Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9
Một số phơng pháp giải phơng trình
đa thức bậc cao một ẩn
Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất
và bậc hai
Phơng trình bậc 3
- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc 3
dạng x
3
+ ax = b với a , b > 0
- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x
3
+
ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b
- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng
trình bậc ba
Phơng trình bậc 4
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng
trình bậc bốn
Phơng trình bậc cao hơn 4
Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải
tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công
Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời
Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức
hay không.
- A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát
không thể giải đợc bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm của ph-
ơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn
- Còn Ga-loa chỉ ra đợc dấu hiệu nhận biết một phơng trình bậc cao hơn bốn có thể
giải đợc bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang

- 2x
3
+ 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành
nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1.
5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0 5x
3
- 5x
2
- x
2
+ x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(x
2
- x - 3) = 0
x- 1 = 0 hoặc x
2
- x - 3 = 0
x
2
- x - 3 = 0 x =
2
131
+
hoặc x =
2

4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0 (x
4
+ 12x
3
+ 36x
2
) - (4x
2
+ 8x + 4) = 0
(x
2
+ 6x)
2
- (2x + 2)
2
= 0 (x
2
+ 8x +2)(x
2
+ 4x -2) = 0
x
2
+ 8x + 2 = 0 hoặc x
2
+ 4x - 2 = 0

62
+
; x
4
=
62

II. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 2)
2
- 12(x
2
+ x + 2) + 35 = 0
Giải
Đặt x
2
+ x + 2 = y . Ta có phơng trình
y
2
- 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7
Với y = 5 x
2
+ x - 3 = 0 x =
2
131
+
hoặc x =
2

211
+
; x
4
=
2
211

Ví dụ 4: Giải phơng trình (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) - 3 = 0

Giải
Đặt x
2
+ 5x + 5 = y. Ta có phơng trình
(y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y
2
= 4 y = 2 hoặc y = -2
Với y = 2 x
2
+ 5x + 3 = 0 x =
2
135
+
hoặc x =
2
135

2
= 25 y = 5 hoặc y = -5
Với y = 5 x
2
+ 8x + 6 = 0 x =
104
+
hoặc x =
104

Với y = -5 x
2
+ 8x + 16 = 0 (x + 4)
2
= 0 x = -4
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm
x
1
=
104
+
; x
2
=
104

; x
3
= -4
Bài tập

3
+ 3x
2
- 2x - 1 = 0 (x
2
+ 2x)
2
- (x - 1)
2
= 0
(x
2
+ x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = 0
Bài 3: Giải các phơng trình sau
a) x(x
2
- 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4
c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112
---------------------------@------------------------
Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt
I . Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch)
Định nghĩa:
Phơng trình có dạng
a
n
x
n
+ a

b) 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5)
1. Phơng trình đối xứng bậc chẵn:
a ) Cách giải:
+ Chia cả hai vế cho
0
2

n
x
+ Đặt x +
x
1
= y (1)
+ Biểu diễn:






+


x
x
x
x
x
x
+ Thay giá trị vừa tìm đợc của y tìm giá trị của x
b) Ví dụ:
Giải phơng trình sau :
2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn)
Giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế cho x
2
0 ta có phơng
trình :
2x
2
+ 3x - 16 + 3
x
1
+
2
2
x







+
2
2
1
x
x
= y
2
- 2 .
Ta có phơng trình 2y
2
+ 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y =
2
5
. Thứ tự thay y = -4 và y =
2
5
. vào (2) ta có x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -