5
k171999
y

=
5
2
t
17
393
<<

Bài viết:
ứng dụng tính chia hết
vào việc giảt một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên.
Lê Trọng Châu
Phó Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Hà Tĩnh
(Mail: 0393.650 775 0985 997 942)
Trong quá trình dạy học và bồi dỡng HSG môn toán ở trờng phổ thông tôi thấy rằng học sinh có
thể tiếp thu một cách dễ dàng các phép tính số học, thực hiện tốt các d y tính các phức tạp... Song, khiã
gặp một số bài toán nghiệm nguyên của một phơng trình thì đa số học sinh thờng
" lúng túng"
, nhiều em

k
k
k
y 52 t,
5
k -2
ặt t tụcpTiê .
5
)2(2
3399
5
171999
==

+=

==>
Từ đây ta có : x= 12 - 30 t (*)
y= 393 + 17 t (**)
Thay các công thức (*) và (**) vào (1) phơng trình đợc nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) đợc biểu thị bởi công thức
: x = 12 - 30 t
y = 17 t + 393 ( t z)
b/ Tìm nghiệm nguyên dơng:
Phơng trình ( 1) có nghiệm nguyên dơng khi và chỉ khi 12 - 30 t > 0 và
17t + 393 > 0 suy ra:
Vì t Z nên t { 0; -1 ; -2.....; -22 ; - 23 } có 24 giá trị của t. Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng
trình (1) tơng ứng với các giá trị của t khi thay vào các công thức trên, phơng trình (1) có 24 nghiệm
nguyên dơng.


5
3k-1
-4k - 400 y , ) b (
5
2k 1
-3k - 400 y , (a)
5
34
4399
=
+
=
+
+=
k
ky
Tuy nhiên cách tách trong bài giải trên đơn giản hơn so với những cách (a); (b); (c) trên vì khi gải (a);
(b) ; (c) ta cần đặt thêm ẩn phụ làm cho bài toán trở nên phức tạp dài dòng trong cách giải.
3/ Việc giải các phơng trình dạng ax+ by = c đ có công thức giải ở trong một số tài liệu tham khảo.ã
Tổng quát: ax+ by = c x= x
0
+ bt
a,b,c
z
; (a,b) = 1 y = y
0
- at
Trong đó x
0
; y

+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0;

ax
2
y + by
2
x + cxy + dy+ ex + f = 0

Bài toán 2.1
: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
7x+ 11 = 2xy + 3y ( 3)

Hớng giải:
Vì x z nên 2x + 3 0 .

3x2
2x
3
3x2
2x)3x2(3
3x2
2x9x6
3x2
11x7
y
+
+
+=

2
2
2
2
+
+==>>+
+
++
=
x
x
xx
xx
y
Ta có y
z
=> ( 6x - 4 ) ( x
2
- x + 1 ) <=> 2 ( 3x - 2) ( x
2
- x+ 1) 2 ( x
2
- x+ 1)
(3x-2 ) ( x
2
- x+ 1)
x
2
- x+ 1 = + 2
x

- x+ 1) =>
Ta biểu thị x theo y nh sau:
=>








Từ đây ta đợc các nghiệm: (3; 7 ), ( 0;1), (1, 7 ) đây cũng là nghiệm của phơng trình ( 4).

Bài toán 2.3:
Cho phơng trình x
2
- y
2
+ 7x = 0 (5)
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình với y N
b/ Tìm các số x Z để x
2
+ 7x là một số chính phơng.

Hớng giải:
a/
Cách 1
: Đa phơng trình (5) về phơng trình ớc số
(5) <=> (4x
2

= 0, x
2
= -7
- Với y = 12 ta có x
3
= 9, x
4
= -16
b/ Giải tơng tự câu a)

Bài toán 4:
Chứng tỏ rằng các phơng tình sau không có nghiệm nguyên
a/ 2x
2
+ y
2
= 1999 (6) b/ 7x
2
- 5y
2
= 3 (6')

Hớng giải:
a/ Ta có: 2x
2
2 và 1999 2 nên để có (6) thì y
2
phải lẽ => y lẽ.
Đặt y = 2k + 1 (k
z

+ y
2
3. Nếu x
2
và y
2
đều chia hết cho 3. Do
đó x và y đều chia hết cho 3 nên x
2
và y
2
chia hết cho 9. Nh vậy 7x
2
- 5 y
2

