Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9
Một số phơng pháp giải phơng trình
đa thức bậc cao một ẩn
Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc
nhất và bậc hai
Phơng trình bậc 3
- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc
3 dạng x
3
+ ax = b với a , b > 0
- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x
3

+ ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b
- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng
trình bậc ba
Phơng trình bậc 4
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng
trình bậc bốn
Phơng trình bậc cao hơn 4
Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách
giải tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công
Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học
nguời Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng
căn thức hay không.
- A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng
quát không thể giải đợc bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm
của phơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai
căn

3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này
thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1.
5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0 5x
3
- 5x
2
- x
2
+ x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(x
2
- x - 3) = 0
x- 1 = 0 hoặc x
2
- x - 3 = 0
x
2
- x - 3 = 0 x =
2
131 +

4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0 (x
4
+ 12x
3
+ 36x
2
) - (4x
2
+ 8x + 4) = 0
(x
2
+ 6x)
2
- (2x + 2)
2
= 0 (x
2
+ 8x +2)(x
2
+ 4x -2) = 0
x
2
+ 8x + 2 = 0 hoặc x
2
+ 4x - 2 = 0

Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 2)
2
- 12(x
2
+ x + 2) + 35 = 0
Giải
Đặt x
2
+ x + 2 = y . Ta có phơng trình
y
2
- 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7
Với y = 5 x
2
+ x - 3 = 0 x =
2
131 +
hoặc x =
2
131
Với y = 7 x
2
+ x -5 = 0 x =
2
211 +
hoặc x =
2
211

2
+ 5x + 5 = y. Ta có phơng trình
(y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y
2
= 4 y = 2 hoặc y = -2
Với y = 2 x
2
+ 5x + 3 = 0 x =
2
135 +
hoặc x =
2
135
3
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

Với y = -2 x
2
+ 5x + 7 = 0 phong trình này vô nghiêm vì < 0
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm
x
1
=
2
135 +
; x
2
=
2
135

2
=
104
; x
3
= -4
Bài tập
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a) 3x
4
- 22x
2
- 45 = 0 b) x
6
- 9x
3
+ 8 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
3
- 11x
2
+ 2x + 15 = 0 b) x
4
+ x
2
+ 6x - 8 = 0 c) x
4
+ 4x
3

Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

I . Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch)
Định nghĩa:
Phơng trình có dạng
a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
= 0 ( a 0).
Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau
( a
n
= a
0
; a
n-1
= a
1
; ). Gọi là phơng trình đối xứng
Nếu n là số chẵn ta gọi là phơng trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là
phơng trình đối xứng bậc lẻ .







+






+






+=+




2
2
1
1
1111

2
+ 3x - 16 + 3
x
1
+
2
2
x
= 0
2






++






+
x
x
x
x
1
3

5
. Thứ tự thay y = -4 và y
=
2
5
. vào (2) ta có x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=2 ; x
4
=
2
1
c) Lu ý : Nếu m là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc chẵn thì
m
1
cũng là nghiệm
của phơng trình đó .
2. Phơng trình đối xứng bậc lẻ
a) Cách giải :
Vì x = -1 luôn là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc lẻ . Nên phơng trình đã
cho trở thành phơng trình
(x + 1).f(x) = 0





=+++
=+
02xx6xx2
01x
234
Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 đã đợc giải ở trên
Vậy phơng trình đã cho có năm nghiệm
x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=2 ; x
4
=

- 29x
4
+ 27x
3
- 29x + 6 = 0
Bài 5: Giải các phơng trình sau
6
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

a) x
4
- 3x
2
+ 6x
2
+ 3x + 1 = 0 b) x
5
+ 4x
4
+ 3x
2
- 4x + 1 = 0
Bài 6: Giải phơng trình
a) 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế của phơng
trình (1) cho x 0 . Ta đợc phơng trình :
4
3
x
60
17x
x
60
16x =






++






++
Đặt x + 17 +
x
60
= y
Ta có phơng trình 4(y - 1)y - 3 = 0 4y
2

4
= 16
Giải
7
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

Đặt x -
2
86 +
= x - 7 = y phơng trình trở thành
(y - 1)
4
+ (y + 1)
4
= 16 y
4
+ 6y
2
- 7 = 0
Đặt y
2
= z ( z 0) phơng trình trở thành
z
2
+ 6z - 7 = 0 z
1
= 1 ; z
2
= -7 (Loại)
Với z = 1 y = 1 hoặc y = -1 x = 8 hoặc x = 6.

4
+ (x + 5)
4
= 40 b) ( x- 2)
6
- (x - 4)
6
= 64
Kết luận: Nói chung là không có phong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các
phơng trình bậc cao. Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải
riêng thích hợp. ở trên đã nêu một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt và cách giải .
Các em HS có thể tìm một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải
những phơng trình đó
Hết
8
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn

Các chuyên đề bồi dỡng HS giỏi 9
Hệ thống lý thuyết
hệ thống bài tập
gợi mở phat triển
Trờng hợp đặc biệt: Phơng trình trùng phơng
+ Định nghĩa: Phơng ttrình có dạng ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a 0)
+ Cách giải:
- Đặt x
2

x
2n
+ a
2n-1
x
2n-1
+ + a
n+1
x
n+1
+ a
n
x
n
+
trong đó a
2n
0 và a
i
= a
2n-i
. k
n-i
i = 0 ; 1; 2; ; n-1 là phơng trình thuận nghịc bậc
chẵn
10