PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Cho tam thức bậc hai
2
( ) ax ( 0)f x bx c a
= + + ≠
Bài toán 1:
Muốn chứng minh
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
R
, ta chứng minh
0
0
a
>


∆ ≤

Hoặc chứng minh
( ) 0,f x x
> ∀ ∈
R
, ta chứng minh
0
0
a
>



Bài toán 4
Sử dụng kết quả:
[ ]
( )( ) 0, ;x x x a b
α β
− − ≤ ∀ ∈
1
CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG
I . Áp dụng bài toán 1
Muốn chứng minh
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
R
, ta chứng minh
0
0
a
>


∆ ≤

Hoặc chứng minh
( ) 0,f x x
> ∀ ∈
R
, ta chứng minh
0
0
a

a
b
⇔ ∆ = − −
Vì
( )
2
1 0,b b− ≥ ∀
nên
0, .
a
b
∆ ≤ ∀
Vậy
( )
0, ,f a a b
≥ ∀
Dấu ‘=’ xảy ra
1
0
1
1
1
( ) 0
2
a
b
b
b
a
f a

≥
0
2
* Các ví dụ tương tự :
1.
( )
2 4 2 2 2 3
, , 2 1 4 4 0x y x y x y xy x xy
∀ ∈ + + + + − ≥
¡
2.
2 2 2
, , :19 54 16 16 24 36 0x y z x y z xz yz xy
∀ ∈ + + − − + ≥
¡
2. Ví dụ 2:
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng:
( )
, : (ax + by)(x + y) cxy 1x y
∀ ≥
Hướng dẫn
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
ax + by ax 0 2x y cxy a b c xy by
+ ≥ ⇔ + + − + ≥
Nếu y = 0 thì (2)
2
ax 0 (1)x

t
f t t
∆ < ⇒ > ∀
Vậy BĐT (1) được chứng minh.

3.Ví dụ 3:
Chứng minh rằng:
,x y
∀
thì
( )
2
1 ( ) 3(*)x y xy x y
+ − + ≥ +
Hướng dẫn
(*)
2 2
1 3 3 0x y xy x y
⇔ + + + − − ≥
Xét f(x) =
( )
2 2
3 3 1x y x y y+ − + − +
Có
2 2
( 3) 4( 3 1)y y y
∆ = − − − +

2
( 3 1)y

2 2 2
pa qb pqc+ >
và p + q = 1
thì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
Hướng dẫn
a. a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

0; 0; 0a b c a c b b c a
⇒ + − > + − > + − >
Xét f(p) =
2 2 2
pa qb pqc+ −
Thay q = 1 – p vào f(p) ta có
2 2 2 2 2 2
( ) ( )f p c p a b c p b= + − − +

( )
2
2 2 2 2 2
4
p
a b c c b⇒ ∆ = − − −

( ) ( ) ( ) ( )
p
a b c a b c a c b b c a
⇔ ∆ = − + + + − + − + −
Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên
0
p

Cho
3
36a
>
và abc = 1. Chứng minh rằng
2
2 2
3
a
b c ab bc ca
+ + > + +
(*)
Hướng dẫn
Có bc =
1
a
nên (*)
( )
2
2
3
( ) 0
3
a
b c a b c
a
⇔ + − + + − >
Xét f( b+c ) =
( )
2

36a
>
nên
0 ( ) 0f b c
∆ < ⇒ + > ⇒
đpcm.
II. Áp dụng bài toán 2
Muốn chứng minh
0
∆ ≤

Ta chứng minh
( ) 0, ( ) 0,f x x hoac f x x
≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
R R
1. Ví dụ 1:
Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki:
1 2 1 2
, , , . , , ,
n n
a a a b b b∀ ∈¡
Chứng minh rằng:

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n

⇒ + + − + + + + + + ≥ ∀ ∈
¡
⇒
( )
( ) ( )
1 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
0
' 0
n
n n n n
a a a
a b a b a a b b
= = = =


∆ = + + − + + + + ≤


⇒
đpcm.
Dấu ‘=’ xảy ra
1 1 2 2
0
n n
a x b a x b a x b
⇔ − = − = = − =
1 2

. ( ) 0.a f
α
≤

6) Chỉ ra 2 số
, ( ). ( ) 0sao cho f f
α β α β
≤

6
1. Ví dụ 1:
Cho a, b, c và m thoả mãn
2
am c bm
+ ≤
.Chứng minh rằng:
2
4acb
≥
Hướng dẫn
1. Nếu a = 0 thì
2
0b
≥
(luôn đúng)
2. Nếu a
0
≠
Xét tam thức bậc 2: f(x) =
2



Nên f(m)f(-m)
≤
0 hay tam thức bậc hai f(x) luôn có nghiệm

0
x
⇒ ∆ ≥

2
4b ac
⇔ ≥
(đpcm)
2. Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:

