Mục lục
Trang
Phần I: Mở đầu:........................................................................................... 02
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................. 02
2. Mục đích nghiên cứu........................................................................... 02
3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................ 03
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu........................................................ 03
5. Phơng pháp nghiên cu..................................................................... 03
Phần II: Nội dung....................................................................................... 03
Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn...................................................... 03
Chơng II: Các biện pháp ( giải pháp) s phạm cần thực hiện............ 04
Biện pháp 1: .................................................................................... 04
Biện pháp 2: ..................................................................................... 04
Chơng III: Thực nghiệm s phạm........................................................ 15
1. Mục đích thực nghiệm................................................................ 15
2. Nội dung thực nghiệm................................................................. 15
3. Kết quả thực nghiệm................................................................... 28
Phần III: Kết luận...................................................................................... 29
Tài liệu tham khảo..................................................................................... 30
1
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
- Dạy học toán là hoạt động toán học , do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo
các khái niệm , định lý , biết vận dụng kiến thức có niền tin vào khả năng toán học
của mình.
- Đặc trng của toán học là trìu tợng hóa cao độ , có tính Lôgic chặt chẽ , vì vậy trong
trong dạy học , ngoài suy diễn lôgic phải chú trọng nguyên tắc trực quan và trìu tợng
, giữa trực quan trìu tợng , giữa suy luận có căn cứ .
- Để chuẩn bị bài giảng , giáo viên phải cần chuẩn bị kỹ hệ thống bài tập và câu hỏi
nhằm gieo tình huống , hớng dẫn từng bớc giải quyêt vấn đề phù hợp từng loại đối t-
ợng học sịnh , dự kiến những khó khăn trở ngại , những cái bẫy mà học sinh phải vợt

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Vai trò bài tập và việc dạy học giải bài tập.
- Một số phơng pháp giải : Giải các bài toán về phơng trình nghiệm nguyên .
- Nghiên cứu bài soạn , bài dạy của đồng nghiệp.
- Nghiên cứu bài làm của học sinh trớc và sau khi giảng.
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
1. Đối tợng: 10 học sinh khá giỏi khối 8.
2. Phạm vi : Giải các bài toán về phơng trình nghiệm nguyên .
5. Phơng pháp nghiên cứu :
- Phơng pháp ngiên cứu tự tìm ra kiến thức.
- Phơng pháp đối thoại : học sinh học sinh; giáo viên học sinh; giáo viên
giáo viên.
- Phơng pháp tổng kết rút kinh nghiệm.
- Phơng pháp thực nghiệm.
Phần II: Nội dung
Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn:
- Việc giải bài tập đợc coi là là phơng tiện mục đích của việc dạy học toán, nó có tầm
quan trọng rất lớn và từ lâu đã là vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học toán.
- Giải bài tập là hình thức tốt nhất nhằm củng cố đào sâu kiến thức, hệ thống hóa
luyện tập kỹ năng, kỹ sảo và phát huy tốt nhất năng lực nhận thức của học sinh. Mục
đích đó là phát triển ở học sinh bản lĩnh Toán học , mỗi bài toán dạy cho học sinh kỹ
năng hớng về những tình huống có vấn đề khác nhau. Dạy cho học sinh giải toán
không phải là củng cố những bài có sẵn mà học sinh chỉ nghe thụ động và ghi, mà
dạy cho học sinh nên sử dụng bài tập với dụng ý nào đó nhằm hình thành chi thức
hay củng cố chi thức. Rèn luyện thao tác t duy hay để kiểm tra trình độ giáo dục đợc
ngôn ngữ toán học. Dạy giải toán là phải tổ chức những hoạt động của học sinh để
các em tích cực chủ động tìm tòi lời giải. Kết quả của hoạt động dạy học toán là đợc
xác định ở hệ thống bài giải mà học sinh có đợc qua quá trình thu nhận kiến thức. Vì
vậy bài tập phải đợc đa từ dễ đến khó, để phát huy tính tích cực, đào sâu suy nghĩ
kích thích tìm tòi sáng tọa tăng mức độ khó tìm ra học sinh năng khiếu, đồng thời

Chơng II: Các biện pháp (Giải pháp) s phạm nâng cao chất lợng:
1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm:
- Tìm hiểu sự ham mê học Toán của học sinh khối 8.
- Kiểm tra kiến thức và kĩ năng giải phơng trình của học sinh trong đội tuyển đã
chọn.
2. Biện pháp 2: Hớng dẫn theo các phơng pháp:
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
a) Những kiến thức cơ bản bổ xung cho việc giải phơng trình nghiệm nguyên:
Để giải phơng trình nói chung và phơng trình nghiệm nguyên nói riêng ta phải nắm
đợc cách giải tổng quát.
b) Cụ thể:
I. Ph ơng trình một ẩn với hệ số nguyên
4
1. Dạng tổng quát :
1 2
1 2 1 0
... 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a+ + + + + =
(1)

2. Cách giải :
a . Định l ý 1: nếu phân số tói giản
p
q
( p là số nguyên , q là só nguyên dơng) là một



+ + + + =
ữ ữ ữ

+ + =

+ + + =



+ + + + =


n n
n
n n n
n n
n n n
n n
n n n n
n n
p p p
a a a
q q q
a p a q a p q a q o
a p q a a pq a q I
p a p a p q a q a p II

Từ (I) =>

+ + + + + =
đều là số nguyên.
d) Quy tắc tìm nghiệm nguyên của ph ơng trình ( 1) :
B ớc 1 : Tìm tất cả các ớc số của a
0.
B ớc 2: Thử tất cả các ớc số của a
0
vào vế trái của pt (1) bắt đầu từ ớc số nhỏ nhất.
B ớc 3 : Nếu ớc số của d làm cho đa thức bằng 0 thì kết luận x= d là một nghiệm
nguyên còn nếu đa thức có giá trị khác 0 thì x= d không là nghiệm .
3 . Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm ngiệm nguyên của phơng trình sau:
a
2
- 5a + 6 = 0
Giải
Phơng trình nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải thuộc tập ớc của 6
Ư (6)=
{ 1; 2; 3; 6}

Đặt P(a)= a
2
- 5a + 6
5
Khi đó ta tính các P(x) và đợc P(2)= 0 và P(3)= 0
Kết luận : phơng trình có hai nghiệm nguyên : a=2 và a=3.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x
2
+ 4x + 3 = 0 (2)

-4x
2
-8x+8 = 0;
5. x
2
(4+x
2
)+4-x
2
= 0.
II. phơng trình bậc nhất hai ẩn số:
ax by c
+ =
( với a, b, c là các hệ số nguyên)
1. Cơ sở lý thuyết:
a. Định lý 1:
Cho a, b là hai số nguyên dơng ; gọi d=(a;b) khi đó tồn tại các số nguyên m và n sao
cho d= a.m + b.n.
Chứng minh :
Gọi D là số nguyên dơng bé nhất trong tập hợp số nguyên có dạng :
a.m + b.n với m, n

Z
Giả sử D= a.m
0
+ b.n
0
ta nhận thấy mọi số nguyên có dạng a.m+ b.n ( m,n

Z) đều

6
Mặt khác
0
.a d a m d=>M M
và
0
.b d b n d=>M M
do đó a.m
0
+ b.n
0
= D
M
d

D

d (**
Từ (*) và (**)

0 0
. .
D d
D d a m b n
d D


= = +



(m

Z)
Vì d=(a,b) theo ĐK cần ta có : d=a.s+b.t => c= m.d= as.m+bt.m=a.(sm)+ b.(st)
đặt x
0
= s.m ; y
0
= t.m thì ax
0
+ b.y
0
=w.f tức là phơng trình
0 0
ax by c
+ =
có
nghiệm nguyên
d . Công thức nghiệm:
Xét phơng trình :
ax by c
+ =
(1) với a,b,c

Z; Gọi d = (a,b) với d/c. Khi đó
a = d.a
1
; b = d.b
1
; (a

Đặt x-x
0
=u và y-y
0
=v => a
1
u=b
1
v
Ta có a
1
/b
1
v và (a
1
;b
1
) =1 => a
1
/v => v=a.t ( Với t

Z )
Do đó a
1
u=-a
1
b
1
t => u=- b
1

0 1
0 1
x= x -b .t
y=y +a .t




7
Chú ý : 1. các nghiệm riêng x
0
; y
0
có thể tìm đợc nhờ thuật toán Ơclit
2.Có thể phát biểu quá trình xây dựng công thức nghiệm của phơng trình
ax by c
+ =
nh sau
a) Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm nguyên của phơng trình
1ax by
+ =
với
(a;b)=1 thì (c. x
0
; c.y
0

x y

= +
đặt
1 3
8
y
t

=
(t

Z) =>
1
3
3
t
y t
+
= +
Lại đặt
1
3
t+
=u với (u

Z) => t=3.u-1
tính x,y theo u =>
9
3.

