Chương ba
ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy
biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý
số.
3.1 biến đổi Fourier của dãy số
3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện :
∞<
∑
∞
−∞=
n
nx )(
[3.1-1]
thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau :
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-2]
Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(e

X
với phép biến đổi
Fourier của hàm liên tục x(t) :
∫
∞
∞−
−
•
==
dtetxtxFT
tj
X
ω
ω
).()()]([
.
Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm
liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng .
Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e
j
ω
, nên X(e
j
ω
) là hàm tuần hoàn của biến
ω
với chu kỳ 2π :
)()()()(
.).2.()2.(
ωωωω


∈
( 0 , 2
π
).
Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.
Nếu x(n) là tín hiệu số thì
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
là phổ của tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý
số thì
)()]([
∞
=
j
enhFT
H
là đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng
tuyệt đối [3.1-1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội tụ về hàm
X(e
j
ω
), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi
[3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e

f.
)(nrect
N
119
Giải : a.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
1
)(
nn
nu
Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
b.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
22
)(
n
n
n

-n
u(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
( )
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
−∞=
−−−
===
0
1
0

.).()](
2222[
n
n
j
n
njn
n
njnn
eeenunu
FT
ωωω

δ
Hàm
δ
(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
1.1
0.
).()]([
===
−
∞
−∞=
−
∑
ωω
δδ
j
n
nj
eennFT
[3.1-7]
e) Chuỗi [3.1-1] đối với
δ
(n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier :
ωω
δδ
jk
n
nj
eennFT
kk

ω
ωω
j
j
n
n
j
n
nj
e
e
eenrectnrectFT
N
N
NN
−
−
−
=
−
∞
−∞=
−
−
−
===
∑∑
1
1
1

n
nj
n
j
X
ωω
ωω
−==
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
[3.1-11]
Hàm phần thực :
∑
∞
−∞=
==
n
j
R
nnxe
XX
).cos().()](Re[)(
ωω
ω
[3.1-12]
Hàm phần ảo :

e
+=
[3.1-15]
Argumen :
[ ]






==
)(
)(
)()(
ω
ω
ωϕ
ω
R
I
j
X
X
X
arctgeArg
[3.1-16]
X(e
j
ω

ω
) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

)()(
ωω
jj
ee
XA
=
[3.1-18]
Còn :
)()()]([
ωϕωθ
ω
=+
j
eArg
A
[3.1-19]
Hàm pha :
)]([)()(
ω
ωϕωθ
j
eArg
A
−=
[3.1-20]
Với
)]([

j
eKhi
eKhi
eArg
A
A
A
Một cách tổng quát, có thể viết :












=



















−−=
)(
)(
)()(
1
2
ω
ω
ωϕωθ
π
j
eA
j
eA
[3.1-21]
Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số
ωω
ω
jj
ee
X

2222
ωωωωω
ω
=+=
j
e
X
Argumen :
ω
ωω
ωω
ωϕ
−=






−=
)cos().cos(
)sin().cos(
)(
2
2
arctg
Hàm độ lớn :
)cos()(
2
ω

∞
−∞=
−
==
n
n
znxznxZT
X
)()()]([(
, với
+−
<<
xx
RRX
zzRC ||:)]([
Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.e
j
ω
với |z|= r và arg [z] =
ω

Vậy :
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
===

[3.1-22]
Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 , nghĩa là
biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z.
121
a.
1
|| =<
−
z
x
R
, tồn tại FT b.
1
|| =≥
−
z
x
R
, không tồn tại FT
Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại
biến đổi Fourier, và ngược lại. Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị |z| = 1, thì dãy
x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại.
Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm
)()]([( znuZT
U
=
có
1
||:)]([ >zzRC

π
) , nhận được :
∫ ∫ ∫
∑∑
− − −
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
==
π
π
π
π
π
π
ωωωωω
ωωω
denxdeenxdee
nmj
nn
mjnjmjj
X
).(
.)(.).().(
Vì :



−
Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
).()(
2
1
[3.1-24]
Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :
)()](
[
nxe
j
XIFT
=
ω
[3.1-25]
Hay :
)()( nxe
IFT

njj .2
.).cos()(
2
1
[ ]
∫ ∫
− −
−−−
−
+=
+
=
π
π
π
π
ωωωω
ωω
ω
π
ω
π
deedee
ee
nx
njnjnjj
jj
)3()1(.2
4
1

)(
1
)(
)3()1(
314
1
njnj
e
nj
e
nj
nx






−
−
+
−
−
=
−−−−−−
)()(
)(
314
1
)3()3()1()1(

−−−−−−
−
−
+
−
−
=
π
π
π
π
)(
])sin[(
)(
])sin[(
)(
3
3
2
1
1
1
2
1
−
−
+
−
−
=

⇒



≠
=
=
−
−
δ
π
π
π
π
Nên :
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Vì
ω
ω
j
j
ez

i
ii
j
eAnxAnyFTe XY
∑∑
=






==
[3.1-27]
Trong đó các hệ số A
i
là các hằng số.
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
∑∑∑ ∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
==





−∞=
−
, nên nhận được [3.1-27].
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :
ωωωωω
δδ
3
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
).().()(
jj
n

−
=
+
=
Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất.
3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(e
j
ω
) không thay đổi, chỉ có
hàm pha tần số ϕ(
ω
) bị dịch đi lượng k
ω
.
Nếu :
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
])([
.)()()(
ωωϕωωω
kjjjjk
eeeenxFT
XXk
−−
==−

Giải : Có
)()()( 222 Nnununrect
nnn
N
−−=
−−−
Nên :
)](.[)]([)(
)(
222 NX nuFTnuFTe
NN nnj
−−=
−−−−
ω
Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :
123
NN j
jj
j
e
ee
eX
.
2
5,01
1
5,01
1
.)(
ω

)(
)]([)(
[3.1-29]
3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với
nj
e
0
ω
, trong đó
ω
0
là hằng số, thì hàm tần số
X(e
j
ω
) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng
ω
0
,

theo chiều ngược với dấu của
ω
0
.
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=
Thì :

j
n
nj
n
nj
njnj
eenxeenxnxeFT X
Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là
)]([)( nxFTe
j
X =
ω
, hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên
)cos().()(
0
nnxny
ω
=
Giải : Có :
2
00
)cos(
0
njnj
ee
n
ωω
ω
−
+

0
00
2
1
2
1
)]cos().([
ωωωω
ω
+−
+=
jj
eennxFT XX
[3.1-31]
Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên.
3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp
phức.
Nếu :
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
)(*
.)()()()(
ωϕωωω
jjjj
eeeenxFT XXX

ee XX =
−
, do đó nhận được [3.1-32].
Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn
hàm pha tần số ngược dấu.
Ví dụ 3.7 : Hãy tìm
)]()(
2[
nue
nj
FTX
−
=
ω
Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có :
ω
j
n
e
nuFT
.
)](
5,01
1
2[
−
=−
3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số
thành phần.
Nếu :

−
∞
−∞=
∞
−∞=
∑ ∑






−==
∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
−=
n
kjkj
k
njj
eeeknxkxe
Y

21
)().()(

ω
Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm được :
ω
j
n
e
nuFT
−
−
−
=
5,01
1
2[ )](

và
ω
δ
j
enFT
−
=− )]( 1[
Vậy :
ω
ω
ω
ω
ω
j
j

)()]([
22
ω
j
enxFT X=
Thì :
[ ]
∫
−
′
−
′
′
=
π
π
ω
ωωω
π
deenxnxFT
jj
XX )().()().(
)(
2121
2
1
[3.1-34]
Hay :
[ ]
)(*)()().(

=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
11
).()(
2
1
Thì :
[ ]
∑
∫
∞
−∞=
−
−









ω
π
'.).().()().(
).'(
2
'
121
2
1
denxenxnxFT
n
njj
X
[ ]
)(*)().().()().(
21
)(
2121
2
1
2
1
ωωωωω
ππ
π
π
ω
jjjj
eedeenxnxFT XXXX ==
′

∑
∫
∑
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
−








=
n
njnjj
n
nj
edeenxenxnx X
.'.'
21
.
21
.').().().().(
2

2
'.
121
2
1
deenxnxnx
j
n
nj
n
X
Hay :
∫
∑
−
−
∞
−∞=
=
π
π
ωω
ω
π
').().()().(
'
2
'
121
2

jjj
n
x
XXX
2
2
)().().()(
2
1
2
1
Hay :
∫
∑
−
∞
−∞=
==
π
π
ωω
π
dnxE
x
n
x
S
).()(
2
1

n
−
=
theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh
hai kết quả nhận được.
Giải : Theo hàm thời gian có :
∑∑∑
∞
=
−
−
∞
=
−
∞
−∞=
−
=
−
====
0
1
2
0
2
3
4
41
1
42(2

−
==
−
∞
−∞=
−−
∑
Vậy :
ω
ωω
ω
cos
)sin()cos(
)(
25,1
1
5,05,01
1
22
−
−
=
+
=
j
e
X
Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] :
π
π

1
25,1
1
2
1
2
2
2
)().(

cos
tg
arctgdE
x

3
4
75,0
0
75,0
1
22
.3
75,0
1
)(
===




π
=
)(
0
artg
].
3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=

Thì :
[ ]
ω
ω
d
ed
jnxnFT
j
X
)(
)(. =
[3.1-40]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
∑∑
∞
−∞=

−
=

Giải : a. Có :
ω
j
n
e
nuFT
−
−
−
=
5,01
1
2[ )](
Theo [3.1-40] có :
2
5,01
5,0
5,01
1
2
.
)](.[






d
j
nunFT
3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan r
xy
(m)
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=
và
)()]([
ω
j
enyFT Y=
Thì :
[ ]
)().()()(
ωωω
jj
xy
j
xy
eemrFTe YXR
−
==
[3.1-41]
Chứng minh : Hàm tương quan
)(mr

nm
mj
xyxy
emnynxemrmrFT

.)().().()(
ωω
[ ]
∑ ∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=






−=
m
njnjmj
n
xy
eeemnynxmrFT

)().()(
ωωω
126

−
=
nny
δ
, hãy tìm hàm phổ
[ ]
)()( mrFTe
xy
j
xy
R =
ω
.
Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được :
ω
ω
ω
ω
ωωω
j
j
j
j
jjj
xy
e
e
e
e
eee