[ ]
( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
, , , 0;1 , 1 4
n n n
a a a a a a a a a
∀ ∈ + + + + ≥ + + +
Hướng dẫn
Xét f(x) =
( )

nên f(1)
[ ]
1 2
0 , , , 0;1
n
a a a≤ ∀ ∈

⇒
f(x) luôn có nghiệm

( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2
1 4 0
n n
a a a a a a
⇒ ∆ = + + + + − + + + ≥

( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2
1 4
n n
a a a a a a
⇒ + + + + ≥ + + +
3. Ví dụ 3:

( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2p a b x pq ac bd x q c d
− − − − − + − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
ax-cpx q bx d
− − + −
Vì
( )
2 2 2
p a b
− −
nên p
≠
0
Ta có
( ) ( )
2 2
ax-c 0
q
f bx d
p
 
= − − − ≤
 ÷
 


2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2

n n n n
a a a b b b a b a b a b
− − − − − − ≤ − − −
IV. Một số ví dụ trong lượng giác:
1.Ví dụ 1
a) Cho x, y
∈¡
, chứng minh rằng:

( )
( )
2 2 2
1 sin 2 sin osy 1 os 0x y x y c c y
+ + + + + >
b) Cho
, , , ,ABC x y z
∆ ∀ ∈
¡
chứng minh rằng:

2 2 2
2 osC + 2yzcosA + 2zxcosBx y z xyc+ + ≥
Hướng dẫn
a) Xét tam thức f(x) =
( )
( )

osA + cosB + cosC
2
c
≤
b)
A B C 3 3
os os os
2 2 2 2
c c c
+ + ≤
c)
2 2 2
9
sin sin sin
4
A B C
+ + ≤
9
d)
2 2 2
3
os os os
4
c A c B c C
+ + ≥
e)
2 2 2
3
sin sin sin
2 2 2 4

2
A - B 1
2 2 . os
2 2
t t c
+ −
Với t = sin
2
C
Có
2
' os 1 0
2
A B
c
−
∆ = − ≤

( ) 0,f t t
⇒ ≤ ∀

⇒
đpcm.10
Chương III : Phương pháp nghiên cứu - Kết quả nghiên cứu
• ) Phương pháp nghiên cứu :
Tìm tòi , sưu tập trong tài liệu ,xây dựng hệ thống bài tập dạy thử nghiệm trên nhiều
lớp học sinh, qua đó rút kinh nghiệm để xây dựng một hệ thống bài tập hoàn chỉnh .

+ + −
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1.
b) Tìm m để
( )
m
C
có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại
O.
Câu 2. (2 điểm)
a) Giải phương trình:

sin 3 sin 2 sin .
4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
b) Giải hệ phương trình:

2 2 2
3 3 3
.log 3 log log
.log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +

( )
3
2( 2) 4 4 2 2 3 1x x x x− − + − = −
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 3
1 1
2 .
1 1
a b b
a a b
+ +
≥
− + +
II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B)
Câu 5A. (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)
a) Cho n là số nguyên dương với n
2≥
. Chứng minh rằng:

2 1 2 2 2 3 2 2
1 . 2 . 3 . . ( 1).2
n n
n n n n
C C C n C n n
−
+ + + + = +
b) Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng

Hết

ĐỀ SỐ 2(số 3 -2008 báo THTT)
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu 1. (2 điểm)
Cho hàm số
y =
4 2 2
2( 2) 5 5x m x m m+ − + − +
(
m
C
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
1
C
của hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị
( )
m
C
có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực
đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Câu 2. (2 điểm)
1) Giải phương trình
( ) ( ) ( )
1
1 osx 1 os2x 1 os3x

1
3
4
1
3
.
x x
I dx
x
−
=
∫
2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng

( )
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3
3 3
1.
( ) ( )
a b b c c a
bc b c ca c a
ab a b
+ + +
+ + ≥
+ +
+
Câu 4. ( 2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình

1 2
2
2 .
2
n n
n n n n
n
C C n C C
+ + + =
Câu 5b. ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)
1) Giải phương trình
( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4 .
2 4
x x x
+ + − =
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần
lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.EBK.
Hết
ĐỀ SỐ 3(số 5 -2008 THTT)
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu 1. (2 điểm)
Cho hàm số
2

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; 1 ; 4),
B (3 ; 3 ; 1), C (1 ; 5 ; 5) , D (1 ; 1 ; 1).
a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC).
b) Tìm điểm K trên đường thẳng AC và điểm H trên đường thẳng BD sao cho đoạn thẳng HK có
độ dài nhỏ nhất.
Câu 4. ( 2 điểm)
a) Tính tích phân
1
2 2
3
4
2 t anx .
os
x
e x
I x dx
x c x
π
π
 
 
 
= + +
 ÷
 
 
 
 
∫
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m

b)Trong một cuộc đi chơi dã ngoại của một tổ học sinh , cứ hai học sinh bất kỳ đều chụp với nhau một kiểu
ảnh để làm kỉ niệm ( mọi kiểu ảnh đều chỉ có hai người). Hỏi tổ học sinh có mấy người , biết rằng cuốn
phim có 36 kiểu chụp vừa đủ.
Câu 5B .( 2 điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban)
a) Giải bất phương trình
2
0,3 6
log (log ) 0
4
x x
x
+
<
+
b)Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác
nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h
Hết
ĐỀ SỐ 1
(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu 1. (2 điểm)
Cho đồ thị
( )
2
2 1
.
1
m
x x m

x x y y
+ = +


+ = +

Câu 3 . (2 điểm)
c) Tính các tích phân sau:
2
2
4
3
1 0
sin 2
; .
1 os
. 1
dx x
I J dx
c x
x x
π
= =
+
+
∫ ∫
d) Cho bốn điểm A (5 ; 1 ; 3) , B (1 ; 6 ; 2), C (5 ; 0 ; 4), D (4 ; 0 ; 6). Chứng minh rằng hai đường
thẳng AB và CD chéo nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường
vuông góc chung của chúng.
Câu 4. (2 điểm)

+ + + + = +
d) Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng
song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao
nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
Câu 5B. (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)
Cho đường thẳng
( )
∆
có phương trình
2 2 0x y− + =
và elip
( )
E
có phương trình
2 2
1.
8 4
x y
+ =
Giả sử
đường thẳng
( )
∆
cắt
( )
E
tại hai điểm B và C.
c) Tìm điểm A thuộc elip
( )
E

1 osx 1 os2x 1 os3x
2.
c c c
+ + + =
4) Giải hệ phương trình
( )
( )
( ) ( )
2
1 2
1 2
2log 2 2 log 2 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy x y x x
y x
− +
− +

− − + + + − + =


+ − + =


Câu 3. (2 điểm)
3) Tính tích phân
( )
1

2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình
2 2 0
2 2 0
x y
y z
− − =


+ + =

3) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi (d) và (P).
4) Viết phương trình đường thẳng (
∆
)đi qua A,
( )
∆
nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo bởi
hai đường thẳng
( )
∆
và (d) bằng
0
45
.
II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn câu 5a hoặc câu 5b)
Câu 5a. (2 điểm) (Theo chương trình THPT không phân ban)
3) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
4) Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức
( ) ( ) ( )

2
1
x
y
x
−
=
−
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm các giá trị của tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1.
Câu 2. (2 điểm)
c) Giải phương trình
5 3 2
2sin 2sin . os os2x - sinx = 0 (1)x x c x c+ +
d) Giải hệ bất phương trình
3 2
4 3 2
3 9 10 0
5 5 5 4 0
x x x
x x x x

− − + + <


+ + + + <



b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m
2≥
, ta có

2 1
2
2
2
1 1
1 1.
1
m
m
m m
+
 
−
 
+ <
 ÷
 ÷
−
 
 
II. PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B)
Câu 5A .( 2 điểm) ( Theo chương trình THPT không phân ban)
b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình

2 2
16 25 400x y+ =

Trong quá trình giảng dạy , tôi thấy bài toán
: “ Chứng minh bất đẳng thức” là một trong những bài toán khó nhất trong các loại toán ở
phổ thông , bởi con đường chứng minh lại rất phong phú và đa dạng. Trong chương trình
toán lớp 10, các học sinh được học về tam thức bậc hai , được học về bất đẳng thức nhưng
các em lại chưa được dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà
đây lại là một phương pháp chứng minh rất hiệu quả , dễ sử dụng.Vì vậy tôi viết đề tài
“CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI”
giúp các em lớp 10 v à lớp 12 nghiên cứu bất đẳng thức được dễ dàng hơn, đạt được kết
quả cao hơn trong các kỳ thi Học sinh Giỏi các cấp và kỳ thi Đại học cao đẳng.

I.2. Mục đích nghiên cứu :
Giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 và lớp 12

I.3. Thời gian - Địa điểm
Từ đầu năm học 2007 – 2008 , tại trường THPT Hòn Gai.

I.4. Đóng góp về mặt lý luận , về mặt thực tiễn
Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, phong phú toàn diện hơn trong giải quyết bài toán
: “ Chứng minh bất đẳng thức”, đồng thời củng cố kiến thức về tam thức bậc hai.
II.Nội dung
Chương 1: Tổng quan
Trong chương trình Toán cấp THPT , lý thuyết về tam thức bậc hai vừa là nội dung vừa là
công cụ giải toán quan trọng ; Các dạng toán về bất đẳng thức là dạng toán khó thường gặp
trong các đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh hoặc trong các đề thi học sinh giỏi ,một số
học sinh thường e ngại khi gặp phải dạng toán này , đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” sẽ phần nào giúp đỡ học sinh
giải quyết cả hai vấn đề trên.
Chương 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu