đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1:
a) Rút gọn A =
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
++
++
b) Tính B =
1400
10

260
10
140
10
56
10
++++
c) So sánh
20092010
20092009 +
với
2010
2010
Câu 2:
Cho phân số A =
35
10




+++x
b) Chứng minh rằng nếu a, b

N và a + 5b

7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC =
60
. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT
là tia phân giác của góc xMy
a) Tính AMy
b) Chứng minh góc CMT =

90
Câu 5:
a) Cho S =
2500
2499

25
24
16
15
9
8


260
10
140
10
56
10
700
5

130
5
70
5
28
5
++++
=
28.25
5

13.10
5
10.7
5
7.4
5
++++
=
.(

3
5
)
28
1
25
1

13
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
===++++
c)(1,5điểm) Ta có
20092010
20092009 +
=
2010.2009)12009(2009
20092009
=+

2010.20102010

Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6
5n - 3 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6
5n 4 2 5 1 6 0 9 -3
n 1 0
b)(1điểm)
35
6
2
35
6)35(2

+=

+
=
nn
n
A
A có giá trị lớn nhất

35
6
n
có GTLN

5n 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất

5n 3 = 2

5n = 5

(:
11
780
3
2
=






+++=+++ xx
6040
3
2
545
3
2
5)
33
8
.
2
13
(:
11
780
3
2

7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5

d và 2n + 1

d =>
6n + 5 3(2n + 1)

d => 2

d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù =>
gócxMC =
= 12060180
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy =

60
mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy =
= 12060180


60
x M A
b)( 1 điểm)
Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT
gócCMT = góc CMY + góc yMT =

4
1
1 +++++=S

)
50
1

5
1
4
1
3
1
2
1
(1 111
22222
+++++++++=
49 s/h B
= 49 B
B =
1
50
1
1
50.49
1

4.3


5.4
1
4.3
1
3.2
1
50
1

4
1
3
1
2
1
2222
=>==++++>+++
=>
<< 1
3
1
B
48 < S < 49 => (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y


*
N

ữ ữ

b. So sánh:
2 6 12 20 30 42A = + + + + +
và
24B =
Câu 2:
c. Cho
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
.
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(Với
0abc
và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số:
( )
f x
xác đinh với moi giá tri của
x R
. Biết rằng với mọi
0x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2008 2009 2010 2011 2008A x x y x= + + + +
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho
BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH

BC
b. Chứng minh
MAN BAM
>
c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.

Cõu 1(4)
1.a(2)
1.b(2)
Cõu 2(4)
2.a(2)
Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 7
Ta cú:
1579.
9
1
8
1
.16
51.79.
3
1






+







Ta cú:
4230201262
+++++=
A
B==+++++=
+++++<
245,65,55,45,35.25,1
25,4025,3025,2025,1225,625,2
Vy A<B
T gi thit suy ra:
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2.b(2đ)

cba
y
cba
x
b
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
a
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
+−
=
−+
=
++
−+
=
+−

c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 44
9
2
9
2
9
Vậy
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
Với x=2 ta có:
( )
4

( )
6
7
2 −=f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )



=−
=−
⇔
=−−−⇔
=−−−−⇔
−=−
+
+
++
=+
15
05
0515
0555
55
10
1

5;5 −−⇒ yx
thuộc ước của 25.
Giải ra tìm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả mãn điều kiện bài toán là:
(x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tính chất
aa −=
và
baba +≥+
, dấu “=” xảy ra khi
0
≥
ab
và
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5

ACN(cgc)

AM=AN
- Chứng minh đựơc

ABH=

ACH(cgc)

0
90AHB AHC AH BC = =
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh đợc
( )
AMN DMB cgc MAN BDM = =
và AM=AN=BD
-Chứng minh đợc BA>AM

BA>BD
-Xét
BAD
có BA>BD

BDA BAD >
hay
MAN BAM
>
Vì AK
0
0 90A

KC=AK+AC=16cm
-
ABK
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
BKC
vuông tai K
2 2
288BC BK KC = + =
Vậy BC=6cm hoặc BC=
288cm
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu1: Cho biểu thức: A =
xx
x

3
(x 3)
3
(2x + 1)
3
b) áp dụng giải phơng trình:
(3x 2)
3
(x 3)
3
= (2x + 1)
3
Câu3: a) Giải phơng trình:
12 x
= 2x + 1
b) Cho số thực x thoã mãn:
2
1
1
2
=
+ xx
x
Tính giá trị của biểu thức: B =
12
1183
23
34
++
+



2
1
0
1
x
x
x
+) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A =
x
x
21
2

b) (1đ) Ta có A =
x
x
21
2

= -1 +
x21
1

. Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi
1 2x =
1



3


(3x 2)
3
(x 3)
3
- (2x + 1)
3
= 0


3(3x 2)( - x + 3)( - 2x 1) = 0


x =
3
2
hoặc x = 3 hoặc x = -
2
1
Câu3:(4đ)
a)(2đ) +) Với x

0: Phơng trình đã cho trở thành

12 x
= 2x + 1 . Giải đợc x = 0
+) Với x
<

= (8x 3)x = 8x
2
3x = 21x -8
Do đó B =
12
1183
23
34
++
+
xxx
xxx
=
3
15
3
15
1)13(238
118)38(3821
==
++
+
x
x
xxx
xxx
=5
Câu4: (3đ) Ta có x
2
2xy + x - 2y =(x 2y)(x + 1)


CDE ~

CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
CAD
CA
CD
CB
CE
∆⇒=⇒
~
°==⇒=⇒∆ 45
ˆˆˆ
ˆ
1111
DEBACBE
(V×
∆
AHD vu«ng
c©n)
ABE∆⇒
vu«ng c©n
⇒
AE = AB(®fcm).
b)(3®) Tõ
∆
ABE vu«ng c©n kÕt hîp víi GT suy ra AM
⊥
BE.KÐo dµi AM c¾t BC
t¹i K. Ta cã:

H
E
D
K
M
1
1
C
A
1
1