Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
1

Một số phương pháp
giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng
không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số
phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải
phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng
biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn.
II.NỘI DUNG
A. Xét phương trình
22
123456
0
axaxyaxayaya
+++++=
.Trong đó
1
0
a
≠
hoặc



Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên:
22
52498140(1)
xyxyyx+++−+=
Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của
một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ
sổ là số chính phương, do đó
222
222
54
2
xxx
yyy
=+
=+

Phương trình (1)
2222
4
xxyy
⇔++++
4449140
xyxxy
−−++=

Ta coi bình phương của một tam thức
22
()(())


222
(21)(3)(2)0
210
30
20
2
3
xyyx
xy
y
x
x
y
⇔+−+++−=
+−=


⇔+=


−=

=

⇔

=−




Giải:
1,
22
25144840
xyxyyx
++−−−=

2222
4484140
xxyyxyyx
⇔+++−−−+=

()()()
222
21320
xyxy
⇔−++−+−=

210
30
20
xy
x
y
−+=


⇔−=


⇔+++++−=

210
20
30
xy
x
y
++=


⇔+=


−=


2
3
x
y
=−

⇔

=
3,

⇔+=


+=


1
1
x
y
=−

⇔

=−
4,
22
105381216360
xyxyyx
++−+−=()()()
()()
2222
22
22

x
y
=

⇔

=
5,
222
94341220360
xxyxyyx
+++−+−=

()()
22
32530
xyx
⇔+−+−=

3250
30
xy
x
+−=

⇔


=±


và các hoán vị của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình:
22
60
xxy
−−+=

22
222222
442440
(21)(2)253405
xxy
xy
⇔−−+=
⇔−+==+=+

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
4
Do 2x-1 lẻ nên
213
24
x
y



⇔

=
=




Phương trình đã cho có nghiệm:
(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)

Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
1,
22
100613
xxyy
=+−
2,
22
45169
xxyy−+=
Giải:
1,
22
100613
xxyy
=+−
222
694100

38
26
x
y

−=


=


11
3
x
y
=

⇔

=


Hoặc
310
20
x
y

−=


y
=

⇔

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
}
,9;411;33;5
xy=
2,
22
45169
xxyy−+=
222
44169
xxyyy⇔−++=
222222
2169125013

hoặc
25
12
xy
y

−=


=


19
12
x
y
=

⇔

=


hoặc
20
13
xy
y

−=

Dạng 1. A.B.C =0
0
0
0
A
B
C
=


⇔=


=


Dạng 2. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên)
Am
Bn
Cp
=


⇔=


=


và các hoán vị của chúng.


Hoặc
24124
286
xyx
xyy
+==−

⇔

+==

(loại)
Hoặc
242416
246
xyx
xyy
+==

⇔

+==−

(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
(
)

532
xyxy
+=−

5,
2
360
xxxyy
−−+−=

Giải:
1,
22
6
yxx
=++

22
44424
yxx
⇔=++

22
(2)(441)23
yxx
⇔−++=

22
(2)(21)23
yx


⇔

=


(
)
()
2211
22123
yx
yx

++=

∗

−−=


6
6
y
x
=

⇔

=−

()
2211
22123
yx
yx

++=−

∗

−−=−


6
5
y
x
=−

⇔

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm
nguyên:
(
)
(
)

6916
xyy
⇔−++=

()()
22
316
xy
⇔−+=

(
)
(
)
3316
xyxy
⇔−−++=

Do
(
)
(
)
33
xyxy
−−≤++

Và
(
)

++==


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
7
344
343
xyx
xyy
−−==

∗⇔

++==−


385
320
xyx
xyy
−−=−=−

∗⇔

++=−=



65121
xxyy−+=
222
694121
xxyyy⇔−+−=
()()
22
32121
xyy⇔−−=
(
)
(
)
3232121
xyyxyy⇔−+−−=
Do
(
)
(
)
3232
xyyxyy
−+≥−−
Và
(
)
(
)
32;32
xyyxyy






Nếu
30
y
=
Thì
9061151;29
xx−=⇒=
Nếu
30
y
=−
Thì
9061151;29
xx
+=⇒=−−

(
)
()
3211
311
11
0
20
3211

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
}
,29;30,151;30,29;30,151;30,11;0,11;0
xy=−−−−−
4,
(
)
532
xyxy
+=−

