ĐỀ CƯƠNG TOÁN
I) ĐẠI SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
• Một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số x và y là hệ phương trình có
dạng :
(I)
' ' '
(1)
(2)
ax by c
a x b y c
+ =


+ =


trong đó ax + by = c và a
’
x + b
’
y = c
’
là những phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Minh họa hình học:
Gọi (d
1
), (d
2
) lần lượt là hai đường thẳng xác định bởi phương trình (1) và (2)

thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.
* Bổ sung
1) Ta chứng minh được:
• Hệ (I) có vô số nghiệm nếu
' ' '
a b c
a b c
= =
; (a’, b’,c’
≠
0)
• Vô nghiệm nếu
' ' '
a b c
a b c
= ≠
(a’, b’,c’
≠
0)
• Có một nghiệm duy nhất nếu
' '
a b
a b
≠
(a’, b’
≠
0)
2) Để giải một hệ phương trình,có khi ta đặt ẩn phụ rồi sau đó mới giải bằng
phương pháp cộng hoặc phương pháp thế.


b
a
−
.
• Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
2
b
a
− + ∆
và x
2
=
2
b
a
− − ∆
* Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có b = 2b’,
∆
’ = b’
2

.
2. Hệ thức Vi-ét:
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


3. Ứng dụng:

2
– SX +P = 0 (1) (điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0)
c) Chú ý :
Trước khi áp dụng hệ thức Vi- ét cần tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai:
a
≠
0 và ∆ ≥ 0
4. Bổ sung:
* Xét dấu các nghiệm của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
+ Có 2 nghiệm trái dấu là: P < 0
+ Có hai nghiệm cùng dấu là: ∆ ≥ 0 và P > 0
• Có 2 nghiệm cùng dương là: ∆ ≥ 0, P > 0, S > 0
Có 2 nghiệm cùng âm là: ∆ ≥ 0, P > 0, S < 0
C. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1. Phương trình đa thức có bậc lớn hơn hai:
Phương pháp giải :
a) Đưa về phương trình tích A(x).B(x) M(x) = 0 trong đó A(x) , B(x), ,M(x) là
những đa thức có bậc không quá 2.
b) Đặt ẩn phụ :
Nhiều phương trình đa thức bậc cao ta có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Để giải
bài toán bằng phương pháp này, ta cần chú ý:
Bước 1: Lựa chọn một cách đặt ẩn phụ f(x) = t (hoặc u,v, y, ) hợp lí và đặt điều kiện
cho ẩn phụ

Hướng giải : Chia cả hai vế của phương trình cho x
2
≠
0 , rồi nhóm lại ta được
a(x
2
+
2
1
x
) + b(x +
1
x
) + c = 0.
Đặt
+
1
x
x
= t , điều kiện |t| ≥ 2 thì
+
2
2
1
x
x
= t
2
- 2, sẽ dẫn đến phương trình bậc
hai : at

3
+ bx
2
+ cx + d = 0 thì điều kiện là a + b + c + d = 0)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ, thì phương trình có một
nghiệm x = - 1.
(Với phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 thì điều kiện là a - b + c - d = 0)
Bài 1: Không giải mà dựa vào phương trình trong hệ. Hãy cho biết số nghiệm của hệ
phương trình sau đây và giải thích vì sao?
a)
4
2 1
y x
y x
= −


= −

b)
1
4
3
1
2
3

nghiệm của chúng
Bài 3: Tìm a và b:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(1;2) và B(3;4)
b)Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; - 6)và đi qua giao điểm của hai
đường thẳng (d
1
): 2x + 5y = 17, (d
2
): 2x – 5y = 7.
Bài 3: Giải các hpt sau:
a)
5 7 40
3 2 8
x y
y x
− =


− = −

b)
5 7
4 22
x y
x y
+ =


+ =


2
2 1
3 2
3
2 1
x y
x y

+ =

− −



− =

− −

Bài 4: Cho hệ phương trình:
3
(1 ) 0
kx ky
k x y
+ = −


− + =

a) Giải hệ với k = 2
b) Tìm k để hệ có 2 nghiệm âm

1
2
y x= −

2
y x= −

2
2y x=
a) vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) tìm 3 điểm A,B,C có cùng hoành độ là 1,5 theo thứ tự trên đồ thị. Xác định tung độ
của chúng.
c) Tìm 3 điểm A’,B’,C’ có cùng hoành độ là -1,5 theo thứ tự trên đồ thị. Xác định
tung độ của chúng
d) Có nhận xét gì về sự đb, nb của các hàm số trên
Bài 11: Giải các phương trình sau đây
a)
2
8 3 0x x− =
b)
2
4,5 4,5 0x x− + =
c)
2
4 6 2 0x x− + =
Bài 12: Cho phương trình
2 2
2( 2) 0x m x m− + + =
a) giải phương trình với m = 1
b) giải và biện luận số nghiệm của phương trình

18uv
=
Bài 17: Cho pt
2
7 0x x m− + =
. Tính giá trị của m biết rằng phương trình đã cho có 2
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
5x x− =
Bài 18:Cho phương trình x
2
– (2m+1)x + 7m – 1= 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
Bài 18: Giải phương trình:
a)
2
14 4 7 1
9 3 3 3
x
x x x x
−
+ = −
− + + −
b)

riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể.
II) HÌNH HỌC:
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính
MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S
(S nằm giữa A và D) CMR:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) Góc ABD = góc ACD.
c) CA là phân giác của góc SCB
Câu 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E
∈
BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,
đường vuông góc đó cắt DE ở H và cắt DC ở K.
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.
b) Tính số đo của góc CHK.
c) CMR: KC.KD = KH.KB.
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn
(0). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB tại D và E.
a) CMR:
BD
2
= AD . CD.
b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.
c) BC // DE.
Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên cung AB lấy hai điểm M và N
sao cho M
»
ANÎ
. Có AM cắt BN tại E; AN cắt BM tại F.
Chứng minh rằng:
a) EMFN là tứ giác nội tiếp.