Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Đề 1
Bài 1: (8 điểm) Cho parabol

2
1
( ) :
3
P y x=
.
a)Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
(2;1)A
.
b)Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm
(2;1)A
và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đ-
ờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của
đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
c)Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp
tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: (4điểm) Giải hệ phơng trình:
2 2
19
7
x y xy
x y xy

+ =

+ + =


1
và (P) là:
2 2
1
2 1 3 6 3 0
3
x ax a x ax a= + + =
0.50
Để d
1
là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:

' =
2
2
9 24 12 0
2
3
a
a a
a
=


= + =

=

2,0
Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:

3 9 3 3
m m

> >
ữ

4
3
4 2
2
3 3
(*)
3
4
2
3
4 2
3 3
m
m
m
m
m
m








1,5
Hong Dng THCS Phựng Hng
2
2
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x
1
và x
2
là 2
nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:
1 2
2
2 2 2 2
; 2 1; 3
3
3 3 3 3
2 2
2 4
1 2
1
3 3
x x x
m x x
x x
m
x
I
y mx m

0,50
1.3 (2,0 điểm)
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Ph-
ơng trình đờng thẳng d' qua M
0
và có hệ số góc k là:
y kx b= +
, đờng
thẳng này đi qua M
0
nên
0 0 0 0
y kx b b y kx= + =
, suy ra pt của d':
0 0
y kx kx y= +
.
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
2 2
0 0 0 0
1
3 3 3 0
3
x kx kx y x kx kx y= + + =
(**)
0,50

(4,0 điểm)
( )
2
2 2 2
19 3 19
3 19
7 7
7
S x y
x y xy S P
x y xy
P xy
x y xy S P
x y xy

= +

+ = =

+ =



ữ
=
+ + = + =
+ + =

; ; ;
2 3
1 6 1 6
x x x x
y y
y y

= = = = +
= =
= + =
2,0
Hong Dng THCS Phựng Hng
3
3
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
3.
8,0
3.1
Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của
By và ED. Ta có:
ã
ã
0
90BEI BCA= =

ã
ã
ã
ã
ã
0
45EBI IBD KBD IBD
EBI KBD
+ = + =
=
Do đó:
ã
ã
0
90
BEI BDK
BDK BEI

= =
:
+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.
+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI. 3,0
Đề 2
Bài 1: (7 điểm)
1. Giải phơng trình:
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a
và c thì ta có:
1 1 2

là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
OM ON
AM DN
+
, khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2. Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không
phải là đờng kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K
để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Hết
Đáp án và thang điểm:

Hong Dng THCS Phựng Hng
5
5
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1.
7,0
1.1 (2,0 điểm)
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
( ) ( )
2 2
4 4
1 3 2x x + =
( )
4 4 4

1; 81S =

1,0
1.2
(3,0 điểm)
1 1 2
1 1 1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c
+ =
+ + +
=
+ + + +
0,50
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 c b
A
a b c a
a b c a
c b
a b c a b c

= =
+ +
+ +

=

b c c a b c c a
+ +
= = =
+ +
+ + + +

Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng. 1,0
Hong Dng THCS Phựng Hng
6
6
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
2.
6,0
2.1
(3,0 điểm)
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
(xác định với mọi
xR
)
( )
2

;
2 2
Max y Min y= =
0,5
2.2
(3,0 điểm)
( )
2 2 2 2
2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + + = + + + =
(***)
0,5
Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:
( )
( )
2
2 2
3 2 4 2 4 3 4 8y y y y y = + = +
là số chính phơng.
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 2 12y y k k y k + = + =Z
( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a + + + =
1,0
Ta có: Tổng
( )
2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ + + + = +
là số chẵn, nên
( )
2 ; ( 2 )y k y k+ + +

vì:
à
à
0
90O E= =
;
à
C
chung. Suy ra:
.
(1)
OM CO ED CO
OM
ED CE CE
= =
Ta có:
AMC EAC :
vì:
à
C chung
,
à
à
0
45A E= =
. Suy ra:
.
(2)
AM AC EA AC
AM

.
( , 45 ) (5)
DN DB DB ED
DNB EDB B chung D E DN
ED EB EB
= = = =:
1,0
Hong Dng THCS Phựng Hng
7
7
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Từ (4) và (5):
.
(6)
.
2
ON OB EA EA
DN DB ED
ED
= =
. Từ (3) và (6):
1
2
OM ON
AM DN
ì =
Đặt
,
OM ON
x y

2 2
OM ON OM ED
khi EA ED
AM DN AM
EA

+ = = = =
ữ E là trung điểm của dây cung
ằ
AD
.
1,0
3.2 (3,0 điểm)
GKH
có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng
KG KH
+
lớn nhất.
Trên tia đối của tia KG lấy
điểm N sao cho KN = KH.
Khi đó,
HKN

cân tại K.
Suy ra
ã ã
1

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính
của cung tròn, suy ra
GHK
vuông tại H, do đó
ã
ã
KGH KHG=
(vì lần lợt
phụ với hai góc bằng nhau). Khi đó, K là trung điểm của cung lớn
ẳ
GH
.
Vậy: Chu vi của
GKH
lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn
ẳ
GH
.
1,5
Đề 3
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 2 2 0 (1).x mx m + =
.
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
Hong Dng THCS Phựng Hng
8

0
60 ; ;ABC BC a AB c= = =
(
,a c
là hai độ dài cho trớc), Hình chữ
nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là
hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
1. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính
diện tích lớn nhất đó.
2. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó.
Hết
Đáp án và thang điểm:

Hong Dng THCS Phựng Hng
9
9
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm
1.
8,0
1.1 (2,0 điểm)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:
2
2
' 4 0
2


>

1.5
1.2 (3,0 điểm)
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2
' 4 0 2 2m m = > < <
(*)
0,50
( ) ( )
2
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
5 5
3
2 2
x x x x x x x x

+ = + + =

0,50
2
2 3
3( 2) 5
6 5 0
2 2
m
m m m m


+
= > >
và
3 3
5 21
2 0 2
2
x x

= > <
0,5
Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
1 21
1;
2
m m
+
= =
0,5
1.3 (3,0 điểm)
Phơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
2
2
' 4 0
2
0 2 2 (**)
2
0
m
m


0,50
Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dơng của phơng
trình là
2
2
4
0
2
m m
x
+
= >
. Suy ra:
( )
2 2
2 2 2
2
2
4 2 4
2 4 4
4 4
m m
m m m m
x
+
+ +
= =
0,50
Theo bất đẳng thức Cô-si:

x x
x x x x
x x x x



+ =

+ =


(2)
( )
2
2
2
2
4 0
0 4
4 2 4
3 0
3
t x x
t
t x
t t
t t

=


2 2
13 9
4 0 4
2
t t

= < <
. Suy ra nghiệm của (3) là
2
t
.
1,0
Giải phơng trình
1
2 2
2 2
2
9 13
2
2
4 4 0
9 13
2
2
x
x x t x x t
x





MN AM ax
MN
BC AB c
= =
( )
0
3
sin 60
2
c x
MQ BM

= =
.
Suy ra diện tích của MNPQ
là:
( )
( )
3
3
2 2
ax c x
a
S x c x
c c

= =
2,0
+ Ta có bất đẳng thức:

3 3
2 4 8
a c ac
S
c
ì =
.
Vậy:
max
3
8
ac
S =
khi
2
c
x =
hay M là trung điểm của cạnh AC.
2,0
Hong Dng THCS Phựng Hng
12
12
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác
ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.
Dựng hình chữ nhật:
E'F'G'H'
( ' ; ', ' )E AB G H BC
.
Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên:

= = = + = +
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F
duy nhất.
Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở
trên cạnh BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.
1,0
+ Đặt
AE x
=
. Ta có
EF AE ax
EF
BC AB c
= =
;
( )
( ) 3
sin
2
c x
HE c x B

= =
EFGH là hình vuông, nên
2
( ) 3 3
2
2 3

+ =

+ =

4. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c c a b b c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
+ + + + + +
+ + + + + + + + +
Hong Dng THCS Phựng Hng
13
13
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Thì
| | | | | |a b c= =
Bài 2: (6 điểm)
3. Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên
gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống
nhau.
4. A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con
gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và ngời song
sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba
ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?
Bài 3: (7 điểm)
Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau.
Đờng tròn (O
1
) nội tiếp trong tam giác ACD. Đờng tròn (O
2

1.
7,0
1.1 (4,0 điểm)
4
4
3 4
3 4
x y
y x

+ =

+ =

. Điều kiện để hệ có nghiệm là:
3
4
3
4
x
y







(*)
0,5

( )
2 2
4 0x y x y+ + + >
).
1,0
Thay vào (a):
( )
4 4 4
3 4 4 3 0 1 4 1 0x y x x x x+ = + = =
( )
( )
( )
( )
2
3 2 2
1 3 0 1 2 3 0 1x x x x x x x x + + = + + = =
vì
( )
2
2
2 3 1 2 0x x x+ + = + + >
.
So với điều kiện (*), ta có:
3
1
4
x y= = >
.
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất :
1

a b b c c a a b b c c a
+ + = + +
+ + + + + +
Do đó:
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
a b b c c a a b b c c a
+ + = + +
+ + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2
0 0
a c a b c b a b c
a c b a c b
a b b c c a a b b c c a
+ + + +

+ + = =
+ + + + + +
1,0
Hong Dng THCS Phựng Hng
15
15
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2


+ + = =


=

2 2 2
| | | | | |a b c a b c = = = =
1,0
2.
6,0
2.1
(4,0 điểm)
Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng
( )
2
0,S abbb k k k= = > Z
0,5
2
1000 9999 33 99k k
, nên k chỉ gồm 2 chữ số:
10k xy x y= = +
( )
2 2 2
100 20 3 9;0 9k x xy y x y= + +
.
1,0
Nếu y lẻ:
2
1;3;5;7;9 1;9;25;49;81 1;5;9y y b= = =

2
16;36y =
, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên
chữ số hàng chục của k
2
phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6,
nghĩa là
2
k abbb
.
Với y = 8: y
2
= 64;
2 2
100 160 64k x x= + +
, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8
thì chữ số hàng chục của k
2
mới bằng 4, suy ra
2 2
38 1444k = =
hoặc
2 2
88 7744k = =
(không thoả điều kiện bài toán).
Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh
38k =
và diện tích
1444S =
.

S pr

=
( )
2
1
2
2
R AC CD r = +
( )
2
2 1R R r = +
1 2
R
r =
+
+ Đờng tròn (O
2
) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O
2
ở trên tia phân giác
của góc
ã
BOD
, (O
2
) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở
trên đờng thẳng nối 2 tâm O và O
2
, chính là giao điểm của tia phân giác

+ Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O
3
) cũng
bằng (O
2
), nên bán kính của (O
3
) cũng bằng
1 2
R
r =
+
.
1,0
+ Đờng tròn (O
4
) có hai trờng hợp:
a) Tr ờng hợp 1: (O
4
) ở bên trái (O
1
):
Kẻ tiếp chung của (O
4
) và (O
1
) tại tiếp điểm K cắt AC và
AD tại E và F.
CO và CA là còn là 2 tiếp tuyến của (O
1

1
2
4 2 2 1
1
22 30'
1 2
1 2
R
O OKF
tg KF
KC CO
+
= = = =
+
+
(
)
( )
2
3
4 2 2 1
1 2
CEF
R
S CK KF
+
= ì =
+
V
.

(
)
1 1
4 2 2 1
4 2 2
' '
1 2 1 2 1 2
R
R R
CK CO O K
+ +
+
= + = + =
+ + +
(
)
( )
0
2
4 2 2 1
' ' ' ' 22 30'
1 2
R
F H K F CK tg
+ +
= = =
+
(
)
( )

+ +
(
)
( )
2
2
4 2 2 1
1 2
R
CH
+ +
=
+
Suy ra: Bán kính của đờng tròn (O'
4
) là:

(
)
( )
2
' ' 0
4 4
3
4 2 2 1
22 30'
1 2
R
r O H CHtg
+ +

2
- 2y = 2
Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến
chia lớp thành các tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín
người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở
điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O,
R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường
tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?
Hết
Hoàng Dương – THCS Phùng Hưng
19
19
Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n ( cã ®¸p ¸n)
Câu Nội dung – yêu cầu
Điểm

x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1
x 1 x 1 1 0
x 1 0hay x 2 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2
− − + = ⇔ − = −
 
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− = − − − − =
 
 
≤ − ≥

≤ − ≥


⇔ ⇔
 
 
− − − =
− = − =


 

+ + +
−
+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ −
+ +
≥ −
= ⇔ =
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0
0,5
0,5
0,5
4
(2đ)
. Đặt u = x
2

≥
0, ta có:
2u + 3y = 1
8
13
u
=

3u - 2y = 2
1
13
y
=−

Do đó:

1
13
y
=−
Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n ( cã ®¸p ¸n)
2 26 1 2 26 1
( , ) ( , );( , )
13 13
13 13
x y
−
= − −

5
(4đ)
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.
Theo đề ra ta có hệ:
32 24
x y
=
(1)
9
≤
x + y
≤
15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>
4

∈
z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là:
56
4
6 8
=
+
tổ
0,5
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
6
(5đ)
C
a)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn
đường kính OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn
đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

; do ú, OP//MC.
Vy t giỏc MCOP l hỡnh bỡnh hnh.
c)
( . )CND COM g g :
Nờn
OC CM
CN CD
=
hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

d) Vỡ MP = OC = R khụng i.
Vy P chy trờn ng thng k t D //AB. Do M ch chy
trờn on AB nờn P ch chy trờn EF thuc ng thng song
núi trờn.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
7
(3)
*
ã
90
o

Baỡi 2 (2 õióứm):
Cho haỡm sọỳ y = - 2x + 2 coù õọử thở (D) vaỡ haỡm sọỳ
-4
y =
x
coù õọử thở (H)
a) Tỗm toaỷ õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H)
b) Tỗm trón (H) õióứm A(x
A
, y
A
) vaỡ trón (D) õióứm B(x
B
, y
B
) thoaớ maợn caùc
õióửu kióỷn: x
A
+ x
B
= 0 vaỡ 2y
A
- y
B
= 15
Baỡi 3 (2 õióứm):
Tỗm caùc cỷp sọỳ nguyón (x , y) sao cho:
2
1
2 2 1

(0,25 õ)
b) (1,25 õ)
Vồùi x

0 thỗ

2
x
A = 0
1 3
x - +
2 4
(0,5 õ)
Hong Dng THCS Phựng Hng
23
23
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Do õoù A
min
= 0 khi x = 0
( )




2
2 2


y = -2
Vỏỷy toaỷ õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H) laỡ (-1 ; 4) vaỡ (2 ; -2) (0,25 õ)
b) (1,25 õ)
A (x
A
, y
A
)

(H) nón y
A
=
A
-4
x
(1) (0,25 õ)
B (x
B
, y
B
)

(D) nón y
B
= -2x
B
+ 2 (2)
Do x
A

17
2
(3)
Tổỡ (1) vaỡ (3)

x
A
+
17
2
=
A
-4
x
2x
A
2
+ 17x
A
+ 8 = 0 (0,25 õ)
(2x
A
+ 1) (x
A
+ 8) = 0
x
A
=
1
2

=
1
2
; x
B
= 8

y
B
= -14
Vỏỷy A (
1
2

; 8) vaỡ B (
1
2
; 1) (0,25 õ)
hoỷc A (-8 ;
1
2
) vaỡ B (8 ; -14)
Baỡi 3 (2 õióứm):
Tổỡ
2
1
x -2x - < y < 2 - x -1
2
Suy ra


F

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
x = 1


2
1 1
1 2.1 0
2 2
= >
(loaỷi)
x = 2


2
1 1
2 2.2 0
2 2
= <
(nhỏỷn)
Vồùi y = 1 ta coù
1< 2 - x -1 x -1 <1 -1< x -1<1

0 < x < 2 Do õoù x = 1 (0,5 õ)
x = 1


2
1 1

= OE
2
- OI
2
= R
2
-

2 2
R 3R 3.R
= ị EI =
4 4 2
EF = 2EI =
3
.R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R
S
AECF
=
1
2
. AC . EF =
1
2
. 3R .
3
. R =
2
3 3
R
2

OMF = EAF = 2EAO
sin
ã
EAO
=
ã
EAO
0
OE R 1
= = ị = 30
OA 2R 2
Do õoù
ã
OMF
= 60
0
nón
OAM
OFM
S
S
=
0
1
cos60
=
1
2
1
2