(
)
532
xyxy
⇔+−=−

(
)
1596
xyxy

−==

∗⇔

−==


4
351
3
353126
3
x
x
y
y

=

−=−


∗⇔

−=−−


=



xxyxx
⇔−−−+−=

(
)
(
)
320
xxy
⇔−−+=

3;
2;
xyZ
yxxZ
=∈

⇔

=+∈


c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia
là hằng số.Chẳng hạn
(,)
0
xy
f
=

22
3(31)380
xyxyy
⇔+−+−=

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có
2
2791
y
yy
∆=−++
.
Để pt đã cho có nghiệm thì
2
27910
0,013,3;
y
yy
yyZ
∆=−++≥
⇔−≤≤∈

{
}
0,1,2,3
y∈ Thay vào ta được
Nếu
2
030
yxx

1
3250
5
3
x
xx
x
=


⇔+−=⇒
−

=


Nếu
2
23540
yxx
=⇒+−=

254873
∆=+=
(không phải là số chính phương)
Nếu
2
33830
yxx
=⇒++=

xxyyy
⇔+−++=

22
4444
yyyy
∆=−+−+

2
43
y
∆=−
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
22
430111
yyy
−≥⇔≤⇔−≤≤

Nếu
2
11210
yxxx
=−⇒−+−+=

2
2
320
1
x
xx

11210
yxxx
=⇒++−−=

2
0
0
1
x
xx
x
=

⇔−=⇒

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)

3610
yy
−++≥

0,1542,154
y
⇔−≤≤

}
{
0;1;2
y∈
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
10
Nếu
2
00
yxx
=⇒−=

2
1
0
0
x
xx
x

yxx
=⇒−+=

2
2
320
1
x
xx
x
=

⇔−+=⇒

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(


22
(32)260
xyxyy
⇔+−+−−=

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
2
81612
y
yy
∆=−++

Để pt đã cho có nghiệm thì
2
y
m
∆=
22
22
81612
(4)12
y
yym
my
∆=−++=
⇔−−=
(4)(4)122.62.(6)
mymy
−++−===−−

++−−=
⇔++=

Pt này vô nghiệm.
46
42
my
my
−+=−


+−=−

4
6
m
y
=−

⇔

=


Pt đ ã cho vô nghiệm
2,
(
)
22
2363260

)
(
)
1132
mymy
⇔++−+=

Do
(
)
(
)
11
mymy
++≥−+

Và
(
)
(
)
1;1
mymy
++−+
có cùng tính chẵn lẻ,
(
)
10
my
++≥

+=

++=




14
6
6
1;3
12
18
my
m
m
y
y
my


−+=
=
=±


∗⇔⇔

=−
+=

x
−−
==−

Nếu
2
8316860
yxxx
=−⇒−+−−=
2
11100
xx
⇔−+=

phương trinh có nghiệm:
12
1;10
xx
==

Nếu
2
13260
yxxx
=⇒−−+−=
2
280
xx
⇔−−=


x
=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
}
,3;6,6;6,10;8,1;8,4;1,2;10;36;3
xy
=−−−−−−

3,
2222

22
22
4323223
ymymymym
⇒−=⇔−=⇔−+=

2122
1
1
231
ymy
y
m
ymm

−==
=±


∗⇔⇔

=±
+==




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.


xy
f
=
có dạng
2
(,)()
xyx
AB
=hoặc
2
(,)()
xyy
AB
= Thì
2
()
()
0
x
x
Bm
B

=


≥


hoặc

1824161;20
182247;8
yyx
yyx
yyx
−=⇔==
−==⇒==
−==⇒==

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1)
C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn:
1. Giải phương trình nghiệm nguyên
a. x
4
– 2y
4
– x
2
y
2
– 4x
2
– 7y
2
-5 = 0
Đ ặt t=x
2
ta c ó: t
2
– 2y

⇔x
2
+xy +y
2
– 7 =0
222
428283
y
yyy
∆=−+=−
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
0
y
∆≥

}
{
222
283091;4;9
yyy⇒−≥⇔≤⇔∈
Nếu y = -1
22
12
170602;3
xxxxxx
⇒−+−=⇔−−=⇔=−=

Nếu y = 1
22
12

⇒−+−=⇔−+=⇔==

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(