x y x y+ = =³
. Dấu “=” xảy ra khi
4
1 1 1
2
x y
x y
x y

= =£ Þ £ Þ ³
. Nên C =
2
1 1 2 2x y a
x y xy a a
+
+ = =³
. Dấu
“=” xảy ra khi
2x y a
x y a
x y
ì
+ =
ï
ï
= =Û
í
ï
=
ï
î
. Vậy Min C =
2
a
,
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
3
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
đạt được khi x = y = a.

25
4
; đạt được khi
1
2
x =
.
*Ví dụ 8: Tìm GTLN của biểu thức D = (2x + 1)(2 – 3x) với
1 2
2 3
x
-
£ £
.
Nhận xét. Ta chưa thể áp dụng ngay BĐT côsi cho hai số 2x + 1 và 2 –
3x vì tổng của chúng chưa là hằng số, ta sẽ giải như sau.
Giải: Ta có D = (2x + 1)(2 – 3x) =
1 2
2( ).3( )
2 3
x x+ -
, Do
1 2
2 3
x
-
£ £
nên
1 2
0; 0

ç
÷
ç
è ø
, dấu “=” xảy ra khi
1 2 1
2 3 12
x x x+ = - =Û
. Vậy Max D =
49
24
; đạt được khi
1
12
x =
.
3. Dạng toán tìm GTLN và GTNN.
*Ví dụ 9: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A =
5 1x x- + -
.
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là
1 5x£ £
.
Do A > 0, ta có
A
2
= 5 – x + x – 1 + 2
(5 )( 1)x x- -
= 4 + 2
(5 )( 1)x x- -

Giải.
a. Tìm GTLN.
+ Với
4 6x y< + £
thì A
0<
.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
4
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
+ Với
0 4x y+£ £
, áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có.
A =
4
4
2 2
4. . . (4 ) 4 4
2 2 4
x x
y x y
x x
y x y
æ ö
÷
ç
+ + + - -
÷
ç
÷

ï
+£ £
ï
î
2
1
x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
. Vậy Max A = 4, đạt được khi
2
1
x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï

ç
æ ö æ ö
÷
+
ç
÷
÷ ÷
ç ç
ç
= - - =£ £
÷
÷ ÷
ç ç
ç
÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
Suy ra A
64-³
. Dấu “=” xảy ra khi
4
4

x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
III. Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng
vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị.
1. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao
cho tích của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: y =
2
1
2x
x
+
.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
y =
2
1
2x
x
+
=

x x x x x
+ = + + =³
. Dấu “=” xảy ra khi
2 3
1000
1000 10x x x
x
= = =Û Û
. Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10.
*Ví dụ 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức E =
3
2
3
x
x
+
.
Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có
E =
3 3 3 3
3
5
2 2 2 2 2 2 2
5
3 1 1 1 1 1 1 5
5 . . . .
2 2 2 2
4
x x x x
x

( )( ) ( )x a x b x a b x ab ab
x a b
x x x
+ + + + +
= = + + +
P =
2
2 . ( )
ab ab
x a b x a b a b
x x
+ + + + + = +³
. Dấu “=” xảy ra khi
ab
x x ab
x
= =Û
. Vậy Min P =
2
( )a b+
, đạt được khi
x ab=
2. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao
cho tổng của chúng là một hằng số.
*Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm
GTLN của biểu thức Q = x
2
y
3
.

2 3
5
x y
x
x y
y
ì
ï
ì
ï
+ =
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
ï ï
=
ï ï
î
ï
ï
î
Vậy Max Q =

0 1x£ £
, nên 1 – x
0³
. Ta có y =
3
1 1
.3 (1 ) .3 .(1 )(1 )(1 )
3 3
x x x x x x- = - - -
.
áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có
4
3
4
1 3 1 1 1 3
.
3 4 4
x x x x
y
æ ö
+ - + - + -
÷
ç
=£
÷
ç
÷
ç
è ø
. Dấu “=” xảy ra khi 3x = 1 – x hay

x x
x
æ ö
÷
ç
+ + -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
- =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
.
Dấu “=” xảy ra khi
3 2
2
x
x x= - =Û
. Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2

x x x
x x x x x
Z
æ ö
÷
ç
+ + + - + - + - + - + -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
= =£
÷
ç
÷
ç
÷
ç ÷
÷
ç
÷
ç
è ø
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
7
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Dấu “=” xảy ra khi
5 3

2
2
(3 5) (7 3 ) 2 (3 5)(7 3 )
2 (3 5 7 3 ) 4
A x x x x
A x x
= - + - + - -
+ - + - =£
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x hay x = 2. Vậy Max A
2
= 4 suy ra
Max A = 2, đạt được khi x = 2.
*Ví dụ 20: Cho x + y = 15. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
4 3B x y= - + -
Giải: Điều kiện
4; 3x y³ ³
. Ta có
2
4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2B x y x y x y B= - + - + - - = + - - ³Þ³
. Dấu “=” xảy
ra khi
15
( 4)( 3) 0
x y
x y
ì
+ =
ï
ï
Û

x
y
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
*Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A =
xy yz xz
z x y
+ +
với x, y, z là các số
dương thỏa mãn
2 2 2
1x y z+ + =
Giải: ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2( )
x y y z z x
A x y z
z x y
= + + + + +
Lại có
2 2 2 2 2 2

3
3
x y z= = =
4. Thêm, bớt một hằng số.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
8
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
*Ví dụ 22: Cho 0 < x < 2. Tìm GTNN của biểu thức P =
9 2
2
x
x x
+
-
.
Giải: ta có 0 < x < 2 nên 2 – x > 0
P =
9 2 9 2 9 2 9 2
1 1 1 2 . 1 7
2 2 2 2
x x x x x x
x x x x x x x x
- -
+ = + - + = + + + =³
- - - -
.
Dấu “=” xảy ra khi
9 2 1
2 2
x x

x-

và
4(1 )x
x
-
để khi nhân vào ta được tích là một hằng số. Vậy cần phải
thêm và bớt bao nhiêu?
- Cách làm: Đặt
3 4 3 4 (1 )
1 1
ax b x
c
x x x x
-
+ = + +
- -
sau đó dùng phương pháp
đồng nhất hệ số, ta được a = b = 1; c = 7. vậy ta có thể giải như sau.
Giải: Q =
3 4 3 4(1 ) 3 4(1 )
7 2 . 7 7 4 3
1 1 1
x x x x
x x x x x x
- -
+ = + + + = +³
- - -
. Dấu “=”
xảy ra khi

( )
x y x y x y xy x y
x y
x y x y x y x y x y
+ + - + + - + - +
= = = = - +
- - - - -
. Do
x > y nên x – y > 0 áp dụng BĐT côsi ta có
2 2A ³
, dấu “=” xảy ra khi
2
6 2
. 1
. 1
. 1
2
.
2
( ) 2
2
6 2
2
x y
x
x y
x y
x y
x y
x y

î
-
ï ï
=
ï
î
ï
ï
î
Nhận xét. Trong ví dụ trên ở tử thức ta đã thêm và bớt 2, và sử dụng giả
thiết tích x.y = 1 để làm xuất hiện hằng đẳng thức (x – y )
2
sau đó tách
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
9
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
biểu thức đã cho thành hai biểu thức có tích không đổi, từ đó có thể sử
dụng BĐT côsi.
*Ví dụ 25: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.B =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải: Thêm, bớt 3 vào biểu thức đã cho ta được.
( 1) ( 1) ( 1) 3
a b c a b c
b c a c a b b c a c a b
+ + = + + + + + -
+ + + + + +
1 1 1

, đạt được khi a = b = c.
5. Nhân, chia với cùng một số khác không.
*Ví dụ 26: Tìm GTLN của biểu thức M =
9
5
x
x
-
.
Giải: ĐKXĐ.
9x ³
. Ta có M =
9
1 9 9 9
.3
( 3)
9 1
3
2 3 3
5 5 5 10 30
x
x x
x
x x x x
-
- - +
+
-
= = =£
Dấu “=” xảy ra khi

-
+ =
có
dạng kx, có
thể rút gọn x ở mẫu, kết quả là một hằng số.
*Ví dụ 27: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm GTLN của.
A a b b c c a= + + + + +
Nhận xét. BĐT côsi cho phép ta làm “giảm” một tổng thành một tích,
nhưng ở đây ta cần làm “trội” một tổng? Vì vậy ta coi mỗi hạng tử chẳng
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
10
NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN
hn
a b+
nh mt tớch
( ).a b
a
+
lm tri thnh mt tng, vn l tỡm
a
nh th no?( phn ny s gii thớch trong phn V. k thut chn im
ri trong BT cụsi). Vi bi ny ta s gii nh sau.
Gii:
3 2 2 2
( ( ). ( ). ( ). )
2 3 3 3
2 2 2
3 3
3 3 3

1
2
3
3
a b c
a b c
a b b c c a
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
= = =
ớ
ù
+ = + = + =
ù
ù
ợ
. Vy max A =
6
, t
c khi a = b = c =
1
3
.
*Vớ d 28: Tỡm GTLN ca biu thc
2 2 2
1 2( 2) 3(7 )y x x x= + + - + -
v cỏc

= + + - + -
ộ ự
+ + - + - +
ờ ỳ
+ +Ê
ờ ỳ
ở ỷ
+ + + - + + - +
= =Ê
Du = xy ra khi
2
2
2
1 6
2( 2) 6 5
3(7 ) 6
x
x x
x
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ù
- = =
ớ
ù
ù
ù

2 . 2
4 4 2
x y z x y z x
x
y z y z
+ +
+ = =³
+ +
(1)
Tương tự
2 2
(2) (3)
; ;
4 4
y z x z x y
y z
z x x y
+ +
+ +³ ³
+ +
. Cộng vế với vế các BĐT
(1),(2),(3) ta được
2 2 2
2
x y z x y z
x y z
x y z x x y
æ ö
+ +
÷

vào hạng tử thứ nhất
2
x
y z+
có
trong đề bài, để khi vận dụng BĐT côsi có thể khử được (y + z). Cũng
tương tự như vậy đối với các hạng tử thứ hai và thứ ba. Dấu đẳng thức xảy
ra đồng thời ở cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi
2
3
x y z= = =
.
7. Đặt ẩn phụ để biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa các
hạng tử có tích không đổi.
*Ví dụ 30: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.
B =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải: Đặt
x b c
y c a
z a b
ì
= +
ï
ï
ï
ï

=
í
ï
ï
ï
ï
+ -
ï
=
ï
ï
ï
î
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có.
B =
2 2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
- + + - + + -
+ + = + +
+ + +
B =
3 1 1 1 3 1 1 1
.2 . .2 . .2 .
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x z y z x y x z y z
y x z x z y y x z x z y
æ ö æ ö
æ ö
- -

1 1
a b
A
a b
= +
- -
Giải: Đặt a – 1 = x > 0; b – 1 = y > 0 ta có.

2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 1 2 1 1 1
( ) ( ) 4
1 1
1 1
2 . 2 . 4 8
a b x y x x y y
A x y
a b x y x y x y
A x y
x y
+ + + + + +
= + = + = + = + + + +
- -
+ + =³
Dấu “=” xảy ra khi
1
1 1 1
1
2
1 1 1
0; 0

ï
ï
ï
ï
î
.
Vậy Min A = 8, khi a=b=2.
IV. Một số sai lầm thường gặp
kĩ thuật chọn “điểm rơi ” trong BĐT côsi
Bài 1: Cho
3x ³
. Tìm GTNN của biểu thức
1
S x
x
= +
.
*Sai lầm thường gặp
1 1
2 . 2S x x
x x
= + =³
suy ra Min S = 2.
*Nguyên nhân sai lầm Min S = 2
1
1x
x
= =Û
mâu thuẫn với
3x ³

1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1
11
11
*Nhận xét. Khi x càng tăng thì S càng lớn, dự đoán khi x = 3 thì S đạt
GTNN. Để tạo ấn tượng ta nói Min S =
10
3
, tại “điểm rơi” x = 3.
Do BĐT côsi xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên tại “điểm rơi” x = 3 ta không thể sử dụng BĐT côsi trực tiếp cho hai số
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
13

3
3 1
3 9
1 1
3
3
x
x
x
a a
a
a
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
= = =ÞÞ Þ
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
. Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “điểm rơi”.
*Lời giải đúng:

10
3
, đạt được khi x = 3.
Bài 2: Cho
2x ³
. Tìm GTNN của biểu thức
2
1
A x
x
= +
.
*Sai lầm thứ nhất.
3
2 2 2
3
1 1 1 3
3 . .
2 2 2 2
4
x x x x
A x
x x x
= + = + + =³
. suy ra
Min A =
3
3
3
2 2

ï
ï
î
*Sai lầm thứ hai
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 9
2 . 2
8 8 8 8 8 8 4
8 8.2
x x x x x
A x x
x x x
x
= + = + + + = + + = =³ ³ Þ
thì
Min A =
9
4
*Nguyên nhân sai lầm. Mặc dù đã biến đổi theo sơ đồ “điểm rơi” và đáp số
Min A =
9
4
là đúng nhưng sai lầm ở chỗ đánh giá mẫu số “
2 2 2
2
4
8 8.2
x
x
=³ Þ ³

5
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 . . . . 5B x x x
x x x x x x x x x
= + = + + + + =³
;
Min B =5
*Nguyên nhân sai lầm, Min B = 5 khi
2 2
1
. 1 1 6x x x x
x
= = = <Û Û
*Sơ đồ “điểm rơi”
2
36
36 4
6 9 6
4 4
6
6
x
x
x
a a
a
a
ì
ï
ï

B
- - -
+ + = +³ ³8 6 36.6 4 6 108 2 6
6 3
B
+ - -
=³

Dấu “=” xảy ra khi
2
2
4
36 6 6
9 6
x
x x x
x
= = =Û Û
. Vậy Min B =
108 2 6
3
-
khi
x = 6
Bài 4. Cho
1
0

x
a
a a
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
= =ÞÞ
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
. Ta có

3
2 2 2 2 2
1 1 7 1 7 3 7.4
2 3 . . 5
8 8 8 8 2 8
C x x x x x
x x x x x
= + = + + + + + =³ ³
. Dấu “=” xảy ra khi

x =

V. Bài tập áp dụng.
Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009
15
NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN
Bài 1: a. Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức.
2
2 6 5
2
x x
A
x
- +
=
.
b. Cho x
³
0. Tìm GTNN của biểu thức.
2
2 17
2( 1)
x x
B
x
+ +
=
+
.
c. Cho x

c. Tìm GTNN của biểu thức
x y z
P
y z x
= + +
Bài 3: a. Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của biểu thức
2 1
1
E
x x
= +
-
.
b. Cho x > 1. Tìm GTLN của biểu thức
25
4
1
A x
x
= +
-
.
Bài 4: Cho x, y cùng dấu. Tìm GTNN của
2 2
2
A x y
xy
= + +
.
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
=
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 8: a. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z =1.
Tìm GTNN của
x y
A
xyz
+
=
b. Cho x, y, z, t > 0 và x + y + z + t = 2.
Tìm GTNN của biểu thức
( )( )x y z x y
B
xyzt
+ + +
=


Bài 10: Tìm GTLN của biểu thức A = xyz(x + y)(y + z)(z + x).
Với
, , 0x y z ³
và x + y + z = 1.
Bài 11: Tìm GTLN của biểu thức
2
1
y
x
B
x y
-
-
= +
, với
1; 2x y³ ³
.
Bài 12: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a (a là hằng số).
Tìm GTLN của biểu thức P = xy + yz + zx.
Bài 13: Cho x, y là các số dương thỏa mãn
6x y+ ³
.
Tìm GTNN của biểu thức
6 8
3 2P x y
x y
= + + +
.
Bài 14: Cho x > 0; y > 0 và
6x y+ ³