Bài 1: Gọi I là tâm vòng tròn nội tiếp tứ giác lồi
ABCD
. Chứng minh rằng
2
2 2
( ) ( ) ( )AI DI BI CI AB CD++ + = +
Bài 2: Nếu a,b,c > 0 và abc = 1 thì (a+b)(b+c)(c+a)
6
)
2
(
a b c+ +
≤
Bài 3: Cho n > 3 và các số thực
1 2
, ,
n
x xx
thỏa mãn
1
1
n
i
i
x
=
=
∏
. Chúng minh rằng:

1 1 2 2 2 3 1

Bài 10: Tìm hàm
i. /
ii./
Bài 11 : Cho . điểm ngoài . xét các đtròn trực giao với mà qua . cắt
tại .
a./ Biết , tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn
b./ lần lượt cắt tại tìm quỹ tích tâm ngoại tam giác .
Bài 12 :a) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện
với mọi thuộc
b) Với là một đa thức bậc bất kỳ cho trước, hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đa thức
với hệ số thực thoả mãn điều kiện ?
Bài 13 : Cho dãy được xác định bởi:
a,Chứng minh rằng nếu thì dãy không hội tụ.
b,Chứng minh rằng tồn tại vô số số thuộc sao cho dãy hội tụ.
Bài 14 : Trong một giải cờ vua có kỳ thủ thi đấu vòng tròn lượt. Mỗi một cặp kỳ thủ
thi đấu với nhau lần ở lượt đi và một lần ở lượt về (thắng được điểm, thua điểm và
hoà được nửa điểm). Cuối giải đấu người ta thấy rằng, đối với mỗi kỳ thủ tổng số điểm ở
lượt đi và tổng số điểm ở lượt về của kỳ thủ đó chênh lệch nhau không ít hơn .
Chứng minh rằng tất cả các chênh lệch này bằng
Bài 15 : Cho tam giác . Xét nửa đường tròn tâm đường kính (với thuộc
) tiếp xúc với lần lượt tại và . Nối và cắt nhau tại nối cắt
tại
a,Chứng minh rằng là phân giác góc
b, Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm.
Bài 16 :
Giải hệ phương trình:
Bài 17 : a) Cho đa thức với hệ số thực.
Chứng minh rằng nếu thì
b.Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó vuông góc với nhau.

b. Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho điểm . Điểm di
động trong mặt phẳng sao cho tam giác thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh
tới bằng lần bán kính đường tròn tâm nội tiếp tam giác . Chứng minh khi
thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 28 : Cho tam giác nhọn. và là đường cao ( và .
Đường tròn cắt tại . Đường tròn cắt tại . Chứng minh
Bài 29 : Chứng minh rằng với số nguyên lẻ bất kỳ bao giờ cũng tồn tại một số
nguyên lẻ thứ tư sao cho tổng là một số chính phương.
Bài 30 : Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả thì
Bài 31 : Cho thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 32 : Cho với . Chứng minh:
Bài 33: Tìm các giá trị có thể của với mọi số thực .
Bài 34: Với mọi số nguyên dương , đặt . Chứng minh:

Bài 35 : Giải hệ phương trình:
Bài 36 : Cho thực thỏa mãn : =0
Chứng minh phương trình có nghiệm thuộc
Bài 37 : Cho , thuộc miền trong góc sao cho các góc và
là bằng nhau. Vẽ các đường tròn . cắt tại . cắt
tại và cắt tại . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .Chứng minh
tam giác vuông.
Bài 38 : Cho dãy thỏa mãn và
Tính
Bài 39 : Cho hàm số thỏa mãn điều kiện:
Cmr:
Bài 40: X ét dãy
CMR có lim
Bài 41 :CMR
Bài 42 : Giải pt nghiem nguyen

Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 57 : Từ miếng bìa hình vuông có cạnh bằng có thể cắt thành hình tròn có bán kính
bẳng thì tỉ số min bẳng bao nhiêu?
Bài 58 : Cho a,b,c khác o và các số này có tổng đôi một khác 0
CMR:
Bài 59 :Cho . Chứng minh rằng:
Bài 60 : Giải pt:
Bài 61 : Giải hệ:
Bài 62 : Cho tam giác nhọn nội tiếp với .
Chứng minh rằng :
Bài 63 : Tam giác nội tiếp . Đường cao = .
là hình chiếu của lên và .
a) CMR :
b) CMR : thẳng hàng.
Bài 64 : Cho hàm số . Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho
với mỗi số nguyên .
Bài 65 : Giả sử là các số nguyên dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 66 : Cho đường tròn . Trên lấy điểm phân biệt. Gọi và lần
lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác . Gọi là trung điểm của . Chứng
minh rằng giá trị biểu thức không phụ thuộc vào vị trí các điểm
trên .
Bài 67 : Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn:
Bài 68 : Tìm mọi hàm liên tục thỏa mãn:
Bài 69 : Cho đường tròn và tứ giác ngoại tiếp đường tròn.
Qua lần lượt kẻ vuông góc với cắt tại ,
cắt tại , cắt tại , cắt tại .
CMR: và cùng đi qua .
Bài 70 : Hãy tìm số lớn nhất là tích của các số nguyên dương sao cho tổng các số nguyên
dương đó bằng
Bài 71 : Xét hai đa thức và có các hệ số

Bài 81 : a. Chứng minh tồn tại dãy số thực dương mà mọi tổng của một số hữu hạn các
phần tử đều nhỏ hơn .
b .Cho dãy số dương giảm ,thỏa mãn tổng của một số hữu hạn các số hạng là nhỏ .
Chứng minh rằng
và tính
Bài 82 : Cho hàm số thỏa mãn:
Với mọi cặp số nguyên dương đều tồn tại một số nguyên dương sao cho :
Chứng minh là hàm hằng
Bài 83 : Trong mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng trong đó nằm giữa .
Hai đường tròn : đi qua , đi qua cắt nhau tại .
là điểm chính giữa cung của (không chứa ),
là điểm chính giữa cung của (không chứa )
là trung điểm của
Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và trung điểm nằm trên một đường thẳng
cố định khi thay đổi
Bài 84 : Xung quanh sân vận động có cái hộp đựng bóng .Giả sử bạn có trong tay một
số lượng đủ lớn các quả bóng.Đầu tiên người ta bỏ vào một số hộp nào đó một số quả
bòng tùy ý.Sau đó mỗi lần cho phép bạn chọn cái hộp liên tiếp và bỏ thêm vao mỗi hộp
một quả bóng.
i. Chứng minh rằng : Dù ban đầu số bóng bỏ vào trong các hộp thế nào thì bạn cũng có
thể làm cho hộp đó có số bóng như nhau sau hữu hạn lần thực hiện quy tắc trên.
ii .Khẳng định không còn đúng nếu số hộp đựng là
Bài 85 : Giải hệ phương trình
Bài 86 : Cho tùy ý nội tiếp đường tròn . là trọng tâm của tam giác đó.
tùy ý thuộc hình tròn đường kính . Các đường thẳng cắt đường tròn
ở . Xác định vị trí của để tỷ số diện tích hai tam giác và
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 87 : Trên mặt phẳng tọa độ ta quy ước một đa giác nguyên là một đa giác mà tọa độ
các đỉnh của nó là các số nguyên. Hỏi trên mặt phẳng tọa độ có tồn tại 2007-giác nguyên
mà độ dài các cạnh của nó bằng nhau.

cắt tại . cắt ở và cắt tiếp tuyến qua đối với đường tròn
tại .
i. Đường thẳng có tính chất đặc biệt gì không phụ thuộc vị trí của
ii . Đường thẳng đi qua điểm nào trên ?
Bài 98 : Cho
Giải phương trình :
Bài 99 : Cho dãy thỏa mãn:
CMR: là số chính phương
Bài 100 : Cho tam giác nhọn là trung điểm của , là hình chiếu của
trên
CMR: đồng qui tại điểm và đường thẳng đi qua điểm đó và
đi qua trung điểm đoạn .
Bài 101 : Trên mặt phẳng cho điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng .
điểm bất kì được nối với nhau bởi đoạn thẳng được tô đỏ hoặc xanh.
Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng được tô đỏ sao cho bất kì tam giác nào tạo bởi trong số
điểm trên đều có ít nhất cạnh màu đỏ.
Bài 102 : Cho thỏa mãn ( )| ( )
CMR:
Bài 103 : Cho thỏa mãn
Tìm max , min của biểu thức sau:
Bài 104 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
i.
ii.
iii.
iiii. .
iiiii .
( )f n ≤
2006 .
Bài 105 : Cho tứ diện CMR: mặt phẳng , mỗi mặt phẳng đi qua trng điểm một
cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng qui tại điểm.

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
cắt tại .
Chứng minh rằng tiếp xúc với .
Bài 116 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:
Bài 117 : Giải phương trình:
Bài 118: Cho hình thang có ll ; là giao của và .
Trên lấy sao cho .
Gọi là tâm .
Chứng minh rằng:
Bài 119 : Tìm min: với thỏa mãn:
Bài 120 : Tìm thỏa mãn:
Bài 121 : Tìm số nghiệm của phương trình: trên
Bài 122 : Cho thỏa mãn:
Tìm min của:
Bài 123 : Cho đa thức : có nghiệm nguyên không âm.
Tìm lớn nhất thỏa mãn:
Bài 124 : Cho dãy số dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 125 : Cho số dương thỏa mãn:
CMR:
Bài 126 : a.Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn:
b.Với đa thức vừa tìm được, chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho
phương trình vô nghiệm.
Bài 127 : Cho tam giác nội tiếp . nằm trong tam giác.
cắt tại , cắt tại .
cắt tại . Tương tự ta có .
Chứng minh rằng thẳng hàng.
Bài 128 : Hai bạn A và B chơi trò chơi với bàn cờ vua như sau: mỗi bạn đến lượt mình
phải đặt 1 quân tượng vào một ô trống nào đó của bàn cờ mà chưa bị kiểm soát bởi một

