Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
A. Phần Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
1. cơ sở lí luận
- Dạy học toán là hoạt động toán học , do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo các
khái niệm , định lý , biết vận dụng kiến thức có niền tin vào khả nảng toán học của
mình.
- Đặc trng của toán học là trìu tợng hóa cao độ , có tính Lôgic chặt chẽ , vì vậy trong
trong dạy học , ngoài suy diễn lôgic phảI chú trọng nguyên tắc trực quan và trìu tợng ,
giữa trực quan trìu tợng , giữa suy luận có căn cứ .
- Để chuẩn bị bàI giảng , giáo viên phải cần chuẩn bị kỹ hệ thóng bài tập và câu hỏi
nhằm gieo tình huống , hớng dẫn từng bớc giải quyêt vấn đề phù hợp từng loại đối tợng
học sịnh , dự kiến những khóp khăn trở ngại , những cái bẫy mà học sinh phải vợt qua
.
(Trích đổi mới phơng pháp dạy họcở trờng THCS - Viện khoa học giáo dục 1997-
Chủ biên : TRần Kiều Trang trang 30)
2. Cơ sở thực tiễn :
Qua nghiên cứu , tìm hiểu thực tĩên , điều tra và qua thực tiễn giảng dạy môn toán ở
trờng THCS , đặc biệt là các giờ bôì dỡng học sinh giỏi , tôi nhận thấy :
- Số học sinh thực học tốt môn toán ( Nắm vng kiến thức, có kỹ năng , kỹ sảo ,
có phơng pháp tự học , tự bồi dỡng ) chiếm tỉ lệ thấp
- Trong thực tế khi thi HSG học sinh gặp phải bài toán nghiệm nguyên gần nh
bỏ trắng , lúng túng không biết soay sở ra sao . Điều đó thực rẽ hiểu vì bài toán đợc
đa vào dới dạng bài tập , lí thuyết cơ bản chỉ đợc nhắc qua một phần rất nhỏ song cơ
bản lại áp dụng số học nhiều
- Học giải toán nói chung và phơng trình nghiệm nguyên nói riêng là một t duy
sáng tạo về Toán , là một vấn đề triù tợng hóa và khá khó với học sinh trong quá trình
học toán ở trờng THCS
- Vấn đề thừa nhận rằng : Nêú nh các em nắm chắc các dạng của phơng trình
nghiệm nguyên và phơng pháp giải thì việc giải dạng toán này sẽ dễ dàng hơn và ngày
càng hăng say học tập hơn.

8C 65 3 1,95 7 4,55 28 18,2 20 13 7 4,55
B Nội dung
I tên đề tài :
Một số phơng pháp giải các bài toán về phơng trình
nghiệm nguyên .
II. Nội dung cụ thể và biện pháp thực hiện
1. Vai trò của bài tập và việc giải bài tập :
- việc giải bài tập đợc côi là là phơng tiện mục đích của việc dạy học toán, nó có
tầm quan trọng rất lớn và từ lâu đã là vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học toán
Giải bài tập là hinhf thức tốt nhất nhằm củng cố đào sâu kiến thức , hệ thống hóa
, luyện tập kỹ năng , kỹ sảo và phát huy tốt nhất năng lực nhận thức của học sinh .Mục
đích đó là phát triển ở học sinh bản lĩnh Toán học , moĩibài toán dạy cho học sinh kỹ
năng hớng vềnhững tình huống có vấn đề khác nhau. Dạy cho học sinh giải tóan không
phải là củng cố những bài có sẵn mà học sinh chỉ nghe thụ động và ghi ,màdạy cho
học sinh nên sử dụnh bài tập với dụng nào nhằm hình thành chi thức hay củng cố chi
thức . Rèn luyện thao tác t duy hay để kiểm tra trình đọ giáo dục đợc ngôn ngữ toán
học . Dạy giải toán là phải tổ chức những hoạt động của học sinh để các em tích cực
chủ động tìm tòi lời giải .Kết quả của hoạt động dạy học toán là đợc xác định ở hệ
thóng bài giải mà học sinh có đợc qua quá trình thu nhận kiến thức . Vì Vởy bài tập

4
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
phải đợc dua từ dễ đến khó , để phát huy tính tích cực , đào sâu suy nghĩ kích thích tìm
tòi sáng tọa tăng múc độ khó tiòm ra hcọ sinh năng khiếu , đồng thời gieo vào lòng
niềm đam mê hăng say học toán
Vì vậy giáo viên phải đa ra hệ thống bài tập ở các dạng khác nhau , đặc biệt học
sịnh học song phải biết mình nắm đợc kiến thức nào , từ đó các em vận dụng kiến thức
đã họ vào việc giải Bài tập khác và tự bản thân HS sẽ phát triển khả năng nhận thức .
Trong quá tình dạy học phải tuân chỉ việc lấy ngời học làm trung tâm
2. Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

1
n 1 1 0
1
1 1 0
2 1
1 1 0
1 2 2
1 1 0
a 0
.
. 0( )
( ) 0( )
n n
n
n n n
n n
n n n
n n
n n n n
n n
p p p
a a a
q q q
a p a q a p q a q o
a p q a a pq a q I
p a p a p q a q a p II





a q pM
mà
0
( ; ) 1
n
p q q p= =
12'30*
Nếu x=b là một nghiệm thì b là ớc của q
0
12'34*
mọi nghiệm hữu tỉ của phơng trình với hệ số nguyên :

5
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
1 2
1 2 1 0
0
n n n
n n n
a x a x a x a x a+ + + + + =
đều là số nguyên
516)7!'!)8,( #!901*
B ớc 1: Tìm tất cả các ớc số của a
0
B ớc 2: Thử tất cả các ớc số của a
0
vào vế trái của pt (1) bắt đầu từ ớc số nhỏ nhất

Bàng phép thử ta có P(1)=8
P(-1)= 0
P(3)=24
P(-3)=0
Vâỵ phơng trình (2) có 2 nghiệm là x=-1 và x=-3
4 Bài tập đề nghị giải theo ph ơng pháp trên
1. x
10
+x7+2x
3
+2 = 0
2. x
3
+4x
2
-29x+24 = 0
3. 1-6x
2
+6x-x
3
= 0
4. x
3
-4x
2
-8x+8 = 0
5. x
2
(4+x
2

0
và n-n
0
là các số nguyên . Điều này trái với giả sử D là số nguyên dơng bé
nhất .
Vì a = a.1+ b.0 =>
.1 .0
.0 .1
a a b a D
b a b b D
= +
= +
M
M
do đó D là một ớc số chung của avà b
=> D

d (*)
Mặt khác
0
.a d a m d=>M M
và
0
.b d b n d=>M M
do đó
0 0
. .a m b n D d D+ =
(**)
Từ (*) và (**)


Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
vì
0
0
/ / /
/ /
d a d ax d c
d b d by
=> =>
=>
Điều kiện đủ : nếu
/ .d c c d m
=> =
(m thuộc Z)
Vì d=(a,b) theo đK cần ta có : d=a.s+b.t => c= m.d= as.m+bt.m=a.(sm)+ b.(st)
đặt x
0
= s.m ; y
0
= t.m thì ax
0
+ b.y
0
=w.f tức là phơng trình
0 0
ax by c
+ =
có nghiệm
nguyên
-!>,*

(1) <=>
1 1 1
ax by c
+ =
(2)
Giả sử x0;y0 là mộ nghiệm của phơng trình
Ta có
1 0 1 0 1
a x b y c
+ =
(3)
Xét hiệu (2)-(30 ta có
1 0 1 0
1 0 1 0
( ) ( ) 0
( ) ( )
a x x b y y
a x x b y y
+ =
=
Đặt x-x
0
=u và y-y
0
=v => a
1
u=b
1
v
Ta có a

ax by c
+ =

Có dạng
0 1
0 1
x= x -b .t
y=y +a .t


8
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
=@/* 1. các nghiệm riêng x0 ; y0 có thể tìm đợc nhờ thuật toán Ơclit
2. có thể ơhát biểu quá trình xây dựng cong thức nghiệm của phơng trình
ax by c
+ =
nh sau
a. nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm nguyên của phơng trình
1ax by
+ =
với
(a;b)=1 thì (c. x
0

y
x y

= +
đặt
1 3
8
y
t

=
(t thuộc Z) =>
1
3
3
t
y t
+
= +
Lại đặt
1
3
t+
=u với (u thuộc Z) => t=3.u-1
tính x,y theo u =>
9
3.
3. 1
x y t
y t u

2 5
17
y+
=t (t thuộc Z) =>
2 1
5 17 2 3.
5
t
y t y t

= => = +
Lại đặt
1
5
t
u

=
với (u thuộc
Z) => t=5.u +1 từ đó tính x;y theo u
ta có =>
29. 11
17. 3
x u
y u
= +


= +


có vô số nghiệm xác định bởi công thức x= u.v ;
2 2 2 2
;
2 2
u v u v
y z
+
= =
với u,v thuộc Z ; u,v là các số lẻ ;(u;v)=1 ;u >v
Chẳng hạn +) u=3 ; v=1 ta có nghiệm x=3; y=4; z =5
+) u=5 ; v=3 ta có nghiệm x=15 ; y=8; z=17
Ngoài cách xác định trên dây pt mà có nghiệm nguyên cua nó có phơng pháp xác dịnh
nghiệm . sự tồn tạin chỉ có một số ít có phơng pháp tổng quát
Việc xác dịnh nghiệm nguyên của các pt thờng dựa vào tính chất của tập hợp số tự
nhiên chảng hạn A.B =1 <=> A=B=1 hoặc A=B = -1 ; phối hợp các phơng pháp
nh phân tích ra thừa số , tính chia hêt , xét số d,
4&;5<
:;5<0* Tìm các số nguyên x; y thoả mãn
(x+1).(y-4) =3 (1)
Giải
Vì x;y thuộc Z => x+1 ; y-4 thuộc Z
Mặt khác 3 = 3. 1= (-1). (-3) do đó
Phơng trình (1) <=>
x+1 1 3 -1 -3
y-4 3 1 -3 -1
<=>
x+1 0 2 -2 -4
y-4 7 5 1 3
Vậy phơng trình có các nghiệm là:
0

