Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
Phơng pháp 1. đa phơng trình ớc số
Biến đổi phơng trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là
tích của các số nguyên.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
y
3
-x
3
= 91 (1)
Lời Giải.
(1) <=> (y - x)(x
2
+ xy + y
2
) = 91 vì x
2
+ xy + y
2
> 0 với mọi x, y.
Nên =>y - x > 0.
Mặt khác 91 = 1.91 = 7.13 và (y - x); (x
2
+ xy + y
2
) đều nguyên dơng nên ta có 4 khả
năng sau:
1) (y - x) = 91 và (x
2
+ xy + y

{1; 2; 3}.
- Nếu x.y = 1 => x = y =1, Thay vào (2) ta đợc 2 + z = z vô lí.
- Nếu x.y = 2 => x = 1; y = 2 . Thay vào (2) ta đợc x = 3.
- Nếu x.y = 3 => x = 1; y = 3 . Thay vào (2) ta đợc x = 2.
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 3}
VD.
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

2
111
=++
zyx
(3)
Lời Giải.
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z
Ta có 2 =
zyx
111
++
< 3.
x
1
=> x <
2
3
=> x = 1. Thay vào (3) ta có
21
11
=++
zy

Thay vào (4) ta đợc:
4k
2
+ 4k + 1 - 2y
2
= 5 => c y
2
=> y
2
là số chẵn => y là số chẵn.
Đặt y = 2.t ( t

Z), ta có: 2( k
2
+ k - 1) = 4.t
2
k(k + 1) = 2t
2
+ 1.
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn 2t
2
+ 1 là số lẻ.
Vậy phơng trình (4) vô nghiệm.
VD.
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x; y; z thỏa mãn:
x
3
+ y
3
+ z

VD. Tìm nghiệm nguyen của phơng trình:
xy + x - 2y = 3 (6)
Lời Giải
Ta có xy + x - 2y = 3 <=> y(x - 2) = -x +3. Vì x = 2 không phải là nghiệm của
phơng trình nên (6) <=> y =
2
3

+
x
x
<=> y = -1 +
2
1

x
. Ta thấy y là số nguyên nên
x - 2 là ớc của 1 => x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1
=> x = 3 hoặc x = 1
Từ đó ta có nghiệm (x; y) của phơng trình là: (1; -2) và (3; 0)
Chú ý: Ta có thể dùng phơng pháp 1 để giải bài toán này
Phơng pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá đó để suy ra
các giá trị nguyên của ẩn đó.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- xy + y
2

Phơng pháp 5. đa về dạng tổng
Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tổng các bình phơng, vế phải là tổng các
số chính phơng.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
+ y
2
- x - y = 8 (8)
Lời Giải
x
2
+ y
2
- x - y = 8
<=> 4x
2
+ 4y
2
-4x - 4y = 32
<=> (4x
2
- 4x + 1).(4y
2
- 4y + 1) = 34
<=> |2x - 1|
2
+ |2y - 1|
2

2
- 5y
2
= 0 thì ta có x
0
2
- 5y
0
2
= 0 suy
ra x
0
chia hết cho 5. Đặt x
0
= 5x
1
( x
1

Z). Ta có
25 x1
2
- 5y
0
2
= 0 => y
0
chia hết cho 5. Đặt y
0
= 5y

0
; y
0
đều chia hết cho 5
k
.
Điều này chỉ xẩy ra khi x
0
= y
0
= 0.
Vậy phơng trình x
2
- 5y
2
= 0 có nghiệm duy nhất là x = 0; y = 0
Phơng pháp 7. xét chữ số tận cùng
VD.
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1! +2! +3! +4! +........+ x! = y
2
(10)
Lời Giải
Cho x lần lợt bằng 1; 2; 3; 4 ta có ngay hai nghiệm nguyên dơng của phơng
trình (10) là: ( 1; 1) và (3; 3).
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! (k > 4) đều có chữ số tận cùng bằng 0
=>1! +2! +3! +4! +........+ x! có chữ số tận cùng bằng 3 vì:
1! +2! +3! +4! +........+ x! = 33 + 5! + ... + x!. Mặt khác vế phải là số chính phơng
nên không thể có chữ số tận cùng bằng 3.
Vậy phơng trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dơng:

Giải phơng trình nghiệm nguyên
3x
2
+ y
2
+ 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12)
Lời Giải
3x
2
+ y
2
+ 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
<=> y
2
+ (4x + 2).y + 3x
2
+ 4x + 5 = 0
Ta thấy nếu phơng trình có ngghiệm thì y nguyên suy ra (- 4x - 2 +
x'

) nguyên.
Mà x nguyên
x'

nguyên =>

'y = x
2
- 4 = n
2

1
5
21
yxx
yxx
=>





+=
+=+
25
2
.
1
255
2
5
1
5
yxx
yxx
=> (x
1
- 2)(x
2
- 5) = 2 = 1.2 = (-1).(-2)
=>

b) y
4
= x
6
+ 3x
3
+ 1.
Bài 3. Chứng minh rằng phơng trình.
2
5
.t = 2.t
5
+ 1997 không có nghiệm nguyên.
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x
3
- 3y
3
- 9z
3
= 0
Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình .