Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian
Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Lý thuyết
- Hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc
với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O, có các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục là
.
Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao, O: gốc của hệ toạ độ.
- Trong hệ toạ độ Oxyz cho một vectơ tuỳ ý , có duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho:
.
- Bộ (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ , kí hiệu là . x: hoành độ, y:
tung độ, z: cao độ.
- Nếu thì :
- Nếu điểm M trong không gian thoả mãn: thì (x; y; z)
gọi là toạ độ điểm M, kí hiệu: M(x; y; z) hay M = (x; y; z).
- Nếu thì .
- Cho điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, tức là , trong đó
1
, ,i j k
r r r
v
r
v xi y j zk
= + +
r r r r
v
r
( ) ( )
; ; hay ; ;v x y z v x y z
=
r r
( ) ( )

= = + +
uuuur uuuur r r r
( ) ( )
A ; ; , B ; ;
A A A B B B
x y z x y z
( )
AB ; ;
B A B A B A
x x y y z z
= − − −
uuur
MA MBk
=
uuuur uuur
1
A = (x
A
; y
A
; z
A
), B = (x
B
; y
B
; z
B
), thì toạ độ M là
- M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

k
−

=

−

−

=

−

−

=

−

2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x

r r r
3 4 2a j k i
= − + +
r r r r
a =
r
( )
3;4;2
−
( )
2; 3;4
−
( )
3;2;4
−
( )
4; 3;2
−
( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 2 3a b c a b
= − = − = −
r r r r r
c
r
( )
1; 16;9−
( )
4; 16;9−
( )
4; 16;3

a a b c b
= − = = −
r r r r r
c
r
1 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
1 1 2
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
( )
3; 3; 6− −
( )
3;3;6−
( )
3
3;1; 2 , 2 , .
2
a a b b c
= − = − =
r r r r r

4;3;1
( )
5;3;0
5
;1;0
3
 
 ÷
 
4 1
;1;
3 3
 
 ÷
 
( )
1; 1;1
−
( )
3;1;3
( )
1;1;1
( )
1; 1; 1
− − −
( )
2;0;2
( )
2;0; 2− −
3

−
( )
2;2;0
( )
3;0;0
( )
3;0;0−
( )
0;2;0
( )
0;0;1
, ,i j k
r r r
3
;1;0 ,
2
a b j a
 
= − = −
 ÷
 
r r r r
b
r
3
;0;0
2
 
−
 ÷

( )
2;4; 2− −
2 4 2
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
2 4 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 1;2; 1 , 1;0;2 .a b c
= − = − =
r r r
3 2d a b c
= − − =
ur r r r
( )
2;1; 4−
( )
3; 11;4− −
( )
3; 11;2− −
( )

, ,i j k
r r r
( ) ( )
5;4;1 , 3; 2; 3 .a b
= = − −
r r
2c a b
= −
r r r
7 10 5c i j k
= + +
r r r r
7 6 5c i j k
= + +
r r r r
13 10 5c i j k
= + +
r r r r
7 10c i j k
= + −
r r r r
, ,i j k
r r r
2 , 3 5 .a i j k b i k
= − + − = +
r r r r r r r
c a b
= −
r r r
c

A. (1; - 1; 3). B. (- 1; 1; - 3). C. (-1; 1; 3). D. (-1; - 1; 3).
Câu 14:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm D(12; - 5; 6). Toạ độ điểm D’ đối xứng với D qua trục tung là:
A. (12; 5; 6). B. (12; 5; - 6). C. (- 12; - 5; - 6). D. (- 12; 5; - 6).
Phương án đúng:
1B, 2D, 3C, 4A, 5C, 6D, 7D, 8B, 9C, 10C, 11B, 12D, 13A, 14C
C. Bài tập tự luận
Các bài tập sau xét trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz với các vectơ đơn vị
Bài 1. Viết toạ độ của các vectơ sau đây:
Giải:
, ,
Bài 2. Viết dưới dạng các vectơ sau:
Giải:
6
, ,i j k
r r r
2 3 4 , 2 ,a i j k b j i
= − + − = −
r r r r r r r
3 , 2c k d k i
= = − −
r r ur r r
( )
2;3; 4a
= − −
r
( )
2 0. 1;2;0b i j k b
= − + + ⇒ = −
r r r r r

Bài 4. Cho điểm M(-1; 2; 3). Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M
a) Trên trục Ox
b) Trên mặt phẳng Oyz.
Giải:
a) Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox ⇒ y
M’
= z
M’
= 0, x
M’
= x
M
= -1 ⇒ M’= (-
1; 0; 0).
b) Gọi M’’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Oyz
⇒ x
M’’
= 0, y
M’’
= y
M
= 2; z
M’’
= z
M
= 3 ⇒ M’’ = (0; 2; 3).
Bài 5. Cho điểm A(1; 2; 1), B( -2; 1; 2).
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua trục Oy
b) Tìm toạ độ điểm B’ đối xứng với B qua mặt phẳng xOy.
c) Tìm toạ độ điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số – 3.

( )
( ) ( )
; ; 2.2 0 4;
2. 5 2 2 8;
2.3 1 5 4; 8;5 ,
1
'; '; ' .2 3.0 1 0;
2
1 5
' 5 3. 2 6 ;
2 2
1 13
' .3 3.1 2
2 2
5 13
0; ;
2 2
d x y z x
y
z d
e x y z x
y
z
e
= ⇒ = − =
= − − − = −
= − = ⇒ = −
= ⇒ = + − =
= − + − + = −
= + + =

toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3. Cho hai điểm A(3; 1; 2), B(-1; 3; - 4). Tìm toạ độ giao điểm của AB với mặt phẳng xOy.
Bài 4. Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; -3), B( 3; 2; 0), C( - 4; 2; 5).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tìm a và b để điểm M(a + 2; 2b – 1) thuộc đường thẳng AC.
Bài 5. Cho bốn điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh rằng hai
đường thẳng AB và CD cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Bài 1. a)
8
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' '
' '
' '
3 1 3 2
7
1 3 4 4
3
2 3.1 5 7 5 7
; ;
1 3 4 4 4 4 4
3 1 3 2



− − − + −

= = = −
− −


( ) ( )
0; 2;4 , 1;3; 1 ,a b
= − = −
r r
( )
2;0;5c
=
r
1
4 3
3
d a b c= − +
ur r r r
x
r
2x a a
+ = −
r r r
u
r
2 3 5a u b
+ =

2 5 5 19 13
; ;
3 3 3 3 3
u a b
 
= − + = −
 ÷
 
r r r
; ' ', ' '; ' 'AD BC AA CC BB CC DD CC
= = = =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur
MA k MB=
uuur uuur
3 5
1 3
1 3 1 5
1 2 3
2 4 0
0
1
k
x x
k
k
MA kMB y k y
k
k z
k
+

uuur uuur
,AM AC
uuuur uuur
1 2 3 4 3 3
;
5 0 8 2 2
a b
b a
− −
= = ⇒ = = −
−
,AB CD
uuur uuur
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
( ) ( )
3; 5; 8 , 2; 2; 4AB CD
= − − = − −
uuur uuur
,AB CD
uuur uuur
9
*) . đồng phẳng ⇔ tồn tại hai số k, l sao cho:
. Vậy ba vectơ đồng phẳng (2).
(1) và (2) ⇒ đpcm

10
( )
7; 8; 15 , 5; 6; 11AD AC
= − − = − −



, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
10