Bài 134 : Có N người , , tô mầu bảng theo yêu cầu sau:
i. Trong vòng 1 phút mỗi người phải tô màu xong đúng 1 ô
ii. Họ không được tô màu lại các ô đã tô màu
iii. =1,2, ,người hai phút liên tiếp tô màu 2 ô thì hai ô ấy phải có cạnh chung
Giả sử ban đầu chưa có ô nào được tô màu và ở phút đầu tiên , người được yêu cầu tô
màu ô mà không có 2 ô nào trong ô đó nằm trên cùng 1 hàng hay cùng 1 cột
Tìm số để sau phút họ có thể tô màu hết các ô của bảng
Bài 135 : Cho a, b là hai số nguyên dương, dãy {f(n)} xác định như sau:

(0) 2; (1) ; ( 2) ( 1) ( )f f a f n af n bf n= = + = + +
1)Chứng minh rằng nếu p nguyên tố, k nguyên dương thì
2) Biết rằng Hỏi khẳng định sau có đúng không? Tại sao?
Bài 136 : Cho hình vuông ABCD và điểm E chuyển động trong khoảng AB. Các đường
thẳng DE và BC cắt nhau tại M. Gọi I là trung điểm của đoạn BE. Đường thẳng CI cắt
đường thẳng DE tại N.
1) Chứng minh rằng
2) Chứng minh rằng DN>AC
Câu 3. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức bc=1+a(b+c).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 137 : Cho bốn số nguyên dương thỏa mãn: . Chứng minh
các bất đẳng thức sau:
1. .
2. . Dấu đẳng thức có xảy ra không?
Bài 138 : Cho đa thức . Chứng minh rằng với mỗi
số nguyên dương , các số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 139 : Cho tam giác cân tại và nội tiếp đường tròn . Đường tròn tiếp
xúc ngoài với , tiếp xúc và nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa . Đường
thẳng qua tiếp xúc tại . Đường thẳng qua vuông góc với . Đường
thẳng qua vuông góc với . Chứng minh rằng:
a)

Bài 146 : Cho tứ giác lồi có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.trên các cạnh
AB và CD về phía ngoài ta dựng các tam giác vuông cân ABP(PA=PB) và
CDQ(QC=QD).
CMR:
Bài 147 : Giả sử n là số nguyên dương cố định.Xét các số thực dương thỏa
mãn:
tìm min
Bài 148 : Tìm tất cả các hàm số f: thỏa mãn 3 điệu kiện:
với mọi
Bài 150 : Cho a,b,c là 3 góc của tam giác ABC.
tìm min:
Bài 151 : Cho 2 đường thẳng cố định a,b cắt nhau tại M.
A là điểm cố dịnh thuộc a.A M.xét đường tròn tâm O tùy ý tiếp xúc với a tại A và cắt b
tại B và C.
gọi là đường cao của tam giác ABC.
CMR: tiếp xúc 1 đường cong cố định
Bài 152 : Cho hàm số thỏa mãn các đk:
a,
b,
Hỏi có bao nhiêu giá trị của nhỏ hơn
Bài 153 : Cho các số dương.
Chứng minh bất đẳng thức .
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 154 : Cho ba đường tròn tâm thỏa mãn:Đường tròn tâm và đường tròn
tâm tiếp xúc ngoài tại và đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn tâm tại và
.Qua kẻ đường kính vuông góc với tiếp tuyến tại A(P,B cùng phía vơi tiếp tuyến.
Chứng minh ba đường thẳng , và tiếp tuyến tại đồng qui
Bài 155 : Cho là số nguyên dương.
Tính
Bài 156 : Cho tam giác trên cạnh và trên cạnh cắt tại .

3 3 3 2 2 2
(1 )( )
3
k
a b c kabc a b b c c a+ + + ≥ + + +
Bài 165 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có BC cố định còn A thay đổi
trên (O). Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của các đường phân giác trong góc B,C với
đường tròn ( O
1
) đường kính BC.
a. Chứng minh đường thẳng ( d
1
) đi qua A và vuông góc với MN luôn đi qua
một điểm cố định.
b. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của AB và AC với đường tròn (O
1
). Đường
thẳng (d
2
) đi qua A và vuông góc với HK cắt đường tròn O
1
tại hai điểm P, Q.
Chứng minh rằng giao điểm S của các tiếp tuyến của đường tròn (O
1
) tại P, Q
thuộc một đường thẳng cố định.