BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
A. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ.
Bài 1.
1) Giải phương trình: x
3
– 8 + ln(x – 1) = 0
2) Giải bất phương trình: x
3
– 8 + ln(x – 1) > 0
Bài 2.
Giải phương trình:
4
log (3 1)
4
log [3 1]
x
x
+
+ =
Bài 3.
Giải phưong trình: sin2x – cosx = 1 + log
2
sinx ; x
(0; )
2
π
∈
Bài 4.
Giải bất phương trình: (3
x

x co x
+ − ≥
Bài 7.
Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình:
a
x
≥ 1 + x, nghiệm đúng
x R∀ ∈
B. CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài 8.
Chứng minh rằng: Nếu x ≥ 2 thì
( 3 2 2 ) ( 3 2 2 ) 6
x x
+ + − ≥
Bài 9.
Chứng minh rằng:
: 0x x
π
∀ < <
thì ta có
sin tan 1
2 2 2
x x x +
+ ≥
Bài 10.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
sin (1 6cos )
2 2
x x
y = +

3
– 3x
2
sin2m với
0
2
x
π
≤ ≤

có cực tiểu nằm trên đoạn [- sinm; cosm]
Bài 15.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x
x
+ y
y
với x, y
∈
(0; 1)
Bài 16.
Chứng minh rằng: Nếu
0 2
α
< ≤
và
(0; )
2
x
π
∈


≠

=


=

Trong đó
α
là hằng số dương. Tìm tất cả các giá trị của
α
để f(x) có đạo hàm tại
mọi x.
Bài 19.
Cho dãy số (x
n
) xác định như sau:
x
1
= 2 ; x
n
=
2 2
cos[ .log log ]n
π
với n > 1. Giả sử: a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 0 và a, b, c
∈
Z.
Chứng minh rằng: