Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói ThS. Phùng ĐNc Thang,
ngưòi đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the
hoàn thành bán khóa lu¾n này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các cán b®, giáng viên
khoa Toán trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot
quá trình hoc t¾p và nghiên cúu.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành khóa lu¾n.
Hà N®i, tháng 5 năm
2013
Tác giá

Hà Chí On


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna ThS. Phùng ĐNc Thang,
khóa lu¾n tot nghi¾p “Áp dnng cúa phép bien đoi Mellin đe tính
tong chuoi và tích phân phn thu®c tham so” đưoc hoàn thành bói
nh¾n thúc cna bán thân tác giá.
Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 5 năm
2013
Tác giá

Hà Chí On





2.2.2. Tính chat tí l¾................................................................................................................31
2.2.3. Tính chat nâng............................................................................................................31
2.2.4. Tính chat d%ch chuyen.............................................................................................32
2.2.5. Bien đoi Mellin cna đao hàm...................................................................................33
2.2.6. Bien đoi Mellin cna toán tú vi phân.......................................................................34
2.2.7. Bien đoi Mellin cna tích phân..................................................................................35
2.2.8. Bien đoi Mellin cna tích ch¾p.................................................................................35
2.2.9. Bien đoi Mellin cna tích............................................................................................37

2.3. Moi quan h¾ vói bien đoi Laplace và bien đoi Fourier..............39
2.4. Bien đoi Mellin ngưoc...............................................................40
Chương 3. ÚNG DUNG CÚA PHÉP BIEN ĐOI MELLIN .
. 43
3.1. Tính tong chuoi so.....................................................................43
3.2. Tính tích phân phu thu®c tham so.............................................46
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
49
Phn lnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
50
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

4


Má đau


K−1(s, t) (T f ) (s)ds.


u1


M®t trong nhung lý do cot yeu ve sn xuat hi¾n cna các bien đoi tích
phân phái ke đen là nhieu lóp bài toán mà có the nói rat khó giái quyet
ho¾c th¾m chí nhieu khi không the gái quyet đưoc trên bán thân n®i tai
cna nhung lĩnh vnc đó. M®t bien đoi tích phân là m®t phép bien đoi mà
nó ánh xa m®t hàm tù “mien goc” (mà trong đó bài toán đ¾t ra rat khó
giái quyet) sang m®t mien khác “mien ánh”. Vi¾c giái bài toán trên mien
ánh se thu¾n loi hơn rat nhieu so vói vi¾c thnc hi¾n trên mien goc. Sau
đó, ket quá se đưoc ánh xa tró lai goc ban dau đe ta nh¾n đưoc yêu cau
đ¾t ra (ta có the hình dung van đe này dưói góc đ® sơ cap, như qua bien
đoi cna hàm logarit các phép tính nhân đưoc chuyen thành phép c®ng).
Hai phép bien đoi tích phân đưoc đánh giá rat quan trong không chí
trong Toán hoc mà phái nói đen sn ánh hưóng lón cna nó đen các lĩnh
vnc cna V¾t lý hoc và nhieu ngành khoa hoc ky thu¾t khác, đó là bien
đoi Fourier và bien đoi Laplace. Tuy nhiên, xét ve m¾t mang tính cot
yeu các phép bien đoi đó đưoc xuat hi¾n tù vi¾c đ¾t ra đe giái quyet các
van đe thu®c lĩnh vnc nói trên đây, thì bien đoi Mellin đưoc xuat hi¾n
ngay trong ngu cánh giái quyet các van đe có tính thuan túy thu®c riêng
ve lý thuyet Toán hoc. Có nhieu loai bien đoi tích phân, moi bien đoi
khác nhau tương úng vói m®t sn lna chon cna m®t hàm nhân K(t,
s). Trong bien đoi Mellin, nhân cna phép bien đoi là hàm K(t, s) =
ts−1
và bien đoi Mellin cna m®t hàm goc f (t) xác đ%nh trên truc thnc dương
0 < t < +∞ đưoc xác đ%nh bói

hưóng cna ngưòi hưóng dan, tôi đã chon đe tài “Áp dnng cúa phép
bien đoi Mellin tính tong cúa chuoi và tích phân phn thu®c
tham so” đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân Sư pham
chuyên ngành Toán giái tích.


2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Khóa lu¾n nghiên cúu ve khái ni¾m phép bien đoi Mellin; m®t so tính
chat cơ bán cna phép bien đoi Mellin; moi quan h¾ cna bien đoi Mellin
vói hai phép bien đoi Laplace và bien đoi Fourier; m®t so úng dung cna
phép bien đoi này thuan túy thu®c lĩnh vnc toán hoc.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve phép bien đoi Mellin, moi quan h¾ cna bien đoi này vói
m®t so bien đoi tích phân khác đong thòi nghiên cúu m®t so úng dung
cna nó trong hai bài toán ve tính tong cna m®t so chuoi so và tính tích
phân phu thu®c tham so.

4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc
đích nghiên cúu.

5. DN kien đóng góp cúa đe tài
- Trình bày m®t cách h¾ thong ve lý thuyet cna phép bien đoi Mellin.
- Trình bày úng dung cna phép bien đoi Mellin đe giái quyet m®t so van
đe sau đây: Như ta biet nhieu khi vi¾c kiem tra bang các tiêu chuan h®i
tu cna chuoi so hay sn h®i tu cna tích phân phu thu®c tham so, ta de
dàng khang đ%nh đưoc tính h®i tu phân kỳ cna chúng. Tuy nhiên, khi




Hàm f (z) đưoc goi là liên tuc trên Ω neu nó liên tuc tai moi
điem cna Ω. Ta de thay tong, hi¾u, tích và thương cna các hàm liên tuc
cũng là hàm liên tuc.
Đ%nh nghĩa 1.2. Hàm f (z) đưoc goi là liên tuc đeu trên Ω neu vói
moi
ε > 0, ton tai δ > 0 sao cho vói moi z, zr ∈ Ω mà |z − zr | < δ ta
có
|f (z) − f (zr)| < ε.


Nh¾n xét 1.1. Tù tính liên tnc đeu cúa hàm f suy ra hàm f liên tnc.
Tuy nhiên, đieu ngưoc lai nói chung không đúng.


1
Ví dn 1.1. Hàm f (z) = liên tuc trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z0|
0
1
1
1
ton tai n ∈ N 1
,
(ha ).
ta
sao cho n >
y δ Chon z r
có

.
= |n − 2n| = n >
.
−f
z
r
.
(zr.)|
1 = ε.
=
−

.
z
Đieu đó, chúng tó rang f (z) không liên
tuc đeu trên Ω.
1.1.2. Hàm chính hình
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho hàm phúc f (z)
xác đ%nh trên t¾p mó Ω. Hàm f (z)
đưoc goi là khá vi tai điem z0 ∈ Ω neu
ton tai giói han cna bieu thúc
f (z0 + h) − f
→
(z0)
; khi h
0,
(1.1)


h

h
)
−
f
(
z
0

)
.

vi tai z. Hàm f goi là chính hình tai điem
z neu ton tai m®t lân c¾n cna điem z

c¾n đó. Hàm f đưoc goi là chính hình
trên Ω neu nó chính hình tai moi điem
cna Ω. Hàm f chính hình trên C đưoc
goi là hàm nguyên.


Ví dn 1.2. Hàm f (z) = z chính hình trên m®t t¾p con mó bat kỳ
trong
C và f r(z) = 1. Th¾t v¾y, ta có
=
f r(z0) = lim f (z0 + h) − f lim
h→0

(z + h) − = 1.

h→0

ngay rang thương vi phân không ton tai khi h → 0.
Tù đang thúc (1.1) ta thay hàm f (z) là chính hình tai z0 ∈ Ω neu và
chí neu ton tai hang so a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

vói ψ(h) là m®t hàm xác đ%nh khi h đn nhó và lim ψ(h) = 0. Dĩ
nhiên,
r

h→0

ta có a = f (z0).
Nh¾n xét 1.2. Tù công thúc (1.2) ta cũng thay rang hàm f chính hình
trên Ω thì f là liên tnc trên đó.


Các ket quá ve phép toán đoi vói đao hàm cna hàm bien phúc cũng
tương tn như hàm bien thnc. Ta có m¾nh đe sau


M¾nh đe 1.1. Neu các hàm f, g chính hình trên Ω, thì
(i) f + g chính hình trên Ω và (f + g)r = f r +
gr ,
(ii) f.g chính hình trên Ω
r
và (f.g) = f rg + f.gr,
f
(iii) N g chính hình tai z0 ∈ Ω và

ki¾n ton tai các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi phúc. Đe
hàm f khá vi phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien thnc,
chúng ta can đen đieu ki¾n Cauchy - Riemann đưoc cho bói đ%nh lý
dưói đây. Đe lý giái đưoc đieu này, trưóc het ta nhac lai hàm f (z) =
u(x, y) + iυ(x, y), trong đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác đ%nh trong


mien Ω, đưoc goi là R2 - khá vi tai z = x + iy neu các hàm cna hai
bien thnc u(x, y) và v(x, y) khá vi tai điem (x, y).
Đ%nh lý 1.1. (Đieu ki¾n Cauchy - Riemann). Đe hàm f (z) là C khá vi tai điem z ∈ D, đieu ki¾n can và đú là tai điem đó hàm f (z)
là R2 -


khá vi và thóa mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann.
∂u
∂v
(x, y) =
(x,
∂x
y);
∂y

∂u

(x, y).

∂v
(x, y) =
∂y
−


z¯ : [c, d] → C đưoc goi

và

là

tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s → t(s) tù [c, d] đen
[a, b] sao cho tr(s) > 0 z¯(s) = z (t(s)). Đieu ki¾n tr (s) > 0 đám
và
báo
hưóng cna đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a đen b. Ho


cna tat cá các đưòng cong tham so tương đương vói z(t) xác đ%nh
m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C. Đưòng cong γ− là đưòng cong thu đưoc
tù γ bang cách đoi hưóng. M®t dang tham so hóa cna γ− đưoc xác đ
%nh như


sau

z− : [a, b] → R2
z−(t) = z(b + a − t).
Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là điem đau và
điem cuoi cna đưòng cong. Đưòng cong trơn
ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là kín neu z(a)
= z(b); đưoc goi là đưòng cong đơn neu nó
không có điem tn cat, nghĩa là neu
t ƒ= s thì z(t) ƒ= z(s) (trù ra khi s = a và

z t)
d
= t.
γ


Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon
phương
trình tham so đoi vói γ. Th¾t v¾y, giá sú z¯ là m®t tham so hóa
tương
đương xác đ%nh như trên thì
b
d
¸
¸
f
f (z(t(s))).zr(t(s)).tr(s)ds
(z(t)).zr(t)dt

c

=
a

d

¸

f (z¯(s)).z¯r (s)ds.



Đ%nh lý 1.2. Tích phân cúa m®t hàm liên tnc trên đưòng cong γ có các
tính chat sau
¸
¸
¸
g(z)dz; α, β ∈ C.
(i) (αf + βg)dz = f (z)dz +
β
γ α
γ

γ

−

(ii) Neu γ là đưòng cong ngưoc hưóng vói γ thì
¸
¸
.
.
.¸
. f (z)dz = −
γ−

γ


f (z)dz.
.

r

= 0, thì f là

hang.

1.2. Lý thuyet th¾ng dư
1.2.1. Không điem và cNc điem
Đ%nh nghĩa 1.5. Điem z0 đưoc goi là không điem cna hàm f (z)
neu
f (z0) = 0.
Đ%nh lý 1.4. Giá sú f là m®t hàm chính hình trong m®t mien D, có
m®t không điem tai z0 ∈ D và không đong nhat bang không trong
D. The thì, ton tai m®t lân c¾n U cúa z0 trong D và m®t hàm chính
hình g không đong nhat tri¾t tiêu trên U vói m®t so nguyên dương
lón nhat k sao cho
k

f (z) = (z − z0) g(z); vói moi z ∈ U.