!
9 còn 3
!
9 vậy (6' ) không có
nghiệm nguyên.
Nhận xét:
Phơng trình nghiệm nguyên dạng
"bậc 2 có hai ẩn"
là dạng toán thờng gặp ở bậc
THCS. Khi giải nó chúng ta thờng đa về phơng trình ớc số (phơng trình tích) hoặc dùng tính chất chia hết
hoặc dùng điều kiện cần để một phơng trình bậc 2 có nghiệm.
* Bài tập tơng tự: 1/ Tìm nghiệm nguyên các phơg trình sau:
a/ x
2

+ x
3
= 4y
2
+ 4y ( 7)

Hớng giải:
Dùng tính chất chia hết và tính chất của số chính phơng, ta có:
3






m
3
8
1 3m






n =


(7) <=> 1+ x + x
2

+ 1 ) = 1 Vậy x+1 và x
2
+ 1 đều là số chính phơng
Dễ thấy x
2
và x
2
+ 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà đều là số chính phơng nên x = 0 . Khi đó theo ( 7 ) thì y
= 0 hoặc y = -1 .
Nghiệm của (7) là: ( 0; 0); ( 0;-1
)

3.2. Bài toán 8:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
- 8 = y
3
+ xy ( 8)

Hớng giải:
Ta có (8) <=> ( x- y)
3
+ 3xy ( x- y ) = xy + 8
Đặt: x- y = m, xy = n ta có : m
3
+ 3mn = n+ 8 <=> m
3
- 8 = - n( 3m - 1)
=> m
3

4
+ y
4
+ ( x+y)
4
= 4004

Hớng giải:
a/ Ta có nhận xét : Lập phơng của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể d 0; 1; 8; ( thật vậy
nếu a 3 => a
3
9. Nếu a = BS 3 + 1 thì a
3
= BS 9 + 1 ...). Do đó x
3
+ y
3
chia cho 9 chỉ có d 0; 1; 2; 7; 8 còn
2002 chia 9 d 4 vậy phơng trình đ cho không có nghiệm nguyên ã
b/ Ta có: x
4
+ y
4
+ ( x+ y )
4
= 4004 <=> 2( x
2
+ y
2
+ xy)

+ 1 = y
4

2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên
a/ x
3
+ y
3
= 2002 , b/ x
4
+ y
3
+ ( x+ y )
4
= 3996, c/ x
3
+ y
3
= 7 , d/ x
5
+ 2xy

= 10. ( 3y + 1 )
Dạng 4: Phơng trình có chứa 3 ẩn , 4 ẩn
4.1 Bài toán:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 2x- 5y - 6z = 4 (10)
Hớng giải:
Từ (10 ) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 5y 2 => y 2

Đặt y = 2m, ta có x - 5m - 3z = 2 => x= 5m + 3z + 2

7
y 7 , ta viết (11) dới dạng:
( x
7
- x ) + ( y
7
- y ) + ( x+ y ) = 7z ta có x+ y 7 đặt x+ y = 7 k ; x = t, ( k
z
, t
z
)
Ta có công thức nghiệm: x= t ; y= 7k - t và z = [ t
7
+ ( 7k - t )
7
] : 7 ( Với k, t
z
)

4.3 Bài toán:
Chứng tỏ phơng trình:
x
4
+ y
4
+ x
4
+ z
4
+ t

4
+k
4
chia cho 16 có số d nhỏ hơn hoặc
bằng 5. Còn vế phải 2006 chia cho 16 d 6. Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên.

* Một số bài tập tơng tự:
1/Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a/ 2x-5y-z = 4, b/ x
2
+2y
2
+ z
2
- 2xy - 2y + 2z

+ 2= 0, c/ x
3
+ y
3
+ z
3
=1

+ 3xyz
2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên
a/ x
2
+ y
2

Hớng 1:Đa về phơng trình ớc số
Nhân 2 vế với 2xy ta có ( 13) <=> 2x+ 2y + 1 = xy ; (13) <=> ( x-2 ) ( y-2) = 5
Từ đây ta có nghiệm ( 7;3) , (3,7)
Hớng 2: Giả sử x > y thì
6,
3
2
111
2
1
.................
1
2
1
;
11
<<++=<
yrasuy
yxyyxyxyyx
Mặt khác: y > 1 nên xét y { 2;3;4;5 } đợc y = 3; x= 7 ; Đáp số: ( 7;3) , (3,7)

Bài toán 5.2:
Xác định a để phơng trình

( )
141
xy
a
y
1

(y
2
- 1) <=> y
1
(y
1
+ ax
1
) = x
2
1
(dy
2
1
-1) vì (x
1
, y
1
) = 1
Nếu (dy
2
1
- 1 ) y
1
=> y
1
là ớc số của 1 do y nguyên dơng nên y
1
= 1 => x
1

có nghiệm nguyên dơng