Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá
Năm học 2007-2008
Câu 1.(5 điểm)
1.Khảo sát
1
1
x
y
x
−
=
+
2.Xác định điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách đến 2
trục tọa độ là ngắn nhất;
Câu 2.(4 điểm )
1.Cho hàm số
2
1y x x m= + − −
. Xác định m để
0y ≤
trên tập xác định
của nó.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho Hypepol (H) có phương trình chính tắc
là:
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
.Biết tâm sai e=2; hình chữ nhật cơ sở của nó cắt các

Câu4.(6 điểm)
Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.Biết
A
1
(0,0,0),B
1
(a,0,0),D
1
(0,a,0),A(0,0,a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là
trung điểm AB,B
1
C
1
.
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai
đường thẳng AN,BD
1
.
2.Tính thể tích của tứ diện ANBD
1.
3.Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD
1.

3.CMR:Phơng trình :x
2
+x+1=(x+1)
2
9 x-
có đúng hai nghiệm.
Câu2(5.0 điểm).
1.áp dụng khai triển nhị thức niu tơn (x
2
+x)
100
.CMR:

0 99 1 100 99 198 199 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C- + - + =
.
2.Cho tích phân :
0
sin2
,
2 os2x
n
nx
I dx n N
a c
p

1
, N
1
.Hãy xác định toạ độ diểm N
1
sao cho :
1 1 1
2007
OA OB OC
OA OB OC
= = =
.
Câu4(1.0 điểm).
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phơng các khoảng
cách đến mặt của một tứ diện đều ABCD cho trớc bằng một số dơng k lhông
đổi.
(Nm 2005-2006)
Bi1:(2,0 im).
- 2 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Chng minh rng :
0: osxx c

>1-
2
x
2
.
Bi 2:(2,0 im)
Tớnh I=


Bài 5:(2,0 điểm).
Giải phơng trình:
3 sin( ) sin( ) 2sin(5 ) 0
3 6 6
x x x

+ + + + =
.
Bài 6:(2,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn có
0
45B =
.Tìm GTNN của biểu thức
cot cotT gA gC= +
.
Bài 7:(2,0 điểm)
Tính giới hạn sau:
2
0
os( osx)
2
lim
x
sin
2
x
c c



+5
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C)
- 3 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
2)Cho điểm M (C) có hoành độ là a.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp
tuyến của (C) tại M cắt (C) ở 2 điểm phân biệt M.
Bài 2:(5,0 điểm)
1)Tính đạo hàm cấp n của hàm số :
2
2
2 1
sin
2
x
y x
x x

= +

2)Tính
1
2
0
2I x x m dx= +

.
Bài 3:(4,0 điểm)
1)Xác định m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x x x m =

Bài 5:(2,0 điểm)
Cho ,, là 3 góc tạo bởi đờng thẳng d theo thứ tự với 3 đờng thẳng chứa 3
cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC đều .
CMR:
2 2 2
16(sin .sin .sin

+
2 2 2
os . os . os ) 1c c c

=
.

(Năm 2003-2004)
Bài 1:(6,0 điểm)
1)Cho đờng cong (C) có phơng trình :y=sinx+1,x
3
,
2 2 ữ

.Tìm GTNN của
hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C) và trục hoành .
2)Cho hàm số y=
2 2
2
2 2

+2
cosx
=,x[0,
2

]
2)Cho 1<a+1<b+1<c. CMR: log
c
(a+c)<log
c-b
c.
Bài 4:(4,0 điểm )
Cho góc tam diện Oxyz
1)Alà điểm trên Oz sao cho :OA=25a (a>0).khoảng cách từ A đến Ox,Oy là
7a ,20a .Tính khoảng cách từ A đến (Oxy) biết
0
60xoy =
2)Cho gó
60xoy yoz xoz = = =
o
.Điểm A0 cố định trên Oz ,với OA=d
không đổi .
M và N là hai điểm chuyển động trên Ox,Oy sao cho :
1 1 1
OM ON d
+ =
(1)
CMR:Đờng thẳng MN luân đi qua 1 điểm cố định.
(Năm 2002-2003)
Bài 1:(4,0 điểm)

Với x là góc cho trớc k,tìm giới hạn :
2 2
1 1 1
lim( )
2 2 2 2 2 2
n n
n
x x x
tg tg tg

+ + +
Bài 5:(6,0 điểm )
Cho hình tứ diện ABCD có CD(ABC),CD = CB,
ABCV
vuông tại A.Mặt phẳng qua C
vuông góc với DB,cắt DB,DA lần lợt tại M,I.Gọi Tlà giao điểm của 2 tiếp tuyến tịa Avà C
của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng (ABC).
1)CM:C,T,M,I đồng phẳng
2)CM:IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD,và mặt cầu đờng kính CB.
3)Gọi N là trung điểm của AB ,K là điểm trên CD sao cho :CK=
1
3
CD.
CM: d(BK,CN)=d(AM,CN)
(Năm 2001-2002)
Bài 1:
Cho bất phơng trình :
2 os3x+(m-1)cos2x+10cosx+m-1 0(1)c
1)Giải khi m=-5
2)Tìm m để (1) thoả mãn

+
+
=
Bài 4:
Biết đa thức :
2001 2000
1 2000 2001
( )f x x a x a x a= + + +
có 2001 nghiệm phân biệt ,
,và a
1996
=1996,a
1998
=1998.CMR:
1997
a
>1997.
Bài 5:
1)Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông .Đờng cao
OH=h,OA=a,OB=b,OC=c.CMR: a.cotgA+b.cotgB+c.cotgC3h.
- 6 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
2)Có thể chia đa giác lồi đã cho thành một số tứ giác không lồi đợc không?
Hãy chứng minh điều khẳng định của mình .
(Năm 2000-2001)
Bài 1:(5,0)
Cho phơng trình sin
4
x+(1-sinx)
4


.
CM: Max
{ }
1 2
, , , 2,
n
a a a
với n 3 thì kết luận trên cò đúng không ?
Bài 4:(4,0)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' với AA'=2AB=8a, E là trung điểm của cạnh AB và
M là điểm trên cạnh DD' sao cho :DM=
(1 )
AD
a
AC
+
,F là điểm di động trên cạnh AA'.
1)Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA'sao cho CF+FM có GTNN
2)Với điểm F thoả mãn điều kiện câu1.
Hãy tính góc hợp bởi mặt phẳng (D,E,F) và (D,B,C).
3)Với giả thiết điểm F thoả mãn câu1, và AàCD.Tính V
ABCDA'B'C'D'
Bài 5:(1,0)
- 7 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Tìm các số nguyên dơng a,b,c và k thoả mãn :
1c b a
ab bc ca a b c kabc
> >

<x
2
<. CMR:
3 3
1 2
1 2
1 2
6 6
sinx sinx
x x
x x
>
.
Bài 3:
Tìm hàm số y=f(x) biết rằng f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,x,yR.
Bài 4:
Cho hình chóp đều (P),đáy là đa giác đều n cạnh có diện tích bằng diện tích
mỗi mặt bên .
Đối với mỗi điểm M ở bên trong hình chóp (P) ngời ta đựng (n+1) hình chóp
đồng dạng với (P) mà mỗi đáy của chúng tơng ứng thuộc một mặt của (P)
còn đỉnh là M .Hãy tìm vị trí M để tổng diện tích các mặt của (n+1) hình
chóp đó nhỏ nhất .
Bài 5:
Xét tập hợp E={2001,2002,2003, ,2000+n}.Tìm số nguyên dơng n nhỏ
nhất để tập hợp E có tính chất sau: "với mỗi tập hợp con tuỳ ý của E thì trong
hai tập hợp A và E\A bao giờ cũng có ít nhất một tập hợp chứa ba phần tử
a,b,c sao cho:a-b+c=1999".
- 8 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
(Năm1998-1999)

Giả sử S là điểm nằm nhoài mặt phẳng hình bình hành ABCD sao cho các
tam giác :SAB,SBC,SCD,SAD tơng đơng >
1)CM:ABCD là hình thoi
2)Nếu khoảng cách từ S đến mf(ABCD) là 12,BD=30,AC=40.Tính khoảng
cách từ hình chiếu của điểm S trên (ABCD) tới mf(SBC).
Bài 5:
Trong mf cho
ABCV
và một điểm M thay đổi ở trong tam giác .Gọi A,B,C lần
lợt là hình chiếu của điểm M trên các đờng thẳng BC,CA,AB .Hãy xác
định vị trí của điểm M khi :MA.MA=MB.MB=MC.MC.
(Năm 1997-1998)
- 9 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Bài1 :
Cho (P) có phơng trình : y
2
=6x
1)Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P)
Cho điểm K(1,-1).Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua K cắt (P)tại A,B sao
cho K là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 2:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Xét các số x,y,z thoả mãn
x+y+z=
2

.Tìm GTLN của biểu thức :
( , , )F x y z =
sinx sin sin
a

Bài 5:
Cho
ABCV
,gọi G là điểm (ABC),M là điểm miền tam giác ABC.
Các đờng thẳng đi qua M//GA,GB,GC theo thứ tự cắt các mặtphẳng(GBC),
(GCA),(GAB) tại A
1
,B
1
,C
1
.CMR: GM đi qua trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C
1
- 10 -