Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit
Dạng cơ bản:
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Dạng
( )
0,1
)()(
>= baba
xgxf
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x).
b. Nếu ab thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế.
2. Dạng
( )
0,1)(log)(log >= baxgxf
ba
.
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0.
b. Nếu ab và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh.
c. Nếu ab và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế.
II. Các bài tập áp dụng:
99.
125.3.2
21
=
xxx
100.
xx
3322
loglogloglog =
101.
xx

+
++
xx
xx
xx
107.
5lglg
505 x
x
=
108.
126
6
2
6
loglog
+
xx
x
109.
x
x
=
+ )3(log
5
2
110.
1623
3
2

31
1
13
1
1



+
114.
13
1
12
1
22
+


x
x
115.
2551
2
<<
xx
116.
( )
( )
12log
log

log
2
55
=+ x
x
x

119.
( )
15log.5log
22
5
=
x
x
120.
5log5log
xx
x −=
121.
42log.4log
2
sin
sin
=
x
x
122.
12log.4log
2

22
>x
xx
128.
0
5
34
log
2
2
3
≥
−+
+−
xx
xx
129.
0
2
1
loglog
2
3
6
>






133.
1
2
23
log >
+
+
x
x
x

134.
( )
13log
2
3
>−
−
x
xx

135.
( )
2385log
2
>+− xx
x
136.
( )
[ ]

140.
( )
101
log1
log1
2
≠<>
+
+
a
x
x
a
a
141.
( )
( )
103
5log
35log
3
<>


avới
x
x
a
a
142.

2
5



xx
xxxx
144.
( ) ( )
31log1log2
2
32
2
32
=++++
+
xxxx
145.
xxxxxx
532532
loglogloglogloglog =++
146.
02)5(log6)5(log3)5(log
25/1
55
2
5/1
+++ xxx

147. Với giá trị nào của m thì bất phơng trình

+
22log
)122.7lg()12lg(2lg1
1
x
x
x
xx
150. Tìm tập xác định của hàm số
( )
10
2
5
2
log
2
1
2
<






+

+
= a
x

2sin
cos

Dạng bậc hai:
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Dạng
( )
01,00
13
)(
2
)(2
1
>=++ aaaaaaa
xfxf
đa về phơng trình bậc hai nhờ
phép đặt ẩn phụ
)(xf
at =
>0.
2. Dạng
( )
01,00)(log))(.(log
132
2
1
>=++ aaaxfaxfa
aa
đa về phơng trình bậc
hai nhờ phép đặt ẩn phụ

−






− xx
158.
12
3
1
.9
3
1
/12/2
>






+







+
=−++
x
xx
164.
( ) ( )
02323347 =+−−+
xx
165.
( ) ( )
14347347 ≥++−
xx
166.
( ) ( )
43232 =++−
xx
167.
( ) ( )
10625625
tantan
=−++
xx
168.
xxx /1/1/1
964 =+
169.
104.66.139.6 =+−
xxx
170.
010.725.24.5 ≤−+

2
3
=+−−
+
xx
x
175.
( )
2log2log
2
2
=++
+
xx
x
x

176.
( )
( )
( )
1log2
2log
1
13log
2
3
2
++=+−
+

8
1
log14log.44log
2/1
2
1
2
=++
+ xx
181.
( ) ( )
222log12log
1
2/12
>
+xx
182.
( ) ( )
1
1
1
2525
+


+
x
x
x
183.




x
x
x
x

185.
( )
( )
2
9
3
3
2
27
3log
2
1
log
2
1
65log +







4
=+++ mmxxmmxx
có 2
nghiệm u và v thoả mãn u
2
+v
2
>1
III. Các bài tập tự làm:
91. Tìm m để mọi nghiệm của bất phơng trình
12
3
1
3
3
1
1
12
>






+





2



+
xx
xx
95.
04.66.139.6
222
222
+
xxxxxx
96.
( )
( )
022log.2log
2
2
2
+
x
x
97.
2
222
4log6log2log
3.24
xx
x =

190.
132
2
+=
x
x
191.
x
xxx
202459 ++=
192.
2112212
532532
+++
++=++
xxxxxx
193.
9,2
5
2
2
5
/1
=







+
=+
x
x
xx
197.
x
x
x
x
x
x
2
2
22
22
2
211

=

198.
( ) ( )
021223
2
=+
xx
xx
199.
255102.25 >+


=+
=+
)sin3(logcos31log
)cos3(logsin31log
32
32
xy
yx
205.
( )
( )
( )
( )





+=+
+=+
21log131log
21log131log
2
3
2
2
2
3
2

>++ xaa
x
III. C¸c bµi tËp tù lµm:
107.
( )
)2lg(46lg
2
++=−−+ xxxx

108.
)3(log)2(log)1(loglog
5432
+++=++ xxxx
109. T×m nghiƯm d¬ng cđa bÊt ph¬ng tr×nh
12
1036
1
−
>
−
+
xx
x
(*)
110.
( )
( )




=−+−+
−−
xx
xx
211. T×m a ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiƯm ph©n biƯt
0loglog2
3
2
3
=+− axx