6
17 17
y y+ +
= +
đặt
2 5
17
y+
=t (t

Z) =>
2 1
5 17 2 3.
5
t
y t y t

= => = +
Lại đặt
1
5
t
u

=
với (u

Z)
=> t=5.u +1 từ đó tính x; y theo u.
ta có =>

3. Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên:
1. Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a) x 3y = 5 ; b) 2x 5y = 10
c) 1x -20y = 49; d) 3x + 2y = 555.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a) n
M
9 và n + 1
M
25 ;
b) n
M
21 và n + 1
M
165 ;
8
c) n
M
9, n+ 1
M
25 và n + 2
M
4.
3. Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình :
a) 5x + 4y = 3 ;
b) 3x + 7y = 55.
III . Ph ơng trình bậc nhất nhiều ẩn:
1. Định nghĩa:
Phơng trình bậc nhất nhiều ẩn có dạng:
a

a) Có một hệ số của ẩn bằng 1, giả sử a
1
= 1. Khi đó:
x
1
= - a
2
x
2
a
3
x
3
- ... a
n
x
n
, x
2
, x
3
, ... , x
n


Z
Nghiệm nguyên của (3) là: (- a
2
x
2

a
1
x
1
+ a
2
x
2
= c - a
3
x
3
- ... a
n
x
n
. Tìm nghiệm nguyên x
1
, x
2
theo x
3
, ... , x
n
.
4. Các ví dụ:
a) Giải phơng trình trên tập số nguyên:
6x + 15y + 10z = 3 (3).
Giải:
(3)

( , )
12 24 15
y u t
u t Z
z u t
= + +



=

.
Từ u = x +z

x = u z = u (
12 24 15u t
) = -12 +25u + 15t.
9
Vậy nghiệm nguyên của PT (3) là :
3 10 5
3 10 4
3 9 6
x u v
y u v
z u v
=


= + +




y = 3x + 1 7u = -11 + 7(3t u)

3 (mod 7).
Thử lại với x

mod 7) và y

(mod 7) thì 3x y + 1 và 2x + 3y 1 đều chia hết
cho 7.
5. Bài tập đề nghị giải theo phơng pháp trên:
1. Giải các hệ PT sau trên tập số nguyên:
2 3 1
) ;
3 2 3 5
x y
a
x y z
=


+ =

b)
2 3 5 2
;
3 5 2 3
x y z
x y z

Giải :
Rõ ràng x = y =0 là nghiệm của (1).
Nếu x
0
, y
0


0 và (x
0
, y
0
) là nghịêm của (1). Gọi d = (x
0
, y
0
) suy ra :
0 0
x y
( , )=1
d d
10
x
0
2
= 2y
0
2

2 2

+ x
2
+ y
2
= 3. 243
M
3.

x
2
+ y
2

M
3

x
M
3 và y
M
3 ( xét các d khi chia x, y cho 3).
Đặt x = 3u, y = 3v, (u, v

Z). Khi đó ta có :
19. (3u)
2
+ 28( 3v)
2
= 19u
2

+ 13y
2
= 1820.
2) Với giá trị nào của x thì biểu thức sau là số nguyên: B =
2
5 15
6 9 1
x
x x
+

.
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho x
3
344
M
x 7.
4) CMR x
2
y
2
= k có nghiệm nguyên

k

2(mod 4).
5) CMR tổng bình phơng của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có d là
7, từ đó suy ra phơng trình 4x
2
+ 25y

=


=

Từ đó kết luận nghiệm của (1).
2. Các ví dụ:
a) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT: 2(x + y) + 16 = 3xy.
Giải:
Ta có: 2(x + y) + 16 = 3xy

3xy 2x 2y = 16


y( 3x 2) -
2
3
( 3x 2) = 16 +
4
3


( 3x 2)(3y 2) = 52.
11
Giả sử x

y, khi đó 1

3x 2




=

Giải ra ta đợc các nghiệm nguyên dơng của PT đã cho là ( 1 ; 18), ( 18 ; 1), ( 2 ; 5),
( 5 ; 2).
b) Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của PT sau :
a) x + y = xy ;
b) p( x + y) = xy.
Giải :
a) Ta có x + y = xy

xy x y 1 = 1

( x 1 )( y 1 ) = 1


1 1
1 1
1 1
1 1
x
y
x
y

=





=



=



Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên là : ( 1 ; 1), ( 0 ; 0).
b) Ta có thể giả sử x

y.
Ta có p( x + y) = xy

xy px py + p
2
= p
2


( x p)(y p) = p
2
Mà p
2
= p. p = ( - p)(- p) = 1. p
2
= (- 1)(- p
2
).

2
= y
2
+ x
2


(x+y)
2
2xy = (x + y)
2
4( x + y +z)


(x + y)
2
4( x + y +z) + 4 = z
2
+ 4


( x + y 2)
2
= (z 2)
2


x + z 2 = z -2 ( do x + y

2 ).

12
6
8
x
y
x
y

=



=




=



=



12