chương 7:
So sánh thuật toán Spline với các
công cụ AutoCAD
Ta thực hiện phép so sánh các yếu tố hình học của các đường
cong đặc trưng cho các dạng của đường h
ình lý thuyết tàu, đồng
thời tiến hành tính phương sai tại các điểm mà đường cong đi qua
nhằm đánh giá một cách tổng quan kết quả xấp xỉ Spline. Việc
kiểm tra được thực hiện qua một đoạn chương trình nhỏ. Các kết
quả được trình bày dưới đây.
 Dạng 1
Đường cong được cho đi qua các điểm với toạ độ như sau:
Điểm
A B C D E F G H I J
Z 0 300
600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700
Y 0 50 150 300 500 750 1050 1400 1800 2250
Hệ số góc tiếp tuyến được cho là k = tg(5
0
) = 0,0874
Sau khi x
ấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:
y
i
=a
i
+ b
i
z+ c
i
z

y
7
-31,72167952 0,129279416 0,0002557480 0,0000000035
y
8
23,79125979 0,000290365 0,0532795590 -0,000000001
y
9
-
434,18069116
0,000210735 0,4250998772 0
Trên c
ơ sở các hàm bậc ba đã tìm được, ta tính toán các giá trị toạ
độ tại các tung độ ban đầu. Phương sai tại các điểm nút được tính
theo công thức:
n
y
y
n
i
i



1
2
2

.100
V

y
y
y
y
y
i
i












.100
Kết quả được tổng hợp ở bảng sau:
y
i
(mm)
y
i
=f(z
i
) (mm)
y

0
-26
D 300
300,0000000000
13
0,00000000001
30
4,33905.1
0
-12
1,88273.1
0
-25
E 500
499,9999999999
38
0,00000000006
20
1,24032.1
0
-11
1,5384.10
-
24
F 750
749,9999999997
93
0,00000000020
70
2,76032.1

-26
I
180
0
1799,999999995
42
0,00000000458
00
2,54444.1
0
-10
6,47416.1
0
-22
J
225
0
2249,999999995
29
0,00000000470
98
2,09325.1
0
-10
4,38171.1
0
-22
Sai số trung bình và ph
ương
sai:

H
H
1
I
1
I
Đường cong Spline
Đường cong Spline của
AUTOCAD
Các dạng sai số chính đạt được tại nút:
Sai số trung bình tuyệt đối : y
i
= 9,866.10
-10
(mm)
Sai s
ố trung bình tương đối : y
i
= 5,3826.10
-11
(%)
Phương sai : s = 1,10077.10
-22
(%)
V
ậy tại nút, phương sai đạt được là 1,10077.10
-22
(%) . Giải
thích cho sai số trên là do độ chính xác của máy tính hiện thời,
không thể thực hiện những phép tính hoàn toàn chính xác.

Sai số và phương sai được tổng hợp ở bảng sau:
y
i
(mm) y
i
=f(z
i
) (mm)
y
i
(mm) y
i
(%) y
i
2
(%)
A
1
21,16 21,16583425 0,005834250 0,027572070 0,00000760219
B
1
93,05 93,05708288 0,007082880 0,007611908 0,00000057941
C
1
218,95 218,9564586 0,006458600 0,002949806 0,00000008701
D
1
393,68 393,6667707 0,013229300 0,003360420 0,00000011292
E
1









1
0
32
1
0
11
)()(
n
i
z
z
iiii
n
i
z
z
i
i
i
i
i
dzzdzczbadzzyS

Di
ện tích đo
được bằng
AutoCAD
(mm
2
)
Sai s
ố diện tích
đo được của hai
phương pháp
(mm
2
)
y
1
6703,1668 6732,0061
28,8392
y
2
28523,4165 28612,3506
88,9340
y
3
66363,2917 66291,1822
72,1095
y
4
118693,3541 118736,3568
43,0026




S
S
S

%
Dạng 2 :
Đường cong được cho đi qua các điểm với toạ độ như sau:
Điểm
A B C D E F G H I J
Z 0 300
600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700
Y 200 300 500 800 1200 1650 2050 2400 2600 2700
Hệ số góc tiếp tuyến được cho là k = tg(7
0
) = 0,1227
Sau khi x
ấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:
y
i
=a
i
+ b
i
z+ c
i
z
2

8
0,002701037 -0,000000662
y
6
-2976,653328 5,437331843
8
-
0,002065066
7
0,000000331
y
7
6701,3226626 -
9,924534809
1
0,006042585
2
-
0,000001091
4
y
8
-15525,99199 20,50571740
3
-0,007817985 0,000001008
7
y
9
4393,2988468
8

10
2
9
2
9
2
8
2
8
2
1
2
1
2
0
2
0
9
0
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y

i
2
(%)
A 200
200,000000000
000
0,0000000000
000
0 0
B 300
300,000000000
000
0,0000000000
000
0 0
C 500
500,000000000
034
0,0000000000
340
6,79847.1
0
-12
4,62192.1
0
-25
D 800
800,000000000
144
0,0000000001

0,0000000140 6,86336.1 4,71057.1
593
699 0
-10
0
-21
H 2400
2399,99999998
289
0,0000000171
099
7,12911.1
0
-10
5,08242.1
0
-21
I 2600
2599,99999997
834
0,0000000216
601
8,3308.10
-
10
6,94022.1
0
-21
J 2700
2699,99999997

Phương sai : s = 2,6937.10
-21
(%)
Ta
ị các điểm không trùng với các điểm nút sai số đạt được như
sau:
z
i
y
i
(mm) y
i
=f(z
i
)(mm)
y
i
(mm) y
i
(%) y
i
2
(%)
A
1
150
242,733
8
242,7626
0,0288000

9
988,4046
0,0903000
00
0,0091351
00
0,00000083
450
E
1
1350
1424,51
75
1424,547
6
0,0301000
00
0,0021129
96
0,00000004
465
F
1
1650
1859,67
84
1859,601
1
0,0773000
00

I
1
2550
2652,29
34
2652,287
2
0,0062000
00
0,0002337
60
0,00000000
055
Sai s
ố trung bình và ph
ương sai
0,0472555
56
0,0056632
23
0,00000051
1
Các dạng sai số chính đạt được tại các điểm kiểm tra:
Sai số trung bình tuyệt đối : y
i
= 0,047255556 (mm)
Sai s
ố trung bình tương đối : y
i
= 0,005663223 (%)

y
1
73552,5333 73597,9411
45,4078
y
2
116973,7333 117111,9329
138,1996
y
3
192763,1333 192591,7137
171,4196
y
4
297680,9333 297607,2547
73,6786
y
5
427409,5333 427958,5374
549,0041
y
6
556920,2333 556841,8753
78,3580
y
7
669039,8833 669630,2454
590,3621
y
8

180
0
210
0
240
0
270
0
Y 80
0
160
0
198
0
223
0
242
0
255
0
264
0
270
0
273
0
275
0
A
Đường cong Spline Được vẽ

0
) = 4,3314
Sau khi x
ấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:
y
i
=a
i
+ b
i
z+ c
i
z
2
+ d
i
z
3
Khi đó các hệ số của các đường cong hàm hoá được tổng hợp ở
bảng dưới đây:
a b c d
y
1
800 3,880558533 -0,004902792 0,000002855
y
2
886,2513401 3,161797365 -0,002986096 0,000001257
7
y
3

-
0,000174263
8
0,000000001
2
y
8
-301,79511637 3,522968698
6
-0,001384547 0,000000184
6
y
9
4942,9153931
1
-
1,801221987
3
0,000366439
6
0,000000000
0
Trên cơ sở các hàm bậc ba đã tìm được, ta tính toán các giá trị toạ
độ tại các tung độ ban đầu. Phương sai tại các điểm nút được tính
theo công thức:
n
y
y
n
i

0
9
0
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
i
i












.100

0,00000000000
00
0 0
C
198
0
1979,99999999
998
0,00000000002
00
1,01055.1
0
-12
1,02121.1
0
-26
D
223
0
2229,99999999
972
0,00000000028
01
1,25616.1
0
-11
1,57795.1
0
-24
E

0,00000000479
99
1,81813.1
0
-11
3,30559.1
0
-22
H
270
0
2699,99999998
120
0,00000001880
02
6,96302.1
0
-10
4,84837.1
0
-21
I
273
0
2729,99999998
220
0,00000001780
02
6,52021.1
0

3,71886.1
0
-21
Sai số trung bình và ph
ương
sai:
0,00000000607
01
2,24255.1
0
-10
1,31942.1
0
-21
Các dạng sai số chính đạt được tại nút:
Sai số trung bình tuyệt đối : y
i
= 0,0000000060701 (mm)
Sai số trung bình tương đối : y
i
= 2,24255.10
-10
(%)
Phương sai : s = 1,31942.10
-21
(%)
V
ậy tại nút, phương sai đạt được là 1,31942.10
-17
(%)

B
1
450 1818,9847 1818,9842 0,0004999999999
2,74879.10
-
05
7,55583.10
-
12
C
1
750 2112,6949 2112,6953 0,0003999999999
1,89332.10
-
05
3,58465.10
-
12
D
1
1050 2332,4030 2332,4023 0,0006999999996
3,0012.10
-
05
9,00718.10
-
12
E
1
1350 2491,9242 2491,9238 0,0003999999999

06
5,41406.10
-
13
I
1
2550 2739,3812 2739,3811 0,0000999999997
3,65046.10
-
06
1,33259.10
-
13
Sai số và phương sai
0,0004222222221
2,22721.10
-
05
9,57239.10
-
12
Các dạng sai số chính đạt được tại các điểm kiểm tra:
Sai số trung bình tuyệt đối : y
i
= 0,0004222222221
(mm)
Sai s
ố trung bình tương đối : y
i
= 2,22721.10

)
y
1
376281,2835 375706,1124
575,1711
y
2
542796,8582 542113,8371
683,0211
y
3
633039,0708 633391,7406
352,6698
y
4
698980,4645 698991,0952
10,6307
y
5
746884,7677 746780,5484
104,2193
y
6
779245,1161 779292,8504
47,7343
y
7
801752,4419 801796,0040
43,5621
y

à biểu thức hàm số xác định đồ thị đó đã được cho
trước, tức là các đường cong toán học tường minh, có như thế mới
chứng minh được sức mạnh của phương pháp xấp xỉ Spline.
A
Đường cong Spline
A
1
B
B
1
C
C
1
D
D
1
E
F
G
1
H
F
1
H
1
G
E
1
I
1