212.
( ) ( )
06log52log1
2/1
2
2/1
≥++++ xxxx
213.
( )
88
1214
−>−
−− xx
exxex

214.
62.3.23.34
212
++<++


−+−+

III. C¸c bµi tËp tù lµm:
Trong c¸c nghiƯm (x, y) cđa bÊt ph¬ng tr×nh
( )
1log
22
≥+
+
yx
yx
h·y t×m nghiƯm cã tỉng x+2y
lín nhÊt
xx
xxxxxxx 3.43523.22352
222
+−−>+−−
T×m t ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau nghiƯm ®óng víi mäi x:
( )
13
2
1
log
2
2
>




++
xx
xax
a
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
− −
−
≥

2)
2
x 1
x 2x
1
2

2 1
1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
+
+ >
6)
0449.314.2 ≥−+
xxxVI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N<

(
, ,
≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2− + >
2)
− <

+
+ + − >

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3+ ≥

Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a.
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
b.
2
5
x 6x
2
2 16 2
− −
=
c.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
d.

+ +
+ − =
c.
x x
(2 3) (2 3) 4 0+ + − − =
d.
x x
2.16 15.4 8 0 =
e.
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2
+
+ + =
f.
x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ + =
g.
x x x
3.16 2.8 5.36+ =
h.
1 1 1
x x x
2.4 6 9+ =
i.
2 3x 3
x x
8 2 12 0
+
+ =
j.

5 1
+


=


=


b.
2
x y
(x y) 1
5 125
4 1
+


=


=


b.
2x y
x y
3 2 77
3 2 7



=

với m, n > 1.
Bài 5: Giải và biện luận phơng trình:
a .
x x
(m 2).2 m.2 m 0

+ + =
.
b .
x x
m.3 m.3 8

+ =
Bài 6: Tìm m để phơng trình có nghiệm:
x x
(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0 + =
Bài 7: Giải các bất phơng trình sau:
a.
6
x
x 2
9 3
+
<
b.
1

>

Bài 8: Giải các bất phơng trình sau:
a.
x x
3 9.3 10 0

+ <
b.
x x x
5.4 2.25 7.10 0+
c.
x 1 x
1 1
3 1 1 3
+


d.
2 x x 1 x
5 5 5 5
+
+ < +
e.
x x x
25.2 10 5 25 + >
f.
x x 2 x
9 3 3 9
+

+

+ >
ữ ữ

(*)
b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phơng trình:

( )
2
2x m 2 x 2 3m 0+ + + <
Bài 12: Giải các phơng trình:
a.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + +
b.
5 25 0,2
log x log x log 3+ =
c.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2 + =
d.
2
x 3
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+

lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ =
Bài 14: Giải các phơng trình sau:
a.
x
3 9
1
log log x 9 2x
2

+ + =
ữ

b.
( ) ( )
x x
2 2
log 4.3 6 log 9 6 1 =
c.
( ) ( )
x 1 x
2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
+
+ + =
d.
( )
x x

2
x lg x x 6 4 lg x 2+ = + +
b.
( ) ( )
3 5
log x 1 log 2x 1 2+ + + =
c.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + =
d.
( )
5
log x 3
2 x
+
=
Bài 15: Giải các hệ phơng trình:
a.
2 2
lgx lgy 1
x y 29
+ =


+ =

b.
3 3 3



e.
( ) ( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+


=


+ = +

f.
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3

=


= +


a.
( )
( )
2
3 1
3
log x 4ax log 2x 2a 1 0+ + =
b.
( )
( )
lg ax
2
lg x 1
=
+
Bài 18: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.
2
3 3
2log x log x a 0 + =
Bài 19: Giải bất phơng trình:
a.
( )
2
8
log x 4x 3 1− + ≤
b.
3 3
log x log x 3 0− − <
c.
( )

x 2x 2
log 2.log 2.log 4x 1>
h.
1
3
4x 6
log 0
x
+
≥
i.
( ) ( )
2 2
log x 3 1 log x 1+ ≥ + −
j.
8 1
8
2
2log (x 2) log (x 3)
3
− + − >
k.
3 1
2
log log x 0
 
≥
 ÷
 ÷
 

2
2
3x
x 1
5
log x x 1 0
2
+
 
− + ≥
 ÷
 
r.
x 6 2
3
x 1
log log 0
x 2
+
−
 
>
 ÷
+
 
s.
2
2 2
log x log x 0+ ≤
t.

x

>
c.
( ) ( )
x x 1
2 1
2
log 2 1 .log 2 2 2
+
>
d.
( ) ( )
2 3
2 2
5 11
2
log x 4x 11 log x 4x 11
0
2 5x 3x



Bài 21: Giải hệ bất phơng trình:
a.
2
2
x 4
0
x 16x 64

4 y
log 2 y 0
log 2x 2 0



>


>


Bài 22: Giải và biệ luận các bất phơng trình(
0 a 1<
):
a.
a
log x 1
2
x a x
+
>
b.
2
a
a
1 log x
1
1 log x
+


+ +

>

Bài 25: Cho bất phơng trình:
( ) ( )
2
1
2
x m 3 x 3m x m log x + + <
a. Giải bất phơng trình khi m = 2.
b. Giải và biện luận bất phơng trình.
Bµi 26: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:
( )
( )
x
a
log 1 8a 2 1 x
−
− ≥ −