3
x
y
=


=

:;5<4*
Giải phơng trình trong miền số nguyên:
x.y= x+y
Giải :
Ta có

10
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
.
. ( ) 1 1
. 1 1
( . ) ( 1) 1
.( 1) ( 1) 1
( 1).( 1) 1
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y y
y x
= +
+ + =

Vậy phơng trình có tập nghiệm S= { ( 2;2); (0;0)}
:;5<D Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x.
2
+y
2
-6x+4y+13 = 0 (0 )
Giải :
Ta có :
PT (1) <=> ( x
2
-6x+9) + (y
2
+4y+4) = 0
<=> ( x-3 )
2
+ (y+2)
2
= 0
<=>
3 0
2 0
x
y
=


+ =

<=>

= 169
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 (2 ) 13
( 2 ) 0 13 5 12
x xy y y
x y y
+ + =
+ = + = +
2 0 26
13 13
x y x
y y
= =
= =



11
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
Hoặc
2 13 13
0 0
x y x
y y
= =


( 26 ; 13 ) : ( 13 ; 0 ) ;( 29 ; 12 ) ;( 22 ; 5 )
VI. bài toán áp dụng bất đẳng thức côsi đa về phơng trình
nghiệm nguyên:
1 . "!* Bất đẳng thức sau:
Cho hai số dơng a và b chứng minh rằng :
2
a b
ab
+

Dờu bàng xảy ra khi nào? ( bất đẳng thức côsi)
Chứng minh :
Ta có a >0; b>0
0; 0a b > >
Vậy
( )
2
0a b
( ) ( )
2 2
2. 0a a b b +

2 .a b a b +
Hay
2
a b
ab
+



1
).(1+x
2
).(1+x
3
) (1+x
n
)= 2
n
1 2 3
. .
n
x x x x
Dấu bằng xảy ra khi
1 2 3

n
x x x x= = = =
:;5<4*

12
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
Hiệu hai bình phơng hai số tự nhiên là 169 tìm hai số tự nhiên đó
Giải
Giả sử hai số cần tìm là x; y sao cho x
2
-y
2
=169 (1) với
x y

2
+y
2
+z
2
=2xyz
Giải
Trờng hợp 1: Vì x
2
+y
2
+z
2
=2xyz
M
2 Nên hai trong ba số đó coa một số chẵn hai số
lẻ . Giả sử
2x n
=
;
2 1y k= +
;
2 1z t
= +
với n; k;t thuộc Z
Ta có x
2
+y
2
+z

1 1 1 1 1 1
2 2 2 2. 2 2 2x y z x y z + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4x y z x y z + + =
Lập luận nh trên ta đợc x1=2x
2
; y1=2y
2
; z1=2z
2

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4x y z x y z+ + =

( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
8x y z x y z + + =
Tiếp tục sau k bớc ta thu đợc

2 2 2 1
2

Khối
Lớp
TS
HS


8B +
8C 65 12 7,8 20 13 28 18,2 5 3,2
c . PHầN KếT LUậN
Nh vậy dựa trên đặc thù bộ môn Toán . Đặc biệt là đối với việc bồi dỡng học sinh
khá , giỏi qua triển khai , ngoài việc cung cấp một hệ thống kiến thức cơ bản đầy đủ
mà SGK đề cập đến rất ít chỉ qua một số bài tập SBT qua quá trình bồi dỡng học sịnh
khá , giỏi tôi nhận hấy đã cung cấp cho học sịnh rất phong phú về các thể loại cũng nh
dạng toán về phơng trình nghiệm nguyên , đã tăng cờng , khơi dậy cho học sịnh niềm
hứng thú trong học tập khơi dậy niềm đam mê học toán .
Qua đó toi rút ra bài học kịnh nghiệm sau:
Đối với ngời thầy Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạnh toán cần truyền tải
đến học sinh . Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng ,
thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi đồng nghiệp tìm ra giải pháp tối u, trong triển
khai, rút kinh nghiệm qua , từng bài cụ thể , bổ sung kiến thức qua các tài liệu , tạp trí
toán học , các đề thi học sinh giỏi hàng năm
Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua từng tiết học , bài
tập cụ thể hoàn thành các nội dung đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến
thức mà mình đã lĩnh hội đợc , những khó khăn vớng mắc khi thực hiện phần bài

14
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
tập đợc giao , trao đổi những thông tin với bạn học qua đó rút ra phơng pháp học tập
phù hợp để đạt đợc kết quả cao .
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy tuy vậy còn