QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Tính góc giữa hai đường thẳng.
PP:
*) Tính góc giữa hai đường thẳng:
- Đưa về tính góc trong một tam giác rồi sử dung định lý cosin trong tam giác.
- Đưa về tính góc giữa hai véc tơ.
*) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
- Sử dụng ĐL về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
/ /a b
c b
c a

⇒ ⊥

⊥

- Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau.
CMR: AC ⊥ B’D’; AB’ ⊥ CD’; AD’ ⊥ CB’
Bài 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD,
AD, BC, CA.
a) CMR: MN ⊥ RP và MN ⊥ RQ
b) CMR: AB ⊥ CD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=CD = a; AC= BD = b; AD=BC= c.
a) CMR các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính cos của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. AB = CD = 2a. MN = a
3

ND k NB=
uuur uuur
. Tính góc giữa MN và BC.
Dạng 2: Các bài toán về thiết diện và tính diện tích thiết diện.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD. Có đáy ABCD là hình bình hành. AB = a. AD = 2a. SAB là tam
giác vuông cân ở A. M ∈ AD. Mặt phẳng (α) đi qua M // (SAB) và giao với BC, SC, SD tại N,
P, Q.
a) CMR: MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt x = AM. Tính diện tích MNPQ theo a, x.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là 1
điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song
với AB, CD.
a) Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi (P)
đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng chu vi của thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi
AB = CD.
Bài 11: Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại
A. Với điểm M bất kỳ thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (α) đi qua M và song
song với SA và CD.
a) Thiết diện của hình chop S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α ) là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và b. Biết: AB = a, SA = b. M là trung điểm của AD.
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD. AB = a, CD = b. I, J là trung điểm của AB và CD. M
tùy ý thuộc đoạn IJ. (α ) là mặt phẳng đi qua M và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (ICD).
b) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện ABCD. Chứng minh thiết diện là hình chữ
nhật.
c) Tính diện tích thiết diện biết IJ = 3IM.
Bài 13: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở , góc ABC = 60
0
, AB = a. Gọi